Расчет однофазных цепей переменного тока

 

Расчет цепей переменного тока целесообразно осуществлять, используя комплексные числа. Для этого необходимо уметь выполнять действия с комплексными числами.

Ниже даются основные сведения по действиям с комплексными числами.

Известно, что любую величину, изменяющуюся по закону sin ωt, можно представить в виде вектора, вращающегося на плоскости с угловой частотой ω. А вектор на плоскости может быть описан в мнимой и действительной осях комплексным числом (рис. 1):

где

а – действительная часть;

в – мнимая часть;

- модуль вектора (комплексного числа);

- его фаза.

При определении фазы комплексного числа по приведенной формуле необходимо обращать внимание на знаки его действительной и мнимой части. Если и действительная и мнимая части отрицательны, то к значению полученного угла надо прибавить или вычесть из него 180, чтобы получить фактическое значение фазы. Если же действительная часть отрицательна, а мнимая положительна, то для получения фактического значения фазы следует поступать, как в предыдущем случае. При других значениях действительной и мнимой частей мы получаем фактическое значение фазы комплексного числа.

Выше приведена алгебраическая форма комплексного числа. Комплексное число может быть представлено в тригонометрической форме

и в показательной форме

Д е й с т в и я с к о м п л е к с н ы м и ч и с л а м и

Действия с комплексными числами рассмотрим на конкретных примерах. Пусть имеем два комплексных числа:

.

1). С л о ж е н и е к о м п л е к с н ы х ч и с е л:

; ;

; ; .

 

2). В ы ч и т а н и е к о м п л е к с н ы х ч и с е л:

; ;

; ; .

3). У м н о ж е н и е к о м п л е к с н ы х ч и с е л:

;

; ; ;

.

Умножение комплексных чисел удобно выполнять при представлении их в показательной форме. Так как

и

, то .

4). Д е л е н и е к о м п л е к с н ы х ч и с е л:

;

где -сопряженный комплекс, отличающийся от комплекса знаком фазы, если комплекс представлен в показательной форме или знаком мнимой части, если комплекс представлен в алгебраической или тригонометрической форме.

; ;

;

 

или

;

 

расхождение значения фазы на 0,1^о получено за счет округления.

Активная и реактивная мощность определяется произведением комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока:

,

где Р – активная мощность, а Q – реактивная мощность.

Полная мощность

,

где U и I - модули комплексов напряжения и тока.

Усвоив действия с комплексными числами, можно приступить к выполнению задания № 2, условия по которому даны ниже.

Три потребителя, параметры которых заданы в таблице №2, включены в цепь однофазного переменного тока напряжением 220 В.

Схема включения показана на рис. 2а и 2б.

Требуется:

1. Определить полное сопротивление каждого потребителя и всей цепи.

2. Определить потребляемый ток, активную, реактивную и полную мощность, угол сдвига по фазе между током и напряжением.

3. Построить векторную диаграмму.

a) б)

Рис. 2. Схема включения потребителей:

а) для нечетного варианта; б) для четного варианта.

 

 

Таблица 2

Последняя цифра варианта	Сопротивление, Ом	Предпоследняя цифра варианта
	r1 x L1 x С1 r 2 x L2 xС2 r 3 x L3 xС3	- - - -	- - - - -	- - - - -	- - - -	- - - -	- - - -	- - -	- - -	-	- - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- - - -	- - - - -	- -	- -	- - -	- - -	- - - -	- - - - -	- - -	- - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- -	- - - -	- - -	-	- - -	- - - - -	- - - -	- - -	- - - -	- - - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- - - - -	- - -	- - - -	- - - -	- - -	- - - -	- - - -	- - - -	- - -	- - - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- - -	- - -	- - - - -	- - - - -	- - -	- - - -	- - -	- - -	- - -	- -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- - -	- - -		- - - - -	- - - -	- -	-	-	- - - -	- - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- - -	- - - -	- - - -	- - - -	- - - - -	- - -	- - -	- - -	- -	- - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- - - -	- - - -	- - - - -	- - -	- - -	- -	- - - -	- -	- - - -	- - - - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- -	- - - - - -	- - -	-	- - -	- - -	- -	- - - - -	- - -	- - -
	r1 xL1 xС1 r2 xL2 xС2 r3 xL3 xС3	- - - -	- - - -	- - - -	- -	- -	- - - - -	- - -	- - -	- - - -	- - - -

 

Пример 2.

Два потребителя с параметрами r₂ = 3 Ом; x_L2 = 4 Ом; r₃ = 8 Ом; x_С3 = 8 Ом соединены параллельно друг другу. Последовательно с ними включен потребитель с параметрами r₁= 4 Ом; x_L1= 8 Ом; x_С1= 5 Ом. Найти полное сопротивление потребителей и всей цепи, потребляемый ток, активную, реактивную и полную мощность, угол сдвига по фазе между током и напряжением, если напряжение в сети 220 В.

Р е ш е н и е:

Схема включения потребителя показана на рисунке 2а. Находим полное сопротивление потребителей

 

Z₁= r₁+ jx_L1- jх_С1=4+ j8- j5= 4+ j3= Ом;

׀Z₁׀ =

φ = arctg х_L1 / r₁ = arctg 3/4 = 37⁰;

Z₂ = r₂ + jx _L2 = 3 + j4 =

׀Z₂׀ =

φ = arctg х_L2 / r₂ = arctg 4 / 3 = 53⁰;

Z₃ = r ₃ – jx _C3 = 8 - j8 =

׀Z₃׀ =

φ = arctg (-8/8) = - 45⁰.

Сопротивление между узлами А В

 

=

Полное сопротивление цепи

Z = Z₁ + Z_AB = 4 + j3 + 4,3 + j2,3 = 8,3 + j5,3 =

Считая начальную фазу напряжения равной нулю, находим общий ток

Находим напряжение между узлами А В и токи в ветвях

Мощность, потребляемая цепью:

-активная

P = I²·r = I·U·cos φ = 22,4 · 220 · cos (-33⁰) = 4133 Вт;

-полная

S = I·U = 22,4 · 220 = 4928 ВА;

-реактивная

Q = I·U· sin φ = 22,4 · 220 · sin(- 33⁰) = 2684 ВАр; φ = - 33⁰.

Находим падение напряжения на Z₁

Для построения векторной диаграммы определяем масштаб построения величины тока и напряжения:

m_I = 2 A/cм; m_U = 20 B/cм.

 

Векторная диаграмма

 

 

Задание № 3