Приближенное решение дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера.

Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

(1)

удовлетворяющее начальному условию у(х₀) = у₀.

При численном решении дифференциального уравнения (1) задача ставится следующим образом: в точках х_к, х₀, х₁, х₂,...., х_п найти приближения для значений точного решения у(х_к)

Разность называется шагом сетки. Во многих случаях величину принимают постоянной. Пусть = h, тогда

x_k = x₀ +kh где (2)

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным отношением по приближенной формуле

, где (3)

Приближенное значение у_к в точке x_k = x₀ +kh вычисляется по формуле:

- формула Эйлера (4)

Пример 4.1: Методом Эйлера найти значения решения уравнения , для которого у(1) = 1, в пяти точках отрезка [ 1; 1,5 ], приняв h = 0,1.

Решение. По формуле (2) находим точки х₀ = 1, х₁ = 1,1, х₂ = 1,2, х₃ = 1,3, х₄ = 1,4, х₅ = 1,5. Значения искомой функции у = у(х), удовлетворяющей условиям данной задачи Коши, вычисляем по формуле (4). Результаты вычислений занесем в таблицу.

k	xk	yk	2xk	f(xk , yk) = 2xk - yk	hf(xk , yk) = 0,1(2xk - yk)	yk+1 = yk + hf(xk , yk)
	1,0	1,0000	2,0	1,0000	0,1000	1,1000
	1,1	1,1000	2,2	1,1000	0,1100	1,2100
	1,2	1,2100	2,4	1,1900	0,1190	1,3290
	1,3	1,3290	2,6	1,2710	0,1271	1,4561
	1,4	1,4561	2,8	1,3439	0,1344	1,5905
	1,5	1,5905	3,0	1,4095	0,1410	1,7315

§2. Метод Рунге – Кутта. (Один из наиболее употребляемых методов повышенной точности).

Пусть функция у определяется дифференциальным уравнением с начальным условием у(х₀) = у₀. При численном интегрировании такого уравнения по методу Рунге – Кутта определяются четыре числа:

(5)

Если положить , то можно доказать, что

. (6)

Получаем следующую схему вычислений:

 

x	y	ki	Δy
x0	y0	k1
		k2
		k3
x0 + h	y0 + k3	k4
x1	y1 = y0 + Δy0	k1
		k2
		k3
x1 + h	y1 + k3	k4
x2	y2 = y1 + Δy1	k1
		k2
		k3
x2 + h	y2 + k3	k4
..............	.............	..............	...............

Пример 4.2:

Составь таблицу значений функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, 0 ≤ х ≤ 1 при h = 0,2.

Решение.

Используя формулы (5) найдем числа:

Отсюда

Таким образом у₁ = 1 + 0,1832 = 1,1832 при х = 0,2. По этой же схеме находим у₂ и т.д. процесс вычисления ведем по схеме:

x	y	ki	Δy
x0 = 0	y0 =1	k1 = 0,2	= 0,1832
= 0,1	=1,1	k2 = 0,1838
=0,1	1,0918	k3 = 0,1817
x0 + h = 0,2	y0 + k3 = 1,1817	k4 = 0,1686
x1 = 0,2	y1 = y0 + Δy0 = 1,1832	k1 = 0,1690	= 0,1584
= 0,3	= 1,2677	k2 = 0,1589
= 0,3	= 1,2626	k3 = 0,1575
x1 + h = 0,4	y1 + k3 = 1,3407	k4 = 0,1488
x2	y2 = y1 + Δy1=1,3416	k1
..............	.............	..............	...............

Упражнения.

1. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,18	1,25	1,31

Ответ:

 

2. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,22	1,36	1,52

Ответ:

 

 

3. Найти по методу Эйлера три значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1.

х	0	0,1	0,2	0,3
у	1	1,2	1,45	1,78

Ответ:

 

 

4. Найти по методу Эйлера четыре значения функции у, определяемой уравнением , при начальном условии у(0) = 0, принимая h = 0,1.

х	0,1	0,2	0,3	0,4
у	0	0,001	0,005	0,014

Ответ:

 

 

5. Найти, используя метод Эйлера, значения функции у, определяемой дифференциальным уравнением , при начальном условии у(2) = 4, принимая h = 0,1. Ограничиваясь отысканием первых четырех значений у.

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	1	1,1	1,18	1,25	1,31

Ответ:

 

 

6. Найти методом Эйлера численной решение уравнения на отрезке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,2

х	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
у	1	1,1	1,18	1,24	1,27	1,27

Ответ:

 

 

7. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [1; 2], при начальном условии у(1) = 0, принимая h = 0,1. В первых пяти точках.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4
у	-0,1158	-0,1501	-0,1925	-0,2397	-0,2944

 

8. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с тремя верными знаками.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
у	-1	-0,975	-0,949	-0,921	-0,888	-0,842	-0,802	-0,744	-0,675	-0,593	-0,495

 

9. По методу Рунге – Кутта проинтегрировать уравнение на промежутке [0; 1], при начальном условии у(0) = 1, принимая h = 0,1. Вычисление вести с двумя верными знаками.

Ответ:

х	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
у	1	1,05	1,12	1,20	1,29	1,39	1,50	1,62	1,75	1,89	2,03

 

 

 

Литература.

1. С.М. Никольский, М.К. Потапов, Алгебра: Пособие для самообразования. 2-е изд. М.: Наука, 1990
2. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М.Гусак, Е.А. Бричкова. Мн.: ТетраСистемс,1999
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. 13-е изд. – М.: Наука, Главная редакция Физико-математической литературы, 1985.
4. Ю.И. Клименко Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи: Учебник для вузов / Ю.И. Клименко. – М.: Издательство «Экзамен». 2005г.
5. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для вузов. – 4-е изд., М.: Высшая школа. 1998.
6. П.Е. Данко, А.Г. Попов, Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. III. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1971.
7. Д.Т. Письменный, Конспект лекций по высшей математике: [в 2ч.] – 6-е изд. - М.: Айрис – пресс, 2006.