Взаимное расположение двух прямых. Пучки прямых. Угол между прямыми

1 Составить уравнение прямой, симметричной данной прямой , относительно точки А (2; 3).

2 Даны пары прямых:

а) и ;

б) и ;

в) и ;

г) и ;

д) и .

Выяснить, какие из данных пар прямых взаимно перпендикулярны.

3 В пучке найти прямую, параллельную прямой .

4 В пучке найти прямую, проходящую через начало координат.

5 Через точку пересечения прямых , проведена прямая, перпендикулярная к прямой . Написать уравнение этой прямой.

7 На плоскости проведена прямая так, что точка А (1; 2) является серединой ее отрезка, заключенного между осями координат. Написать уравнение этой прямой.

8 При каком значении параметра t прямые, заданные уравнениями и , параллельны?

9 Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух параллельных прямых:

а) ; ;

б) ; .

10 Найти угол, образованный двумя прямыми, заданными в определенном порядке своими уравнениями в каждом из следующих случаев (предполагается, что плоскость ориентирована при помощи системы координат):

а) ; ; б) ; ;

в) ; .

11 Через точку (-1; 5) провести прямые, наклоненные к прямой под углом, тангенс которого равен: а) ; б) .

11 Даны уравнения сторон треугольника АВ: , ВС: ,

АС: . Определить тангенсы его внутренних углов.

12 Доказать, что прямые не проходят через одну точку: .Найти уравнение прямой, проходящей через точку А = параллельной прямой .

13 Установить, какие из следующих пар прямых перпендикулярны:

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , ;

5) , ; 6) , .

Решить задачу, не вычисляя угловых коэффициентов данных прямых.

14 Определить, при каких значениях m и n две прямые :

а) параллельны;

б) совпадают;

в) перпендикулярны.

15 Определить, при каком значении m две прямые пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс.

16 Определить, при каких значениях а и b две прямые :

а) имеют одну общую точку;

б) параллельны;

в) совпадают.

 

Расстояние от точки до прямой. Геометрический смысл знака многочлена

1 Найти проекцию точки Р (-6; 4) на прямую .

2 Найти точку Q, симметричную точке Р (-5; 13) относительно прямой .

3 Даны вершины треугольника А (1; -2), В (5; 4), С (-2; 0). Составить уравнение биссектрис его внутреннего и внешнего углов при вершине А.

4 Две стороны квадрата лежат на прямых , . Вычислить его площадь.

5 Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми , , в котором лежит начало координат.

6 На оси Ох найти точку, равноудаленную от прямых , .

7 Найти расстояние от точки до прямой в каждом из следующих случаев:

а) , ; б) , ;

 

в) , .

8 Найти расстояние от точек А (1; 2), В (-1; 3), С (1; 6) до прямой .

9 Найти длины высот треугольника, стороны которого заданы уравнениями , , .

10 Через точку М (-1; 4) проведена прямая, расстояние которой до точки

Q (-2; -1) равно 5. Составить ее уравнение.

11 В каждом из следующих случаев найти уравнение биссектрис углов, образованных прямыми:

а) и ;

б) и .

12 Составить уравнение биссектрисы тупого угла, образованного прямыми и .

13 Составить уравнение окружностей, касающихся двух данных прямых и и имеющих радиус, равный 5.

14 Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми и , в котором лежит точка М (1; 2).

15 Дана прямая . Указать, какие из пар точек, приведенных ниже, лежат по разные стороны от данной прямой:

а) и ;

б) и ;

в) и .

16 Найти проекцию точки М, заданной своими координатами, на прямую l, заданную своим уравнением М(5; -2), .

 

Имеет место утверждение:

Пусть прямые и , заданные в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями , , пересекаются, но не перпендикулярны друг другу. Тогда внутренние области двух вертикальных острых углов, образованных этими прямыми, характеризуются неравенством , а внутренние области двух вертикальных тупых углов неравенством .