Интервальные оценки параметров распределения

 

Определение 1. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной вероятностью (надежностью) покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой с надежностью математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней при известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

,

где – точность оценки,

– объем выборки,

– значение аргумента функции Лапласа (см. приложение 2), при котором .

При неизвестном (и объеме выборки ) доверительным будет интервал

,

где – «исправленное» выборочное среднее квадратическое отклонение, находят по таблице приложения 3 по заданным и .

Интервальной оценкой с надежностью среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по «исправленному» выборочному среднему квадратическому отклонению служит доверительный интервал:

при ,

при ,

где находят по таблице приложения 4 по заданным и .

Интервальной оценкой с надежностью неизвестной вероятности биномиального распределения по относительной частоте служит доверительный интервал (с приближенными концами и ):

,

 

где

,

.

где – общее число испытаний,

– относительная частота, равная отношению ( – число появлений

события);

– значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором ( – заданная надежность).

Замечание. При больших значениях (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

, .

Пример 1. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Варианта
Частота

 

Требуется оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение. Выборочную среднюю и «исправленное» среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам

, .

Подставим в эти формулы данные задачи:

,

Таким образом, получим , .

Найдем искомый доверительный интервал:

.

Значение находят по таблице приложения 3 по заданным и : .

Подставляя ; ; получим

.

Получили доверительный интервал , покрывающий неизвестное математическое ожидание с надежностью .

Пример 2. По данным выборки объема из генеральной совокупности найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с надежностью 0,99.

Решение. Задача сводится к отысканию доверительного интервала

(если ) или (если ).

Значение находят по таблице приложения 4 по заданным и : . Так как , то воспользуемся первым соотношением. Подставим и . Получим

,

отсюда

.

Таким образом, полученный доверительный интервал покрывает неизвестное среднее квадратическое отклонение с надежностью (доверительной вероятностью) .

Часто используют также следующие выборочные характеристики.

– ошибка средней (среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней);

– коэффициент вариации (доля среднего квадратического отклонения в выборочной средней, в процентах).