Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна единице, деленной на квадрат косинуса этого угла.

Основы тригонометрии.

Обобщение понятия угла

O

B

A

Определение: Углом называется фигура, состоящая из двух различных лучей (сторон угла) с общим началом (вершиной угла) и ограниченной ими части плоскости.

Ð AOB = a, 0 ° £ a £ 180 °.

 

Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r - . На выберем точку М.

ОА - начальный радиус .

- радиус-вектор точки М, принадлежащей .

Ð (ОА, ) = Ð AOМ = a.

Описание: Углом поворота AOМ называется угол, образованный вращением вокруг начала координат начального радиуса ОА до положения ОМ.

y

x

M

A

a

y

x

M1

M2

a1

a2

А

Угол поворота считается положительным, если он образован вращением начального радиуса ОА против часовой стрелки, и отрицательным, если начальный радиус ОА вращается по часовой стрелке.

a₁ = Ð AOМ ₁ = 45° a₂ = Ð AOМ ₂ = - 45°

 

Если начальный радиус повернуть против часовой стрелки на 180°, а потом еще на 30°, то угол поворота будет равен 210°. И начальный радиус сделает полный оборот, то угол поворота будет равен 360°, если он сделает полтора оборота в том же направлении, то угол поворота будет равен 540° и так далее.

 

Вывод: Угол поворота может принимать любые значения, большие 360° и меньшие - 360°.

 

Упражнение: Постройте углы 405°, - 210°, 840°, - 1320°, 2385°.

Рассмотрим в окружность . Построим угол a = Ð AO М = 150°.

Вопрос: Какие углы будут соответствовать этому же радиус-вектору?

Ответ: Если a = Ð AOМ = 150°, то углы 150° + 360° n, где n Î Z, соответствуют этому же радиус-вектору. При n= 0, 1, - 1, 2, - 2 получаем 150°, 510°, - 210°, 870°, -570°.

 

Вывод: Радиус-вектору точки М, принадлежащей , соответствует бесконечное множество углов, отличающихся друг от друга на целое число полных оборотов: b = a + 360 °× n, n Î Z.

Замечание: Пусть при повороте на угол a начальный радиус ОА переходит в положение . В зависимости от того, в какой координатной четверти окажется радиус-вектор , угол a называют углом этой координатной четверти (говорят, что угол a принадлежиткоординатной четверти).

Если a Î (0°; 90°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 1-ой координатной четверти.

Если a Î (90°; 180°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 2-ой координатной четверти.

Если a Î (180°; 270°), то a+ 360° n, где n Î Z, - углы 3-ей координатной четверти.

Если a Î (270°; 360°), то a + 360° n, где n Î Z, - углы 4-ой координатной четверти.

Углы 0º, ± 90º, ± 180º, ± 270º, ± 360º, … не принадлежат никакой координатной четверти.

Пример: Какой координатной четверти принадлежит угол - 2763 °?

Решение: Разделив 2763° на 360°, выясним, сколько полных оборотов нужно сделать при построении данного угла. - 2763 ° = - 360° · 7 - 243°.

Так как угол - 243° принадлежит 2-ой к. ч., значит, угол - 2763 ° принадлежит 2-ой к. ч.

Ответ: - 2763 ° Î 2-ой к. ч.

Упражнение: Какой координатной четверти принадлежат углы: 598°, 3672°, - 1743°?

 

2. Градусная и радианная меры угла

x

y

A1

A2

M1

B1

M2

B2

Широко распространены две системы измерения углов: градусная и радианная. Они отличаются выбором единицы измерения. В градусной мере единицей измерения является 1° - часть одного полного оборота.

Рассмотрим в окр. (О, ОА ₁ = r ₁ ), окр. (О, ОА ₂ = r ₂ ).

a = Ð A ₁ O В ₁= Ð A ₂ O В ₂

Углу a соответствует дуга l₁ = A₁ М₁ В₁ , дуга l₂ = A₂ М₂ В₂ .

Для данного центрального угла a отношение длины дуги к длине радиуса есть величина постоянная.

;

Определение: Число а, равное отношению длины дуги l, соответствующей некоторому центральному углу a, к длине радиуса r, называется радианной мерой этого угла.

Вывод: Если радиус окружности равен 1, то радианная мера центрального угла – это длина дуги, соответствующей этому центральному углу.

 

Определение: 1 радиан – единица радианной меры угла – это центральный угол, которому соответствует дуга, равная радиусу.

 

Всякий угол, заданный в градусной мере, можно перевести в радианную меру, и, наоборот, угол, заданный в радианной мере, можно перевести в градусную меру.

Углу 360° соответствует дуга, равная длине окружности (l_окр. = 2p r).

; 360° = 2p; 180 ° = p.

a – градусная мера данного угла;

а – радианная мера данного угла.

3.

y

x

A

M

x

y

r

a

Тригонометрические функции числового аргумента

Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r =1 - .

На выберем точку М (x; y).

ОА - начальный радиус .

- радиус-вектор точки М (x; y), принадлежащей

.

Ð (ОА, ОМ) = Ð AO М = a.

Определение: Синусом угла a называется ордината радиус-вектора точки М, принадлежащей .

Определение: Косинусом угла a называется абсцисса радиус-вектора точки М, принадлежащей .

Определение: Тангенсом угла a называется отношение ординаты радиус-вектора точки М, принадлежащей , к его абсциссе.

Определение: Котангенсом угла a называется отношение абсциссы радиус-вектора точки М, принадлежащей , к его ординате.

С изменением угла a координаты радиус-вектора точки меняются, а его модуль остается без изменения.

, , , – переменные величины, зависящие от a. Каждому допустимому значению a соответствует единственное значение , , , . Поэтому синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла a. Их называюттригонометрическими функциями.

Функции и определены при любом значении , так как для любого угла поворота можно найти значения координат y и x.

Вывод: ; .

Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота ± , ± , ± , …, так как для этих углов не имеет смысла дробь (x = 0).

Функция имеет смысл при любом , кроме углов поворота 0, ± p, ± 2 p, …, так как для этих углов не имеет смысла дробь (y = 0).

Вывод: 1)

2)

Замечание:

1) Углы , называют углами вертикального диаметра (Рис.1).

y

x

y

x

2) Углы , называют углами горизонтального диаметра (Рис.2).

 

Рис.1. Рис.2.

4. Знаки тригонометрических функций

Так как , то знак зависит от знака ординаты y. В 1-ой и 2-ой координатных четвертях y > 0, в 3-ей и 4-ой координатных четвертях y < 0.

 

Вывод: , если a является углом 1-ой или 2-ой координатных четвертей,

, если a является углом 3-ей или 4-ой координатных четвертей.

 

Так как , то знак зависит от знака абсциссы x. В 1-ой и 4-ой координатных четвертях x > 0, во 2-ой и 3-ей координатных четвертях x < 0.

Вывод: , если a является углом 1-ой или 4-ой координатных четвертей,

, если a является углом 2-ой или 3-ей координатных четвертей.

Так как и , то знаки и зависят от знаков x и y.

В 1-ой и 3-ей к. ч. x и y имеют одинаковые знаки, а во 2-ой и 4-ой к. ч. x и y имеют разные знаки.

Вывод: , , если a является углом 1-ой или 3-ей к. ч.,

, , если a является углом 2-ой или 4-ой к. ч.

y

x

y

x

y

x

+

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

Пример: Определить знак выражения: 1) sin 973º; 2) .

Решение:

1) 973º = 360º·2 + 253º; 253ºÎ (180°; 270°), значит, 973ºÎ 3-ей к. ч.,

следовательно, sin 973º < 0.

2) Î 4-ой к. ч., значит, Î 4-ой к. ч.,

следовательно, .

Ответ: sin 973º < 0; .

Упражнения:

№1. Среди углов 770º, 480º, – 50º, 1560º, – 240º, – 310º найдите такие углы, при которых начальный радиус займет то же положение, что и при повороте на угол: а) a = 50º; б) a = 120º.

№2. Определите знак выражения:

cos 567º; sin 5791º; tg 269º; ctg (– 705º); cos 1259º; ctg .

№3. Какой знак имеют , , , , если:

.

№4. Определите знак выражения:

а) sin 190º · tg 200º; б) cos 320º · ctg 79º; в) cos 271º · sin 453º · tg 514º · ctg 378º,

г) – sin 50º ·(– cos (– 91º)) · tg 170º· ctg (– 640º) · sin 530º.

№5. Углом какой координатной четверти является угол a, если:

а) sin a > 0 и cos a > 0; г) sin a > 0 и tg a > 0;

б) sin a < 0 и cos a > 0; д) tg a < 0 и cos a > 0;

в) sin a < 0 и cos a < 0; е) ctg a > 0 и sin a < 0.

5. Значения тригонометрических функций основных углов.

 

210º

330º

х

у

0º (0)

30º

45º

60º

90º

120º

240º

225º

135º

150º

180º (p)

270º

315º

300º

360º (2p)

Рассмотрим в .

Воспользуемся определениями тригонометрических функций для нахождения значений тригонометрических функций основных углов.

Основные углы:

у

x

М1 (1; 0)

М2 (0; 1)

М3 (– 1; 0)

М4 (0; –– 1)

 

Радиус-вектор , образующий углы 0º и 360º, имеет координаты (1; 0).

 

sin 0º = sin 360º = y = 0; cos 0º = cos 360º = x = 1;

tg 0º = tg 360º = = 0; ctg 0º = ctg 360º = – не существует.

Радиус-вектор ,образующий угол 90º, имеет координаты (0; 1).

sin 90º = y = 1; cos 90º = x = 0;

tg 90º = – не существует; ctg 90º = = 0.

Радиус-вектор ,образующий угол 180º, имеет координаты (– 1; 0).

sin 180º = y = 0; cos 180º = x = –1;

tg 180º = = 0; ctg 180º = – не существует.

Радиус-вектор ,образующий угол 270º, имеет координаты (0; – 1).

sin 270º = y = –1; cos 270º = x = 0;

М

М

М

у

у

у

х

х

х

А

А

А

В

В

В

х

у

у

у

х

х

a

a

a

tg 270º = – не существует; ctg 270º = = 0

 

Рис.1. a = 30º. Рис.2. a = 60º. Рис.3. a = 45º.

 

Рис.1. Радиус-вектор _, образующий угол a = 30º, имеет координаты .

sin 30º = y = ; cos 30º = x = ; tg 30º = = ; ctg 30º = = .

Рис.2. Радиус-вектор _, образующий угол a = 60º, имеет координаты

sin 60º = y = ; cos 60º = x = ; tg 60º = = ; ctg 60º = = .

Рис.3. Радиус-вектор _, соответствующий углу a = 45º, имеет координаты

sin 45º = y = ; cos 45º = x = ; tg 45º = = 1; ctg 45º = = 1.

Пример:

 

№1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов:

a)

х

у

М3

М1

М2

М4

М5

М6

А

a2

a1

a3

a₁ = 120º ;

b) a₂ = 225º ;

c) a₃ = 330º .

Решение:

a) Радиус-вектор , соответствующий углу a = 60º, имеет координаты

Радиус-вектор , соответствующий углу a =120º, имеет координаты

sin 120º = y = ; cos 120º = x = ; tg 120º = = ; ctg 120º = = .

b)Радиус-вектор _, соответствующий углу a = 45º, имеет координаты .

Радиус-вектор _, соответствующий углу a =225º, имеет координаты .

sin 225º = y = ; cos 225º = x = ; tg 225º = = 1; ctg 225º = = 1.

c) Радиус-вектор _, соответствующий углу a = 30º, имеет координаты

Радиус-вектор _, соответствующий углу a=330º, имеет координаты .

sin 330º = y = ; cos 330º = x = ; tg 330º = = ; ctg 330º = = .

№2. Для каких значений угла верно равенство: 1) cos b = 0; 2) .

Решение:

y

x

y

x

1) cos b = 0 2) a + = + 2 p k, k Î Z

a = – + 2 p k, k Î Z

 

a = - p + 2p k, k Î Z

a = p + 2p k, k Î Z

b = + p k, k Î Z

Ответ: 1) b = + p k, k Î Z; 2) a = p + 2p k, k Î Z.

№3. Найти область допустимых значений аргумента a: .

Решение:

1) Исключаем значения a, при которых не существует ctg a: a ¹ p k, k Î Z.

2) Исключаем значения a, при которых знаменатель дроби sin a +1 обращается в нуль: sin a +1 ¹ 0; sin a ¹ – 1; a ¹ + 2 p k, k Î Z

Ответ:a ¹ p k, k Î Z; a ¹ + 2 p k, k Î Z.

Упражнения:

№1. Вычислить значения всех тригонометрических функций углов:

135º ; 150º ; 210º ; 240º ; 300º ; 315º .

№2. Найти значение выражения:

а) 2 sin p – 2 cos +3 tg – ctg ; б) cos ² – cos ² ;

в) 3 sin ² – 4 tg ² – 3 cos ² +3 ctg ² ; г) tg × cos ² × sin ;

д) ; е) .

№3. Для каких значений углаверно равенство:

а) sin a = 1; б) cos b = – 1; в) tg a = 0; г) ctg b =1.

6. Изменение тригонометрических функций с увеличением угла.

Рассмотрим в окружность с центром в точке О радиуса r= 1.

ОА - начальный радиус окр. (О, r =1).

- радиус-вектор точки М (x; y), принадлежащей окр. (О, r =1).

Ð (ОА, ОМ) = a.

 

Проследим за изменением каждой из четырех тригонометрических функций в отдельности при изменении угла a от 0º до 360º.

sin a ведет себя как ордината y радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r =1).

(Рис. 1.)

Если a Î (0°; 90°), то увеличивается от 0 до 1.

Если a Î (90°; 180°), то уменьшается от 1 до 0.

Если a Î (180°; 270°), то уменьшается от 0 до – 1.

Если a Î (270°; 360°), то увеличивается от – 1 до 0.

Вывод: 1. – не монотонная функция.

2. , то есть – множество значений

3. – ограниченная функция, так как .

y

x

(1; 0)

(0; 1)

(– 1; 0)

(0; – 1)

y

x

(1; 0)

(0; 1)

(– 1; 0)

(0; – 1)

 

Рис. 1. Рис. 2.

ведет себя как абсцисса x радиус-вектора точки М, принадлежащей окр. (О, r = 1).

(Рис. 2.)

Если a Î (0°; 90°), то cos a уменьшается от 1 до 0.

Если a Î (90°; 180°), то cos a уменьшается от 0 до – 1.

Если a Î (180°; 270°), то cos a увеличивается от – 1 до 0.

Если a Î (270°; 360°), то cos a увеличивается от 0 до 1.

 

Вывод: 1. – не монотонная функция.

2. , то есть – множество значений .

3. – ограниченная функция, так как

Через конец начального радиуса ОА точку А проведем ось АТ, параллельную оси Оу. Радиус-вектор , соответствующий углу a, продолжим до пересечения с осью АТ в

точке N. Алгебраическая величина отрезка АN равна tg a, где a – угол любой из четырех координатных четвертей (Рис. 1).

x

y

+ ¥

- ¥

N

N

N

N

A

x

y

N

М

N

A

М

М1

М

М1

М

Т

Т

 

Рис.1. Рис.2.

 

Если a Î (0°; 90°), то tg a = АN возрастает от 0 до + ¥ при увеличении угла a.

Если a Î (90°; 180°), то tg a = АN возрастает от – ¥ до 0 при увеличении угла a.

Если a Î (180°; 270°), то tg a = АN возрастает от 0 до + ¥ при увеличении угла a.

Если a Î (270°; 360°), то tg a = АN возрастает от – ¥ до 0 при увеличении угла a.

Вывод: 1. – возрастающая функция.

2. , то есть – множество значений .

3. – неограниченная функция, так как .

Так как дроби и взаимно обратны, следовательно, и