Глава 5. Абстракция отождествления

знать что-нибудь, значит отличать

его от всех, отличных от него, и отож-

дествлять со всеми, сходными с ним

(Александр Бэн, “Душа и тело”)

На содержании понятий “отождествление” и “различение” следует остано­виться хотя бы потому, что любой процесс познания попросту неотделим от со­ответствующих им операций мышления, – от различения, поскольку эта способность нашего ума есть самое необходимое “из всего, что только может вести к истинному познанию”^[188]; и от отождествления, поскольку “в основе всякой “абстракции” лежит акт отождествления, идентификации”^[189].

5.1. Различение. Возможно, Кант первый усмотрел в различении два гносеологически несовпадающих акта: “одно дело различать вещи и совсем другое – познавать различие между вещами”^[190]. Только последнее представляет собой логический акт, выражаемый в суждении различия, которое, согласно Канту, всегда является отрицательным суждением: “вещь А не является вещью В ”.

Это, конечно, так, когда отношение различия мыслится (и определяется) в узком смысле как отрицание равенства. Однако для различия в широком смысле это, по-видимому, не так. Различие каких-либо объектов в широком смысле означает, вообще говоря, их несовпадение по некоторым (дискриминирующим) признакам (свойствам), так что факт различия по этим признакам не исключает сходства объектов по другим признакам. Поэтому для различия в широком смысле более адекватной следует считать положительную форму выражения с помощью суждения “ А другое, чем В ”. Если “ А не есть В ”, то А, конечно же, другое, чем В. Но обратное, вообще говоря, неверно. Так, можно сказать, что формула (а Й b) другая, чем формула (а Ъ b). Это факт их положительного различия. Но (если только не иметь в виду графическое равенство) нельзя утверждать неравенство этих формул, поскольку они представляют одну и ту же функцию истинности – и это факт их положительного неразличия. Иными словами, предикаты “быть другим”, “быть таким же” и “быть тем же самым” должны быть привязаны к некоторой точке зрения, чтобы их содержание стало определённым.

Тонкость ситуации, с которой сталкивается тут наше мышление, была отмечена ещё Расселом, когда он писал, что различие “ может быть естественно определено как отрицание тождества; но этот приём, хотя он и приемлем для формальной логики, трудно согласуется с тем замечанием, что обычно мы принимаем различие за основное понятие”^[191].

Эмпирический факт независимости способа распознавания различия от способа распознавания тождества (равенства) позднее нашёл выражение в концепции интуиционистской и конструктивной математики и, в особенности, в концепции математики без отрицания, выдвинутой голландским математиком Гриссом ^[192], которого отказ от отрицания привёл к необходимости принять различие как основное (интуитивно ясное) отношение наряду с тождеством и более того, считать последнее логическим следствием определённых свойств отношения различия.

Очевидно, что для Канта различие было не основным понятием, а производным от тождества (равенства), что нисколько не должно удивлять в свете современной практики употребления этих понятий^[193]. Удивляет скорее то, что автор трансцендентальной философии не обратил внимание на гносеологическое несовпадение элементов триады “различное – различимое – различённое” и не проанализировал их. Между тем, различное не обязательно различено, а различённое не обязательно различно ^[194]. В то же время предикат “ х отлично от у ” можно мыслить и как выражение изначального отношения двух объектов, различных “самих по себе” (как онтологический предикат), и как следствие принятого предиката “ х различено от у ” (то есть как гносеологический предикат). Например, когда речь идёт о различии вещественных чисел в классической математике (по результатам сравнения десятичных знаков в рамках абстракции актуальной бесконечности), тогда предикат различия берётся в онтологическом смысле. Напротив, в интуиционистской и конструктивной математике (когда различие утверждается по результатам сравнения в рамках абстракции потенциальной осуществимости), предикат различия мыслится как гносеологический, поскольку таков именно статус у предикатов “ х отличимо от у ” и “ х отличено от у ”, причём, если х отличено от у, и этот акт обоснован, то х, конечно же, отличимо от у, хотя обратное, вообще говоря, неверно.

5.2. Отождествление. Всё это так или иначе надо принять во внимание, когда мы касаемся проблемы отождествлений, причём именно проблемы отождествлений, а не проблемы тождества. Мы отождествляем вещи или явления, если не находим оснований для их различения (или находим достаточные основания для их неразличения). Говоря иначе, мы отождествляем тогда, когда мы заведомо отвлекаемся от различий, независимо от того, делаем ли мы это по своей воле или в силу каких-либо объективных причин. При этом существенны по крайней мере два случая: один, когда вопрос об отождествлении сводится к вопросу об эмпирических возможностях отвлечения от различий в рамках каких-либо гносеологических ограничений на различимость (например, по результатам “сенсорной диагностики” измеримых свойств объектов); и другой, когда вопрос об измеримых свойствах игнорируется (или не ставится), и возможность отвлечения от различий мыслится чисто теоретической в рамках какой-нибудь подходящей абстракции.

В первом случае любые два достаточно близких (и, возможно, различных) объекта отождествляются, если их достаточная близость не превышает пороговой точности различения (наблюдения, измерения). В этом случае, как когда-то заметил Боэций, о “познаваемом составляется суждение не согласно его (познаваемого – М.Н.) собственной силе, а согласно способности познающего”^[195]. Во втором случае, уточняя логику одинаковости (отношений типа равенства), обычно без оговорок устраняют “неточности”, свойственные эмпирическому опыту. В частности, мысленно устраняют всякую зависимость равенства (одинаковости) от тех последствий различения “с точностью до”, которые делают равенство истиной факта, а не истиной разума. Это – идеализация опыта, и делается это потому, что с формальной точки зрения принять редукцию равенства к неразличимости, не впадая при этом в противоречия или не ослабляя логический смысл понятия равенства, мы, вообще говоря, не можем. Именно формальная точка зрения вынуждает нас терпеть симбиоз априорных и апостериорных понятий и, говоря об одинаковости как рефлексивном, симметричном и транзитивном отношении, убеждать себя в том, что и одинаковость и различие “мы определяем при этом на глаз” ^[196].

Вопрос об отождествлении и вопрос о распознавании тождества – это, вообще говоря, разные вопросы. В самом деле, на основании каких источников мы судим о заданности тождества на множестве объектов теории? Один ответ заведомо прост: если универсум теории устроен как “множество по Кантору”, то a priori в нём определена индивидуация и, следовательно самотождественность. Однако всё остальное – дело абстракции, так что речь может идти только о тождестве через абстракцию. При этом и объективный факт тождества объектов и субъективный акт их отождествления естественно рассматривать как независимые: коль скоро речь о субъективных актах, то возможно (и допустимо) отождествление объективно нетождественных (неузнавание различия) или, напротив, – различение объективно тождественных (неузнавание тождества).

Вводя понятие о тождестве через абстракцию (отождествления), вопрос о подстановочности тождественных, об условиях замены равного равным приходится решать особо. Правило замены в этом случае будет производным по отношению к абстракции, а не прямым. Применяя абстракцию отождествления, необходимо следить (всякий раз, когда вводятся какие-либо операции над объектами), устойчивы ли эти операции относительно данной абстракции, не нарушается ли при этом интервал данной абстракции отождествления.

Особую осторожность необходимо соблюдать при отождествлении имён, что часто делается, когда тождество определяют семантически по примеру Фреге: “ А= В обозначает тот факт, что имена А и В имеют то же самое (одинаковое) концептуальное содержание, так что мы можем повсюду заменять В на А и наоборот”^[197] или Джевонса: “Символы А = В обозначают тождество объектов, представленных неопределёнными терминами или именами А и В ”^[198].

К примеру, рассматривая дроби как имена рациональных чисел, мы вправе написать равенство p /q = ps /qs, где s и q № 0. Так как оба члена этого равенства – это два различных имени одного и того же рационального числа, то, применив абстракцию отождествления к этим именам, мы хотели бы их равенство толковать как тождество. Однако не в любом контексте (и, замечу, не в любом экстенсиональном контексте!) эти имена подстановочны и, как следствие, обозначаемые ими объекты тождественны. В частности, p /q и ps /qs не подстановочны относительно операции нахождения числа, заключённого в положительном интервале между двумя данными дробями. Указав на этот пример, Шатуновский замечает, что при рассмотрении свойств операций необходимо для каждой из них исследовать вопрос о возможности замены равного равным ^[199].

Со своей стороны добавлю, что если задачу отождествления ограничить контекстом, определяющим указанную выше операцию, то относительно неё подстановочность всё же выполнима в интервале данной абстракции отождествления рациональных чисел. Более глубокий результат можно получить, рассматривая предикат равенства не как двухместный, а как четырёхместный (или двухместный от функций по натуральным аргументам). При этом выясняется, что только равенство натуральных чисел действительно удовлетворяет всем условиям на логическое тождество, а равенство дробей —только условиям на эквивалентность.

Вообще, отождествление – это не констатация (узнавание, прослеживание, подтверждение) отношения тождества, а некоторое его порождение, исходя из определённых установок познания. Исходя из тех же установок, решается вопрос о достаточных основаниях для тех или иных отождествлений. Субъективность таких оснований может определяться доступностью (полнотой) информации об объектах, но, очевидно, что какая-то информация такого рода имеется всегда. Следовательно отождествление, как и различение, – это всегда некоторая задача, допускающая (в зависимости от условий) различные решения.

5.3. Абстракция отождествления. Если верно, что в основе всякой абстракции лежит акт отождествления, то не менее верно и то, что само отождествление является абстракцией. Но слово “отождествлять” позволительно толковать и употреблять в разных смыслах (по-разному). Всё зависит от того, на каких условиях допускаются акты отождествления. Абстракция отождествления (термин введён А.А. Марковым, 1954) естественно релятивизирует этот акт, выражая по существу потребность в принципе, более прозрачном и менее метафизичном, чем лейбницевский принцип тождества неразличимых.

Абстракция отождествления – это абстракция, с помощью которой из каких-либо объектов одного рода, то есть в каком-либо смысле объектов одинаковых (эквивалентных, равных), посредством отвлечения от их посторонних различий (несущественных для данного отношения одинаковости) порождается объект, единственный в своём роде – абстрактный объект.

Для каждого применения абстракции отождествления те объекты, к которым она применяется (например, все оттиски буквы “я”, напечатанные на этой странице) называют (считают) конкретными; а те, что возникают в результате применения абстракции отождествления (например, единственная буква “я” русского алфавита), – абстрактными.

В систему абстракций конструктивной логики и математики абстракция отождествления включается в качестве “вспомогательной” абстракции. Хотя с её помощью порождаются абстрактные объекты – абстрактные буквы, абстрактные алфавиты, абстрактные слова и пр., всё же считается, что это не приводит к таким актам идеализации, которые, с одной стороны, существенны для конструктивных теорий, а с другой, – выводят за рамки этих теорий, нарушают их принципиальные установки, поскольку любое рассуждение с применением абстракции отождествления может быть заменено рассуждением, не использующим этой абстракции, а именно, – рассуждением только на конкретных объектах. Если лейбницевский принцип тождества неразличимых, характеризуя тождество как “внутреннее” отношение объекта, был для него иным выражением принципа индивидуации, то для конструктивистов абстракция отождествления не исключает, а скорее предполагает абстракцию индивидуации как независимый принцип, хотя они ничего об индивидуации как абстракции не говорят.

То, что Марков назвал абстракцией отождествления, относится не ко всякому отождествлению, а лишь к такому, где делается преднамеренная абстракция от “неощутимых различий” индивидуально различных объектов, хотя, строго говоря, абстракция отождествления никак не связана с неразличимостью, если последняя понимается как эмпирический факт. В самом деле, рассматривая конструктивные объекты “с точностью до одинаковости, то есть пренебрегая различиями между одинаковыми объектами”^[200], одновременно допускают (а фактически постулируют) транзитивность одинаковости, оговаривая, что одинаковость и различие определяются при этом на глаз^[201]. Однако, держась эмпирической точки зрения, в этом случае нельзя игнорировать проблему “малых различий”. Пренебрегать такими различиями мы не можем, не указывая явно адекватный “способ пренебрежения”, иначе у нас нет гарантии от возникновения противоречий, когда незаметное накопление малых различий (в условиях принятия абстракции потенциальной осуществимости) “размоет” границу между одинаковым и различным, что естественно приведёт к ситуации, которую я называю парадоксом транзитивности (или парадоксом Пуанкаре)^[202].

Ясно, что в конструктивном истолковании абстракции отождествления ссылка на эмпирический опыт – это простая формальность, не предусматривающая эмпирических оправданий. Обычные для эмпирического опыта погрешности сравнений (измерений) “с точностью до” (например, с эталоном) здесь либо вовсе не принимаются во внимание, либо просто приравниваются к нулю. Особенности следящей системы (наблюдателя) абстрагироваться от неощутимых различий не являются здесь составной частью отношения, возникающего в актах отождествления, хотя сами эти акты обычно рассматриваются как элементарные действия над конструктивными (физически определёнными) объектами. Но “физичность” ситуации здесь явно идеализированная, платонистская, что, между прочим, и создаёт гарантию от возникновения противоречий ^[203].

Вот почему я убеждён, – вопреки известному заявлению, что сама по себе абстракция отождествления носит только вспомогательный (и исключаемый) характер, – что для конструктивных (как и для всяких иных математических) теорий она необходима по существу. Только в этом случае, выделяя понятие о “конкретных объектах”, образующих универсум теории, можно a priori предполагать не только возможность отождествлять или различать эти объекты всякий раз, когда нам это потребуется, но и принимать такое отношение одинаковости между конкретными объектами, которое рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Постулированием транзитивности заведомо предохраняются от неприятностей, связанных с накоплением неощутимых различий. Это, конечно, необходимо, но недостаточно для самой абстракции отождествления. Если первый её этап состоит во введении базового отношения типа равенства (одинаковости) и в отвлечении (первого порядка) от всех неприятностей, связанных с эмпирическими актами различения^[204], то второй – в отвлечении (второго порядка) от множественности одинаковых, в замене одинаковых многих на один абстрактный объект как общее свойство всех одинаковых между собой объектов. В первоначальной редакции А.А. Марков высказывался даже в более платонистской манере, говоря об “образовании абстрактного понятия”^[205] с помощью этой абстракции.

Как бы там ни было, но именно такого рода замена составляет содержание абстракции отождествления в применении к конкретным объектам^[206]. Она выражает простой факт редукции. Вместо того, чтобы говорить о многих одинаковых, она позволяет говорить об одном и том же, но абстрактном объекте. Понятие “один и тот же” при этом уточняется через абстракцию от базовых отношений: два конкретных объекта тогда и только тогда представляют один и тот же абстрактный объект, когда эти конкретные объекты одинаковы. Следовательно, в отличие от обычных аксиоматических определений, содержание понятия “один и тот же объект” (а, следовательно, и понятия тождества) не является раз и навсегда данным. Оно может определяться (и на самом деле определяется) в разных случаях разными процедурами отождествлений.

К примеру, что значит отождествить две буквы в русском алфавите, когда речь идёт об их употреблении в устном речевом общении? В этом случае придётся одинаковость понимать как одинаковость их фонетических значений. Здесь одной графикой обойтись уже нельзя, поскольку графическое равенство и фонетическое равенство букв могут не совпадать. Более того, дело осложняется тем, что фонетическое равенство (одинаковость) букв в устной речи определяется их вхождением в слово – их “соседями” по вхождению в слово. В лингвистике этот факт известен как позиционный принцип графики.

Таким образом, вводя абстракцию отождествления, надо позаботиться об отношениях одинаковости и различия. Процедура их введения и распознавания может быть как финитной, так и трансфинитной. И хотя в математике абстракция отождествления применяется “на каждом шагу, по отношению к весьма разнообразным “одинаковостям” весьма разнообразных объектов”^[207], она применима лишь при условии конструктивного характера этих объектов. Между тем, “конструктивная математика использует гораздо более “скромную” систему абстракций, нежели традиционная”^[208]. В более общем (традиционном) случае место абстракции отождествления заступает теоретико-множественный принцип абстракции.

5.4. Абстракция отождествления и обобщающая абстракция. В чистой логической теории тождества мы стремимся создать понятие, которое имело бы абсолютный смысл, независимый от того, как мы отождествляем объекты. Иными словами, та или иная абстракция отождествления допускается здесь наряду с понятием о тождестве. В чистой теории тождества мы задаем только смысл предиката “ х = у ”. О фактической истинности суждений о тождественности, возникающих на основе этого предиката, мы узнаем в приложениях логической теории, когда мы отсылаем за разъяснением значений переменных, входящих в предикат тождества, к некоторой модели, то есть когда мы имеем в виду не понятие тождества само по себе и не логическую функцию, соответствующую этому понятию, а фактические условия ее выполнения. Но если говорить о приложениях, то для них, как правило, и отождествление и различение суть абстракции: “Отождествление, поскольку абстрагируются от различия, и различение, поскольку абстрагируются от отождествления” ^[209].

Спору нет, акты отождествления и различения, конечно, несовместимы. Но фактические основания для применения отношений, соответствующих этим актам, вполне могут их совмещать, скажем, в плане онтологическом, когда, не впадая в противоречие, можно говорить, что рассматриваемые предметы в некотором смысле одинаковы, а в некотором другом – различны. Так, мы говорим о двух (и, следовательно, различных) буквах “о” в слове “одинаковый”, хотя эти буквы графически одинаковы. Но поскольку наше сознание “фотографирует” их с одной стороны – либо со стороны их одинаковости, либо со стороны их различия, каждая такая фотография с точки зрения истинности познания имеет лишь преходящее значение, отражая действительность формально и неполно. Вот почему можно сказать, что познание “до стигает полноты лишь в единстве тождества с разностью и тем самым состоит только в этом единстве” ^[210].

В диалектической философии на этом основании нередко говорят, что, применяя абстракцию отождествления, по существу довольствуются “частичным тождеством”, поскольку выражение “ х тождественно у ” – это только эллиптический вариант выражения “ х есть та же самая сущность А, что и у ”, где А – своего рода переменная для подстановки различных сущностей в различных контекстах. При таком толковании абстракции отождествления содержание этой абстракции усматривают в выделении общих признаков предметов, а порождаемое ею отношение – в относительном тождестве, вообще говоря, различных, предметов по этим выделенным общим признакам, т. е. когда без обиняков полагают, что абстракция отождествления и обобщающая абстракция это одно и то же ^[211].

Однако интерпретация абстракции отождествления как обобщающей абстракции наталкивается, по-моему, на следующее возражение.

Во-первых, “выделение” признака, общего многим, и отождествление многих по этому признаку – это не одно, а два различных умственных действия. Между “выделяют общее свойство” и “отождествляют по общему свойству” нельзя писать союз “то есть”, если иметь в виду субъективный аспект этих действий. Первое ни просто, ни с необходимостью не влечет второе, хотя второе и подразумевает первое.

Во-вторых, считать тождественными предметы, имеющие лишь некоторый общий признак,— значит, входить в сознательный конфликт с логическим понятием тождества, безразлично, идет ли речь при этом о тождестве предметов “для нас”.или об их тождестве “в себе”. Философ, говоря, что “у меня нет основания выставить суждение А= В, если А и В сначала не кажутся мне различными до тех пор, пока я при ближайшем исследовании не нахожу, что они могут замещать друг друга”^[212], выражается еще недостаточно ясно, чтобы распознать по его словам, имеется ли в виду тождество или только об одинаковость различных объектов. Чтобы высказаться ясно, необходимо уточнить интервал подстановочности (заменяемости) рассматриваемых объектов, оговорив особо ситуации “внутри” и “вне” этого интервала. Допуская “тождество различных” без таких оговорок, мы сейчас же наталкиваемся на контрпример для подстановочности тождественных, то есть фальсифицируем одну из основных характеристик логического понятия тождества. А это очевидным образом приводит нас к внутренней противоречивости концепции “тождества различных”^[213].

Разумеется, если ограничиваются лишь некоторым “запасом признаков” (в чём, собственно, и выражается обобщающая абстракция), то в нем может и не оказаться тех признаков, которые различали бы рассматриваемые нами объекты. Однако сама идея тождества различных предполагает, что такие признаки не только существуют, но и заведомо нам известны. Поэтому такая аргументация не может нас спасти от противоречий, если мы не обратимся к явному указанию на интервал абстракции отождествления.

Рассуждая о тождестве, мы в любом случае обязаны ставить вопрос о том, каким именно условиям подчиняются наши представления об “одном и том же” и, соответственно, наши суждения об “одном и том же”. Выяснение условий истинности таких суждений – это обычное и естественное требование диалектики анализа, но оно вовсе не означает, что наличием таких условий мы можем оправдать подмену понятий, т. е. подмену логического понятия тождества неким его суррогатом, называемым “частичным тождеством”.

Ценность абстракции отождествления, в частности в том, что она даёт определённый выход из этих трудностей, если не приписывать ей чужеродного содержания и отличать её от известных абстракций традиционной логики.

Абстрагируя признак, общий многим, то есть применяя обобщающую абстракцию, мы делаем только первый шаг к желаемой цели, мы создаем (по соглашению) логическую возможность для “уравнивания” многих объектов, одинаковых по данному признаку. Мы переводим эту возможность в действительность, когда мы явным определением вводим одинаковость в систему наших понятий в виде перечня из трёх аксиом – рефлексивности, транзитивности и симметрии. Однако этот перечень, являясь логическим выражением свойств отношения одинаковости (типа равенства), не является логическим образом обобщающей абстракции. Не случайно в конструктивном анализе, где, собственно, и появился термин “абстракция отождествления”, об обобщающей абстракции не говорится ни слова. Значит, если мы хотим указать на явную связь отношения одинаковости с обобщающей абстракцией, нам необходимо найти подходящий логический образ этой связи, например, определить одинаковость объектов контекстуально одной (бескванторной) аксиомой:

А (х) Й (“ х = у ” є А (у).

В этой аксиоме А (w) обозначает произвольное условие (произвольный признак, по которому идёт обобщение), “є“– это эквиваленция, а х и у – различные свободные переменные. Мы можем получить из этой аксиомы все обычные свойства одинаковости, а также подстановочность одинаковых, но только относительно предиката А (w) ^[214].

Так определённое отношение “ х = у ” естественно назвать отношением тождества через абстракцию. Но если такое тождество через абстракцию (такую одинаковость, эквивалентность и пр.) иногда и называют тождеством в логическом смысле, то это только метафорический перенос значения, основанный на сходстве наименований. Тождество как одинаковость по признаку действительно условно, действительно “частичное тождество”. Это тождество объектов в интервале абстракции данного признака. Лишь в том случае, когда этим (интервальным содержанием) исчерпывается вся информация об объектах (всё то, что мы можем на данный момент узнать о них), лишь тогда – и только тогда – имеется достаточная основа, чтобы говорить об их логическом тождестве.

Очевидно, что в случае обобщающей абстракции такой основы ещё нет. На шаге этой абстракции мы сохраняем полное понимание одновременного “сходства и различия” объектов. Иначе мы не смогли бы поставить вопрос об отвлечении от различий, не смогли бы сказать, что выделяем признак, общий многим, говоря о многих различных предметах. Таким образом, в основе обобщающей абстракции лежит абстракция одинаковости, но одинаковость —это ещё не тождество.

Абстракция отождествления в собственном (строгом) смысле слова заключается в возможности заменить онтологический универсум конкретных объектов гносеологическим универсумом абстрактных объектов, то есть по данному универсуму “конкретных” и одинаковых сущностей построить универсум только различных (индивидуализированных!) “абстрактных” сущностей. Иначе говоря, она позволяет свести одинаковость к тождеству в его логическом смысле – к индивидуации, что, в свою очередь, позволяет сказать, что каждая абстрактная сущность (полученная с помощью абстракции отождествления) единственна.

Когда абстракцию отождествления, о чём уже говорилось выше, стремятся истолковать, следуя средневековой заповеди номинализма “не множить сущности без нужды”, то неизменно добавляют, что создаваемые ею абстрактные объекты берутся только как faзon de parler, а сама абстракция отождествления “только как удобный способ выражения, сокращающий формулировки”, так что по “этим сокращенным формулировкам всегда без труда могут быть восстановлены более длинные формулировки, обходящиеся без абстракции отождествления”^[215].

Я не согласен с таким подходом. Как бы мы ни старались подчёркнуть “исключаемость” абстракции отождествления, её необходимость кажется очевидной перед лицом практической или теоретической (пусть даже потенциальной) бесконечности классов конкретных объектов. К примеру, знакомство с любым алфавитным языком начинается с рассмотрения некоторого конечного набора абстрактных букв алфавита нередко до всякого знакомства с конкретными буквами этого языка. Этим, во-первых, уже с самого начала устраняется противоречие между конечностью алфавита и потенциальной бесконечностью конкретных букв языка, требуемых для написания сколь угодно длинных текстов; а, во-вторых, указывается на посторонний характер индивидуальных различий (в силу принципа индивидуации), когда при чтении буквы воспринимаются как знаки фонем, потому что в этом случае буквы существенны не “сами по себе” (информация, сообщаемая ими о самих себе, как правило, не воспринимается), а только как представители одной фонемы. При этом ничто не мешает нам толковать абстрактные буквы на номиналистический манер в качестве эталонных символов, то есть конкретных и полноценных заменителей (представителей) любых одинаковых с ними и тоже конкретных букв. Следовательно, понятие абстрактной буквы естественнее воспринимать как элемент гносеологического (а не онтологического) универсума, который является источником только той информации, что предусмотрена в условиях на отождествление в интервале абстракции отождествления.

5.5. Абстракция отождествления и факторизация. Итак, как я уже сказал выше, применяя абстракцию отождествления, мы не можем остановиться на тождестве “таких же”, а должны обратиться к тождеству “тех же самых”. Это необходимо хотя бы для того, чтобы обеспечить единственность вводимых абстрактных понятий, и, – что особенно важно в вопросах обоснования математических суждений, – укрепить нашу веру в однозначность натурального ряда. То, что эта однозначность является предметом веры, а не фактом, было замечено ещё в эпоху методологических баталий классиков и эффективистов ^[216]. В частности, Лузин, в письме к Куратовскому, писал об этом так: “Фундаментальная проблема состоит в том, чтобы выяснить, является ли последовательность целых положительных чисел вполне объективной? Кажется, что она почти объективна, и что имеются следы несомненной субъективности, такой, что нельзя говорить о последовательности целых положительных чисел всегда, во всех случаях, в одном и том же смысле. Однако в данный момент слишком преждевременно ставить жгучую проблему о единственности последовательности целых положительных чисел и говорить о конечных недостижимых числах”^[217].

Характерно, что в начале 60-х гг. эта “жгучая проблема” была вновь поставлена (и возвращена к обсуждению) в ультраинтуиционистской программе обоснования теоретико-множественной математики ^[218]. В мою задачу не входит обсуждение этой проблемы. Здесь важно лишь подчеркнуть её самую тесную связь с проблемой отождествлений, а точнее, с невозможностью некоторых отождествлений и в силу этого, с невозможностью (в некоторых случаях) доказательства противоречивости дедуктивных теорий ^[219]. Поэтому “объективность”, о которой говорит Лузин, естественно понимать как вопрос онтологии, как вопрос об онтологической индивидуации натуральных чисел, как вопрос об осмысленности понятия тождества объектов вообще, независимо от того, идёт ли речь об их гносеологической (фактической) определимости или о тех объектах, для которых мыслится только их онтологическая (трансцендентная) определимость, независимая от предположений, которыми руководствуются при построении теории. Очевидно, что для конструктивного образа мышления, поскольку он несёт в себе “следы несомненной субъективности”, вопрос о “тождестве вообще” не имеет смысла. А это и приводит нас к необходимости отличать абстракцию отождествления от того процесса абстракции, который в теоретико-множественной математике называют факторизацией или гомоморфизмом.

Как и абстракция отождествления, названный процесс лежит в основе определений через абстракцию ^[220]. Но поскольку это приём классической математики, он не чуждается универсалий, а напротив – именно универсалии и являются объектами, которые вводятся с его помощью. Весь процесс идёт по существу по следующей схеме: если х и у одинаковы, то зачисляем их в один класс, так что если х принадлежит К_х, а у принадлежит К_у, (и при этом речь идёт о произвольных объектах), то К_х и К_у – классы одинаковых объектов (их называют классами абстракции или классами эквивалентности), и, следовательно, эти классы тождественны в обычном смысле теоретико-множественного принципа объемности (экстенсиональности), то есть тождественны логически (представляют собой “один и тот же” класс). Продолжая этот процесс до исчерпания всех элементов исходного множества (онтологического универсума конкретных объектов), мы разбиваем это множество на классы так, что каждый класс содержит все элементы, одинаковые между собой. Но тем самым в качестве нового абстрактного объекта вводится и некоторое новое понятие, соответствующее классам абстракции, а сами классы образуют новые сущности – элементы нового, теперь уже гносеологического универсума, в котором одинаковости на множестве различных конкретных соответствует тождество на множестве классов эквивалентности. Иными словами, “гомоморфизм означает не что иное, как объединение в “классы эквивалентности” (классы абстракции – М.Н.) совокупностей объектов, могущих различаться посредством других критериев отождествления, в чём и состоит образование абстрактных понятий”^[221]. Очевидно, что при этом, вообще говоря, отступают от условий конструктивности вводимых абстрактных объектов (от номиналистической установки конструктивизма), когда абстрактный объект мыслится только как произвольный представитель таких же как он конкретных объектов, но взятый как эталон одинаковости.