График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины

Рис. 4.4

г) Определим вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек не будет ни одного человека, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом.

Р(Х = 0) = 0,4096.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек не будет ни одного, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом составляет 0,4096.

д) Определим вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом.

“Хотя бы один” - “как минимум один” - “один или больше”. Другими словами, “хотя бы один” - это “или один, или два, или три, или четыре”.

Исходя из этого, для определения вероятности того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X ³ 1) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

P(X ³ 1) = 0,4096 + 0,1536 + 0,0256 + 0,0016 = 0,5904.

С другой стороны, все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию (Х ³ 1) до полной группы событий не хватает события (Х = 0), которое является противоположным событию (Х ³ 1). Поэтому искомую вероятность того, среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, проще найти следующим образом:

P(X ³ 1) + P(X < 1) = 1, откуда

P(X ³ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,4096 = 0,5904.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным автотранспортом, составляет 0,5904.

 

е) Определим вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человек будет не больше двух, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом.

“Не больше двух” - “два или меньше”, т.е. “или ноль, или один, или два”.

Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X £ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

P(X £ 2) = 0,4096 + 0,4096 + 0,1536 = 0,9728.

Вероятность того, что среди 4-х случайно отобранных человекбудет не больше двух, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом, составляет 0,9728.

 

Пример 4.2 Среднее число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в 15-ти минутный интервал, равно 2. Прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга.

а) Составьте ряд распределения числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15-ти минут;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Напишите функцию распределения числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15-ти минут, и постройте её график;

г) Определите, чему равна вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора;

д) Определите вероятность того, что в течение 15 минут число прибывших инкассаторов окажется меньше трех.

Решение. Пусть случайная величина Х - число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в банк в течение 15-ти минут. Перечислим все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5,..., n.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

По условию прибытие инкассаторов происходит случайно и независимо друг от друга. Следовательно, мы имеем дело с независимыми испытаниями.

Если мы предположим, что вероятность прибытия инкассаторов на автомобиле одинакова в любые два периода времени равной длины, и что прибытие или неприбытие автомобиля в любой период времени не зависит от прибытия или неприбытия в любой другой период времени, то последовательность прибытия инкассаторов в банк может быть описана распределением Пуассона.

Итак, случайная величина Х - число инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15-ти минут, подчиняется распределению Пуассона. По условию задачи: l = np = 2; X = m.

а) Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений и запишем полученные результаты в таблицу.

Так как данная случайная величина Х подчинена распределению Пуассона, расчет искомых вероятностей осуществляется по формуле Пуассона (4.13).

Найдем по этой формуле вероятность того, что в течение 15-ти минут утром на автомобиле прибудет 0 инкассаторов:

 

Однако, расчет вероятностей распределения Пуассона легче осуществлять, пользуясь специальными таблицами вероятностей распределения Пуассона. В этих таблицах содержатся значения вероятностей при заданных m и (см. Приложение 6).

По условию l = 2, а m изменяется от 0 до n.

Воспользовавшись таблицей распределения Пуассона, получим:

Р(Х = 0) = 0,1353; Р(Х = 1) = 0,2707;

Р(Х = 2) = 0,2707; Р(Х = 3) = 0,1804;

Р(Х = 4) = 0,0902; Р(Х = 5) = 0,0361;

Р(Х = 6) = 0,0120; Р(Х = 7) = 0,0034;

Р(Х = 8) = 0,0009; Р(Х = 9) = 0,0002.

Данных для l = 2, и m > = 10 в таблице нет, что указывает на то, что эти вероятности составляют менее 0, 0001, т.е.

Р(Х = 10)» 0. Понятно, что Р(Х = 11) еще меньше отличается от 0.

Занесем полученные результаты в таблицу:

 

X
Р(Х)	0,1353	0,2707	0,2707	0,1804	0,0902	0,0361	0,0120	0,0034	0,0009	0,0002	0,0000

 

Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверим: 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 + 0,0902 + 0,0361 + 0,0120 +

+ 0,0034 + 0,0009 + 0,0002 = 0,9999» 1.

 

График, полученного ряда распределения дискретной случайной величины Х – полигон распределения вероятностей:

Рис. 4.5.

б) Найдем основные числовые характеристики полученного распределения случайной величины Х.

Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по общим для любой дискретной случайной величины формулам.

Математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, может быть рассчитано и по формуле(4.13.):

M(X = m) = n × p = l.

M(X = m) = l = 2 (инкассатора).

Для выполнения дисперсии случайной величины, подчиняющейся распределению Пуассона, можно применить формулу:

D(X = m)»l.

Итак, дисперсия числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15-ти минут:

D(X = m) = l = 2 (кв.ед.)

Среднее квадратическое отклонение числа инкассаторов, прибывающих утром на автомобиле в течение 15-ти минут:

(инкассатора).

в)Зададим теперь дискретную случайную величину в виде функции распределения:

.

Рассчитаем значения F(x):

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Таблица 4.6.

 

X	x £0	0<x£1	1<x£2	2<x£3	3<x£4	4<x£5	5<x£6	6<x£7	7<x£8	8<x£9	x > 9
P(X)		0,1353	0,4060	0,6767	0,8571	0,9473	0,9834	0,9954	0,9988	0,9997

График функции (вероятностная гистограмма)

Рис. 4.6.

г) Определим вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут хотя бы два инкассатора.

“Хотя бы два” - “как минимум два” - “два или больше”. Другими словами, “хотя бы два” - это “или два, или три, или четыре, или...”.

Исходя из этого, для определения вероятности того, что в течение 15 минут в банк прибудут хотя бы два инкассатора, можно использовать теорему сложения вероятностей несовместных событий:

P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) +... + Р(Х = n).

С другой стороны, все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, а сумма их вероятностей равна 1. По отношению к событию (Х ³ 2) до полной группы событий не хватает события (Х < 2), т. е. (х 1), которое является противоположным событию (Х ³ 2). Поэтому искомую вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора, проще найти следующим образом:

P(X ³ 2) = 1 - P(X £ 1) = 1 - (P(X = 0) + P(X=1)) = 1 - (0,1353 + 0,2707) = 1 - 0,406 =

= 0,594.

Вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудут на автомобиле хотя бы два инкассатора, составляет 0,5904.

д) Определим вероятность того, что в течение 15 минут число прибывших инкассатор окажется меньше трех.

“Меньше трех” - это “или ноль, или один, или два”.

Из теоремы сложения вероятностей несовместных событий следует:

P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2).

P(X < 3) = 0,1353 + 0,2707 + 0,2707 = 0,6767.

Ответ. Вероятность того, что в течение 15 минут в банк прибудет меньше трех инкассаторов, составляет 0,6767.

 

Пример 4.3. Из 20 лотерейных билетов выигрышными являются 4. Наудачу извлекаются 4 билета.

а) Составьте ряд распределения числа выигрышных билетов среди отобранных;

б) Найдите числовые характеристики этого распределения;

в) Напишите функцию распределения числа выигрышных билетов среди отобранных и постройте ее график;

г) Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется не меньше трех выигрышных билетов;

д) Определите вероятность того, что среди отобранных 4 билетов окажется не больше одного выигрышного билета.

Решение. В качестве случайной величины в данной задаче выступает число выигрышных билетов среди отобранных. Обозначим ее через X.

Перечислим все возможные значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Это - дискретная случайная величина, т.к. ее возможные значения отличаются друг от друга не менее чем на 1, и множество ее возможных значений является счетным.

Очевидно, что отбор лотерейных билетов - бесповторный. Следовательно, испытания - зависимые.

Вышеперечисленные признаки указывают на то, что рассматриваемая случайная величина - число выигрышных билетов среди отобранных - подчиняется гипергеометрическому закону распределения.

Изобразим ситуацию на схеме:

 

N

 

 

M N-M

 

n

 

 

m n-m

 

Рис. 4.7.

 

Случайная величина, интересующая нас, Х = m - число выигрышных билетов в выборке объемом в n билетов. Число всех возможных случаев отбора n билетов из общего числа N билетов равно числу сочетаний из N по n (С ), а число случаев отбора m выигрышных билетов из общего числа M выигрышных билетов (и значит, (n-m) проигрышных из общего числа (N - M) проигрышных) равно произведению

С × С (отбор каждого из m выигрышных билетов может сочетаться с отбором любого из (n-m) проигрышных). Событие, вероятность которого мы хотим определить, состоит в том, что в выборке из n лотерейных билетов окажется ровно m выигрышных. По формуле для расчета вероятности события в классической модели вероятность получения в выборке m выигрышных билетов (то есть вероятность того, что случайная величина Х примет значение m) равна:

где С - общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных исходов,

С × С - число исходов, благоприятствующих наступлению интересующего нас события;

m £ n, если n £ M и m £ M, если M < n.

Если по этой формуле вычислить вероятности для всех возможных значений m и поместить их в таблицу, то получим ряд распределения.

а) Составим ряд распределения.

Вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений и запишем полученные результаты в таблицу.

По условию задачи N =20; M = 4; n = 4; m = 0, 1, 2, 3, 4.

 

Занесем полученные результаты в таблицу:

Таблица 4.7.

 

X
P(X)	0,37564	0,46233	0,14861	0,01321	0,00021

 

Произведем проверку. Так как все возможные значения случайной величины образуют полную группу событий, сумма их вероятностей должна быть равна 1.

Проверка: 0,37564 + 0,46233 + 0,14861 + 0,01321 + 0,00021 = 1.

График полученного распределения вероятностей дискретной случайной величины - полигон распределения вероятностей; изображенный на рис 4.8

Рис. 4.8.

 

б) Найдем основные числовые характеристики распределения данной случайной величины.

Можно рассчитать математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение по общим для любой дискретной случайной величины формулам.

Но математическое ожидание случайной величины, подчиняющейся гипергеометрическому распределению, может быть рассчитано по более простой формуле:

Рассчитаем математическое ожидание числа выигрышных билетов среди отобранных:

(билета).

Дисперсию случайной величины, подчиняющейся распределению, также может быть рассчитано по более простой формуле:

Вычислим дисперсию числа выигрышных билетов среди отобранных:

D(X = m) = 0,53895 (кв.ед.).

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение числа выигрышных билетов среди отобранных:

3 (билета).

в) Зададим дискретную случайную величину в виде функции распределения:

 

.

 

 

Рассчитаем значения F(х):

 

Эти данные можно представить и в виде таблицы:

Таблица 4.8.

X	x £ 0	0 < x £1	1 < x £ 2	2 < x £3	3 < x £ 4	x > 4
F(x)		0,37564	0,83797	0,98658	0,99979