Теорема (критерий квадрируемости).

Плоская фигура D квадрируема тогда и только тогда, когда для любого сколь угодно малого найдутся многоугольники и , такие, что и .

Доказательство.

Необходимость. Пусть фигура квадрируема, то есть . Зафиксируем . По определению точной верхней грани для найдется вписанный многоугольник , такой, что и .

По определению точной нижней грани для найдется описанный многоугольник , такой, что и .

Тогда разность площадей описанного и вписанного многоугольников

.

Достаточность. Пусть нашлись многоугольники такие, что и . Из определения точных верхней и нижней граней следует оценка .

Так как - сколь угодно мало, то и совпадают, следовательно, фигура квадрируема.

 

Теорема 1. Криволинейная трапеция, то есть фигура , ограниченная линиями , , , , где – непрерывна на отрезке и , является квадрируемой фигурой и ее площадь находится по формуле .

 

Доказательство. Зафиксируем . Так как – непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке и существует .

Тогда по критерию интегрируемости

такое что .

Величина верхней суммы Дарбу равна площади ступенчатой фигуры , описанной вокруг криволинейной трапеции G.

Величина нижней суммы Дарбу равна площади ступенчатой фигуры , вписанной в криволинейную трапецию G.

Так как нашли многоугольники такие, что и ,

то по критерию квадрируемости криволинейная трапеция G является квадрируемой фигурой.

Для оценки площади криволинейной трапеции справедливы неравенства

. Учитывая, что и ,

получаем формулу .

 

Вычисление площадей плоских фигур

Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

1) Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию

то есть фигуру, ограниченную линиями , , , , где – непрерывна на отрезке и . Тогда ее площадь находится по формуле .

 

2) Пусть фигуру можно разбить на две криволинейные трапеции: под графиком на отрезке и под графиком на отрезке . Тогда ее площадь вычисляется по формуле

.

 

Пример. Вычислить площадь сектора с углом и радиусом .

 

Расположим сектор на координатной плоскости так, чтобы его вершина находилась с начале координат, и один из его радиусов лежал в положительной части оси . Тогда сектор можно разбить на две криволинейные трапеции, соответственно его площадь .

Здесь первое слагаемое является площадью криволинейной трапеции под графиком линейной функции и вычисляется по формуле

.

Второе слагаемое представляет собой площадь под дугой окружности, задаваемой уравнением . Вычислим эту площадь:

.

Сделаем в интеграле замену переменной .

Пересчитаем пределы интегрирования: при ; при

. Подставляя в интеграл, получаем

Складывая две вычисленные площади, находим площадь сектора

.

 

3) Пусть плоская фигура ограничена: сверху - графиком функции , ; снизу - графиком функции , ; по бокам - вертикальными отрезками и , которые могут вырождаться в точку. Тогда площадь этой фигуры равна разности площадей соответствующих криволинейных трапеций и вычисляется по формуле

.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Найдем сначала абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Для этого решаем систему уравнений

Отсюда находим . Искомая площадь вычисляется по формуле

.

 

Площадь фигуры, под графиком функции, заданной параметрически.

Пусть плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию, верхняя граница которой задана параметрическими уравнениями

В этом случае площадь вычисляется по формуле

.

 

Пример. Вычислить площадь эллипса.

Зададим эллипс параметрическими уравнениями

Поскольку эллипс симметричен относительно координатных осей, то можно искать площадь четверти эллипса, расположенной в первой координатной четверти. Эта фигура представляет собой криволинейную трапецию, у которой абсцисса меняется от , что соответствует значению параметра , до , что соответствует значению параметра . Подставляя в формулу, находим

.

Отсюда площадь всего эллипса равна .

 

Площадь плоской фигуры в полярных координатах.

 

В полярных координатах через определенный интеграл находится площадь криволинейного сектора.

Определение

Криволинейный сектор – это фигура, ограниченная в полярных координатах лучами и графиком функции .

 

Теорема. Если функция - непрерывна, то криволинейный сектор – квадрируемая фигура и площадь его находится по формуле

.

Доказательство.

Пусть – разбиение отрезка конечным набором точек

Тогда площадь криволинейного сектора разбилась на n частей. Обозначим через часть площади криволинейного сектора, ограниченного линиями , . Если мелкость разбиения достаточно мала, то приближенно равна площади обычного кругового сектора с углом и радиусом , где произвольная точка из интервала . Тогда верно приближенное равенство . А так как площадь криволинейного сектора равна , то получаем приближенное равенство

.

Здесь в правой части интегральная сумма Римана для функции .

Поскольку функция - непрерывна, то интегрируема и при интегральные суммы стремятся к интегралу Римана. Таким образом получаем формулу .

 

 

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли, задаваемой уравнением .

 

Перейдем к полярным координатам . Тогда уравнение кривой примет вид или .

Найдем область определения функции из условия .

Решая это неравенство, находим .

Функция имеет период , значит ее график симметричен относительно начала координат.

Так как , то график функции также симметричен относительно оси . В силу симметрии достаточно найти площадь части фигуры, расположенной в первой четверти

. Тогда площадь фигуры, ограниченной лемнискатой .

 

Вычисление объёмов

 

Телом назовём часть пространства, ограниченную замкнутой несамопересекающейся поверхностью. Понятие объема пространственного тела вводится аналогично понятию площади плоской фигуры.

Пусть – некоторое тело в пространстве. Его нижний объем определяется по формуле , где – множество всех многогранников, лежащих внутри . Верхний объем равен , где – множество всех многогранников, содержащих в себе .

 

Определение. Тело кубируемо, если , тогда объем тела равен .

 

Критерий кубируемости. Тело F кубируемо тогда и только тогда, когда для любого найдутся многогранники и такие что и .

Доказательство проводится аналогично доказательству критерия квадрируемости.

Пример. Пусть - прямая призма, то есть тело, у которого верхнее основание получено из нижнего основания сдвигом на вектор , перпендикулярный нижнему основанию (при этом, конечно, фигуры и равны). Докажем, что если основание квадрируемо, то сама призма кубируема, и ее объем вычисляется по формуле , где – высота призмы, то есть длина вектора .

Доказательство. Зафиксируем . Так как фигура квадрируема, то по критерию квадрируемости для найдутся многоугольники и такие, что и . Многогранник с высотой и основанием лежит внутри призмы, а многогранник с основанием и высотой содержит призму. Тогда разность объемов внешнего и внутреннего многогранников .

Тогда, по критерию кубируемости, призма кубируема.

По определению объема . С другой стороны,

. Отсюда видно, что , что и требовалось доказать.