Класифікація та деякі властивості функцій.

В багатьох випадках знання особливостей функцій допомагає побудувати їх графіки. Розглянемо деякі типи функцій.

Означення. Функція , визначена на множині , називається обмеженою на цій множині, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність .

Протилежне поняття формулюється так:

Означення. Функція називається не обмеженою на множині , якщо для будь-якого , існує таке, що виконується нерівність .

Графік обмеженої функції розміщується між двома прямими, паралельними осі : та .

Означення. Функція , визначена на проміжку , називається зростаючою (неспадною, спадною, незростаючою) на цьому проміжку, якщо для всіх і з цього проміжку, що задовольняють нерівності виконується нерівність (, , ).

Зростаючі, спадні, неспадні та незростаючі функції називаються монотонними, а зростаючі і спадні, крім того називають строго монотонними. Графіки цих функцій зображені на рис.1

Рис.1.

Означення. Функція , визначена на множині , розміщеній симетрично відносно початку координат, називається парною (непарною), якщо для виконується рівність ().

Графік парної функції симетричний відносно осі (Рис.2), а графік непарної функції – симетричний відносно початку координат (Рис.3). Ця особливість графіків парної та непарної функцій дає змогу скоротити роботу з побудовою графіків таких функцій: досить побудувати графік функції тільки в правій півплощині.

 

 

 

Рис.2 Рис.3

 

Обернена функція.

Нехай функція визначена на відрізку , а множиною її значень є відрізок , тобто , .

Якщо кожному значенню відповідає єдине значення , для якого , то на відрізку можна визначити функцію , яка називається оберненою по відношенню до функції .

Зауваження. Означення оберненої функції може бути узагальнено і для випадків коли і є будь-які проміжки, а не тільки відрізки.

Приклад. Функція визначена на . Оберненою для неї є функція , що також визначена на .

Проте не всяка функція має обернену. Так функція , оберненої не має, оскільки двом різним точкам і вона ставить у відповідність одну точку . Сформулюємо теорему існування оберненої функції:

Теорема. Якщо функція строго монотонна на відрізку , то обернена функція існує і строго монотонна на відрізку .

Функція , має обернену , оскільки кожним двом різним точкам , вона ставить у відповідність дві різні точки .

Легко помітити, що не є монотонною для , а функція є зростаючою на проміжку .

 

Елементарні функції.

Означення. Основні елементарні функції: степенева , показникова , обернена до степеневої , логарифмічна , тригонометричні обернені тригонометричні а також функції, знайдені за допомогою формул, що містять скінчене число арифметичних дій (додавання, віднімання, множення, ділення) і суперпозицій основних елементарних функцій, називаються елементарними функціями.

З основними елементарними функціями ми познайомились в шкільному курсі математики, а тому їх властивості пропонуємо розглянути самостійно.

 

§ 2. Послідовність. Границя послідовності.

 

Функція, задана на множині натуральних чисел, називається числовою послідовністю.

Позначається де – загальний член послідовності. Кожна числова послідовність вважається заданою, якщо вказано правило чи закон її утворення.

Наприклад, нехай задано загальний член послідовності , тоді її членами будуть числа . Для послідовностей з загальними членами , членами будуть відповідно числа: та

Приклад 2.1. Побудувати числову послідовність для знаходження грошових накопичень з урахуванням складних процентів.

Розв'язок. Нехай початкова сума вкладу складає грн., процентна ставка дорівнює річних. Величина називається питомою процентною ставкою.

На кінець першого року сума вкладу складе , на кінець другого року – , на кінець року – .

 

Розглянемо послідовності і . Побудуємо точки на числовій осі, що відповідають членам цих послідовностей:

 

 

З рисунку видно, що члени послідовності по мірі зростання номера наближаються до точки 0, члени другої послідовності необмежено віддаляються від початку координат.

Виберемо - окіл точки 0 з . Поза цим околом знаходяться десять перших членів, всі інші, тобто всі починаючи з номера , належать цьому околу. Виберемо менший окіл точки 0, наприклад . Поза цим околом знаходяться перші сто членів, а всі інші, починаючи з номера , належать вибраному околу.

Означення 1. Число називається границею числової послідовності , якщо будь-який - окіл точки містить всі члени послідовності, починаючи з деякого номера , а поза ним знаходиться фіксоване число членів послідовності.

Якщо члени послідовності належать - околу точки , то це значить, що для всіх цих членів виконується нерівність , або згідно властивості 7 модуля .

Означення 2. Число називається границею числової послідовності , якщо для будь-якого існує такий номер , що для всіх членів послідовності з номерами виконується нерівність

. (2.1)

Границя числової послідовності позначається або .

Приклад 2.2 Довести, що для послідовності , .

Розв'язування. Для будь-якого нерівність (2.1) або виконується при . Отже, при будь-якому існує такий номер (або рівний цілій частині ), що для всіх виконується нерівність . А це означає, що .

Приклад 2.3 Довести, що послідовність не має границі.

Розв’язування. При будь-якому два сусідні члени цієї послідовності відрізняються за модулем на 2. Отже для на числовій осі не має жодної точки - окіл якої містив би усі члени послідовності починаючи з деякого . Це означає, що ні одне дійсне число не може бути границею цієї послідовності.

Послідовності, які мають границю, називаються збіжними, а ті що не мають – розбіжними.

 

Обмежені послідовності. Зв'язок між існуванням границі та її обмеженістю.

Означення. Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що для всіх виконується нерівність .

Теорема. Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.

Доведення. Нехай . Для існує номер такий номер , що для всіх членів послідовності з номерами виконується нерівність . Виберемо . Тоді для всіх виконується нерівність , а отже послідовність є обмеженою.

Зауважимо, що протилежне твердження в цілому не вірне. Наприклад, послідовність обмежена, але границі не має.