Вычисление пределов при использовании эквивалентностей

Цели

Знать:

v Эквивалентные бесконечно малые функции и основные теоремы о них.

Уметь:

v Вычислять пределы, используя основные теоремы эквивалентности.

 

▼ Если , то α и β называются эквивалентными бесконечно малыми (при ), это обозначается: α ~ β. ▲

Важнейшие эквивалентности (31)

1. sin x~x при ;

2. tg x~x при ;

3. arcsin x~x при ;

4. arctg x~x при ;

5. 1 – cos x~ при ;

6. e ^x – 1 ~x при ;

7. a ^x – 1 ~x ln a при ;

8. ln(1+ x) ~x при ;

9. ~ при ;

10. (1+ x) ^k – 1 ~k x, k> 0 при ;

в частности, ~ .

Постановка задачи: Вычислить предел , где f (x) и g (x) — бесконечно малые функции в точке х =0.

План решения: Бесконечно малые функции, стоящие в числителе и знаменателе, следует заменить на им эквивалентные, используя основные эквивалентности (31).

Если f (x), f ₁(x), g (x), g ₁(x) — бесконечно малые функции в точке х =0, такие, что f (x)~ f ₁(x) и g (x)~ g ₁(x) в точке х =0, и существует , то существует , причём = .

 

Постановка задачи: Вычислить предел , где f (x) и g (x) — бесконечно малые функции в точке х = а.

План решения: 1.Нужно заменить f (x) и g (x) на эквивалентные им бесконечно малые функции. Но важнейшие эквивалентности существуют при х =0. Поэтому сначала сделаем замену переменной х – а = t и будем искать предел при .

2. Преобразуем выражение под знаком предела, пользуясь алгебраическими и тригонометрическими формулами, и заменяя в произведении и частном бесконечно малые функции эквивалентными.

 

Постановка задачи: Вычислить предел , где и .

План решения: 1. Преобразуем выражение под знаком предела: .

2. Поскольку показательная функция е ^х непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком функции. Имеем:

= = .

3. Вычисляем предел показателя , заменяя бесконечно малые функции эквивалентными.

Постановка задачи: Вычислить предел , где и .

План решения: Чтобы использовать таблицу эквивалентных бесконечно малых, сделаем замену переменной t = x – a (тогда при ) и преобразуем выражение под знаком предела: .

2. Поскольку показательная функция е^х непрерывна, то можно перейти к пределу под знаком этой функции. Имеем = .

3. При вычислении предела заменяем бесконечно малые функции эквивалентными.

 

№15. Найти пределы: 1) ; 2) ;

3) ; 4) .

► 1) = =

= =4;

2) = = =

= = =

= = ;

3) = = =

= = =

= = ;

4) = = = =

= = =

= =

= = . ◄

 

Аудиторные задания

Найти пределы:

№161. . Ответ: .

№162. . Ответ: 1.

№163. . Ответ: 3.

№164. . Ответ: .

№165. . Ответ: .

№166. . Ответ: .

№167. . Ответ: .

№168. . Ответ: .

 

Домашние задания

Найти пределы:

№169. . Ответ: ln 5.

№170. . Ответ: 1.

№171. . Ответ: –1.

№172. . Ответ: .

№173. . Ответ: .

№174. . Ответ: .

№177. . Ответ: .

№178. . Ответ: .

№179. . Ответ: е.

 

Дополнительные задания

Найти пределы:

№180. . Ответ: 2.

№181. . Ответ: .

№182. . Ответ: .

№183. . Ответ: .

№184. . Ответ: .

№185. . Ответ: .

№186. . Ответ: .

№187. . Ответ: е ^-1.

№188. . Ответ: .

Занятие 6

Обзорное занятие

Цель: обобщить знания, полученные на предыдущих занятиях, отрабротать навык нахождения пределов.

 

При нахождении пределов используют соотношения:

, (а =const);

; где , ;

; ;

; ;

; .

 

Найти пределы:

№189. . Ответ: .

№190. . Ответ: .

№191. . Ответ: е ^–2.

№192. . Ответ: .

№193. . Ответ: 0.

№194. . Ответ: .

№195. . Ответ: .

№196. . Ответ: –2.

№197. . Ответ: .

№198. . Ответ: .

№199. . Ответ: .

№200. . Ответ: .

№201. . Ответ: .

№202. . Ответ: ¥.

№203. . Ответ: 2.

№204. . Ответ: 2.

№205. . Ответ: .

№206. . Ответ: .

№207. . Ответ: 1.

№208. . Ответ: –1.

№209. . Ответ: 3.

№210. . Ответ: 1.

№211. . Ответ: .

№212. . Ответ: е ^–2.

№213. . Ответ: 0.

№214. . Ответ: –2.

№215. . Ответ: е ^–2.

№216. . Ответ: – е.

№217. . Ответ: .

№218. . Ответ: .

№219. . Ответ: .

№220. . Ответ: е ³.

№221. . Ответ: .

 

Занятие 7

Непрерывность функции

Цели

Знать:

v Определения: непрерывность функций; непрерывность функции в точке, интервале и на отрезке;

v основные теоремы о непрерывных функциях и свойства функций, непрерывных на отрезке;

v классификацию точек разрыва.

Уметь:

v Определять точки разрыва функции.

 

▼ Пусть функция y = f (x) определена в точке х ₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е.

(32). ▲

▼ Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если она определена в точке х ₀ и её окрестности, и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

(33). ▲

▼ Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х ₀, если её левосторонний и правосторонний пределы существуют, между собой равны и равны значению функции в этой точке, т.е.

(34). ▲

⋙При нахождении предела непрерывной функции f (x) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию f (x) вместо аргумента х подставить его предельное значение х ₀:

lim sin x =sin(lim x);

lim arctg x =arctg (lim x); (35)

lim lg x =lg (lim x).

 

Постановка задачи: Дана функция y = f (x), пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция непрерывна в произвольной точке х ₀ области определения данной функции.

План решения: Проверить выполнение условий непрерывности функции y = f (x) в точке х ₀:

• значение функции в точке х = х ₀ есть определённое число равное значению f (x ₀);
• предел функции y = f (x) при стремлении х к х ₀ как слева, так и справа, есть одно и то же определённое число ;
• числа и f (x ₀) равны.

Если хотя бы одно из условий не выполнено, то функция y = f (x) в точке х ₀ имеет разрыв.

 

№16. Пользуясь определением непрерывности функции доказать, что функция у = х ² непрерывна в произвольной точке .

„ Пусть — приращение аргумента в точке х ₀. Найдём соответствующее приращение функции:

= =

= = .

Теперь, применяя теоремы о пределе суммы и произведения функций, получим:

= =

= .

Таким образом, , что и означает (по определению) непрерывность данной функции в точке . ◄

 

№17. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х ₀=0, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции f (x).

► Найдём односторонние пределы в точке х ₀=0. Слева от точки х ₀ имеем f (x)=0, поэтому . Аналогично, .

Кроме того, f (x ₀) = f (x)=1, откуда следует, что . Это означает, что в точке х ₀=0 не выполнены все условия непрерывности функции, но функция f (x) непрерывна справа в этой точке.

 

рис.1

 

График функции изображен на рис.1. ◄

 

Постановка задачи: Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) в точке х ₀.

План решения: Найти односторонние пределы функции y = f (x) в точке х ₀, т.е. и , при этом:

• если, А ₁= А ₂, то точка х ₀ — точка устранимого разрыва;
• если , то х ₀ — точка конечного разрыва;
• если, по крайней мере, один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности, то точка х ₀ — точка разрыва второго рода.

 

№18. Исследовать на непрерывность функцию

► Функция у = х, у = sin x и у =1 непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется её аналитическое выражение, т.е. в точках и .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдём соответствующие односторонние пределы и значения функции.

В точке имеем:

,

,

.

Таким образом, в точке функция имеет разрыв 1-го рода и непрерывна слева.

Скачок функции f (x) в точке равен .

Для точки имеем:

,

,

а значение не определено. Отсюда следует, что — точка устранимого разрыва. ◄

 

№19. Установить характер разрыва функции в точке х ₀=2.

► Находим: , , т.е. функция в точке х ₀=2 не имеет ни одного из односторонних пределов. Отсюда следует, что х ₀=2 — точка разрыва 2-го рода. ◄

 

Аудиторные задания

Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :

№212. f (x)= x ³.

№213. f (x)=4 x ² – 5 x +2.

№.214. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х ₀=1, но непрерывна слева в этой точке. Построить график функции.

№.215. Доказать, что функция

не является непрерывной в точке х ₀= –2, но непрерывна справа в этой точке. Построить график функции.

 

Исследовать на непрерывность и построить график функции. Найти скачок функции в точках разрыва:

№.216.

Ответ: 1) функция терпит разрыв 1-го рода в точке х = –2; скачок функции равен –2; и имеет устранимый разрыв в точке х =2. В остальных точках функция непрерывна.

№.217.

Ответ: Функция имеет устранимый разрыв в точке х =1 и терпит разрыв 1-го рода в точке х =2; скачок функции равен 4. В остальных точках функция непрерывна.

 

Установить характер разрыва функции в точке х ₀:

№218. , х ₀= – 4.

Ответ: х ₀= – 4 — точка устранимого разрыва.

№219. , х ₀=0.

Ответ: х ₀ = 0 — точка устранимого разрыва.

 

Домашние задания

Пользуясь определением, доказать непрерывность функции f (x) в каждой точке :

№220. .

№221. .

№222. .

№223. .

№224. .

Пользуясь определением непрерывности функции, доказать:

№225. Функция непрерывна в точке х = –2.

№226. Функция непрерывна в точке х = 4.

№227. Функция f (x) =cos x непрерывна в точке х = 0.

Исследовать на непрерывность и построить графики следующих функций:

№228. .

№229.

№230.

№231.

№232.

№233.

Контрольные вопросы