Условная вероятность и простейшие основные формулы.

Мы уже говорили, что в основе определения вероятности события лежит некоторая совокупность условий. Если никаких ограничений, кроме условий, при вычислении вероятности не налагается, то такие вероятности называются безусловными.

Однако в ряде случаев приходится находить вероятности событий при дополнительном условии, что произошло некоторое событие В, имеющее не нулевую вероятность, т.е . Данные вероятности мы будем называть условными и обозначать символом ; это означает вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Пример 1. Брошены две игральные кости. Чему равна вероят­ность того, что сумма выпавших на них очков равна 8 (событие A), если известно, что эта сумма есть четное число (событие В)?

Все возможные случаи, которые могут представиться при броса­нии двух костей, мы запишем в таблице 1.7.1, каждая клетка которой содержит запись возможного события: на первом месте в скобках указывается число очков, выпавших на первой кости, на втором месте — число очков, выпавших на второй кости.

Табл. 1.7.1

(1,1)	(2,1)	(3,1)	(4,1)	(5,1)	(6,1)
(1,2)	(2,2)	(3,2)	(4,2)	(5,2)	(6.2)
(1,3)	(2,3)	(3,3)	(43)	(5,3)	(63)
(1,4)	(2,4)	(3,4)	(4,4)	(5,4)	(6,4)
(1,5)	(2,5)	(3,5)	(4,5)	(5,5)	(6,5)
(1,6)	(2,6)	(3,6)	(4,6)	(5,6)	(6,6)

Общее число возможных случаев — 36, благоприятствующих событию A — 5. Таким образом, безусловная вероятность .

Если событие В произошло, то осуществилась одна из 18 (а не 36) возможностей и, следовательно, условная вероятность равна .

Пример 2. Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти: а) безусловную вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), и б) условную вероятность, что вторая карта будет тузом, если первоначально был вынут туз.

Обозначим через A событие, состоящее в появлении туза на вто­ром месте, а через В —событие, состоящее в появлении туза на пер­вом месте. Ясно, что имеет место равенство .

В силу несовместимости событий АВ и АВ имеем: .

При вынимании двух карт из колоды в 36 карт могут произойти 36•35 (учитывая порядок!) случаев. Из них благоприятствующих событию АВ — 4•3 случаев, а событию — 32 • 4 случаев. Таким образом,

Если первая карта есть туз, то в колоде осталось 35 карт и среди них только три туза. Следовательно, .

Общее решение задачи нахождения условной вероятности для классического определения вероятности не представляет труда. В самом деле, пусть из n единственно возможных, несовместимых и равно­вероятных событий событию А благоприятствует m событий. Если событие В произошло, то это означает, что наступило одно из событий , благоприятствующих В. При этом условии событию А благоприятствуют r и только r собы­тий A_j, благоприятствующих АВ. Таким образом,

(1.7.1)

Точно так же можно вывести, что

(1.7.2)

Понятно, что

(1.7.3)

т. е. вероятность произведения двух событий равна произве­дению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Теорема умножения применима и в том случае, когда одно из событий А или В есть невозможное событие, так как в этом случае вместе с имеют место равенства и .

Условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности. В этом легко убедиться, проверив, что она удовлетворяет всем свойствам, сформулированных в предыдущих параграфах. Действи­тельно, первое свойство выполняется очевидным образом, поскольку для каждого события А определена неотрицательная функция . Если , то .

Проверка третьего свойства также не составляет труда и мы предо­ставляем читателю ее осуществление.

Заметим, что вероятностное пространство для условных вероят­ностей задается следующей тройкой .

Определение 1. Говорят, что событие А независимо от события В, если имеет место равенство т. е. если наступление события В не изменяет вероятности появления события А.

Если событие А независимо от В, то имеет место равенство . Отсюда находим: т. е. событие В также независимо от А. Таким образом, свойство независимости событий взаимно.

Если события А и В независимы, то независимы также события А и . Действительно, так как и по предположению , то .

Отсюда мы делаем важное заключение: если события А и В не­зависимы, то независимы также каждые два события .

Понятие независимости событий играет значительную роль в тео­рии вероятностей и в ее приложениях. В частности, большая часть результатов, изложенных в настоящем пособии, получена в предполо­жении независимости тех или иных рассматриваемых событий.

Так, например, ясно, что выпадение герба на одной монете не изменяет вероятности появления герба (решки) на другой монете, если только эти монеты во время бросания не связаны между собой (напри­мер, жестко не скреплены). Точно так же рождение мальчика у одной матери не изменяет вероятности появления мальчика (девочки) у дру­гой матери. Это — события независимые.

Для независимых событий теорема умножения принимает особенно простой вид, а именно, если события A и В независимы, то .

Мы обобщим теперь понятие независимости двух событий на совокупность нескольких событий.

Определение 2. События называются независимыми в совокупности, если для любого события из их числа и произвольных из их же числа события и взаимно независимы. В силу предыдущего это определение эквивалентно: при любых и .

Заметим, что для независимости в совокупности нескольких событий недостаточно их по парной независимости. В этом можно убедиться на следующем простом примере.

Пример С.Н. Бернштейна. Представим себе, что грани тетраэдра окрашены: 1-я — в красный цвет (A), 2-я — в зеленый (В), третья — в синий (С) и 4-я — во все эти три цвета (AВС). Легко видеть, что вероятность выпадения грани, на которую упадет тетраэдр при бросании, и своей окраске иметь красный цвет равна 1/2: граней четыре и две из них имеют в окраске красный цвет.

Таким образом, . Точно так же можно подсчитать, что события A,В,С, таким образом, попарно независимы.

Однако, если нам известно, что осуществились события В и С, то заведомо осуществилось и событие A, т. е. .

Таким образом, события A,В,С в совокупности зависимы. Таким образом, в общем случае при по определению .

(В случае условная вероятность остается неопределенной.) Это позволяет нам перенести автоматически на общее понятие вероятности все определения и результаты настоящего параграфа.

Формула полной вероятности.

Предположим теперь, что событие В может осуществиться с одним и только с одним из n несовместимых событий . Иными словами, положим , где события BA_i и BA_j с разными индексами i и j несовместимы. По теореме сложения вероятностей имеем: .

Применяя теорему умножения, находим:

(1.8.1)

Это равенство носит название формулы полной вероятности и играет важную роль во всей дальнейшей теории.

В качестве иллюстрации рассмотрим два примера.

Пример 1. Имеется пять урн:

2 урны состава A₁ — по два белых шара и одному черному,

1 урна состава A₂ —по 10 черных шаров,

2 урны состава A₃ — по три белых шара и одному черному.

Наудачу выбирается урна и из нее наудачу вынимается шар. Чему равна вероятность, что вынутый шар белый (событие В)?

Так как вынутый шар может быть только из урны 1-го, 2-го или 3-го состава, то .

По формуле полной вероятности

Но

Таким образом, .

Пример 2. Известно, что вероятность поступления k вызовов на телефонную станцию за промежуток времени t равна .

Считая, что появление какого-либо числа вызовов за два соседних промежутка времени являются событиями независимыми, найти вероятность поступления s вызовов за промежуток времени длительности 2 t.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в поступлении k вызовов за время . Очевидно, что мы имеем следующее равенство: , которое означает, что событие можно рассматривать как сумму s+ 1 несовместимых событий, состоящих в том, что за первый промежуток времени длительности t поступает i вызовов, а за следующий промежуток той же продолжительности — поступает s — i вызовов .

По теореме сложения вероятностей

По теореме умножения вероятностей для независимых событий

Таким образом, если положить , то .

Впоследствии мы увидим, что при некоторых весьма общих условиях . , где а — некоторая константа.

находим:

Но

Поэтому

Для промежутков времени, в два раза больших, и, как легко убедиться, для любых кратных t промежутков времени характер формулы для вероятности сохраняется.

Формула Бейеса.

Получим важные формулы Бейеса или, как иногда говорят, формулы вероятности гипотез. Требуется найти вероятность события A_i, если известно, что В произошло. Согласно теореме умножения имеем:

(1.9.1)

Из соотношения (1.9.1) получаем

(1.9.2)

используя формулу полной вероятности (1.8.1), находим:

(1.9.3)

Полученные формулы (1.9.3) носят название формул Бейеса. Общая схема применения этих формул к решению практических задач такова. Пусть событие В может протекать в различных условиях, относительно характера которых может быть сделано n гипотез: . По тем или иным причинам нам известны вероятности этих гипотез до испытания(априорные вероятности гипотез). Известно также, что гипотеза сообщает событию В вероятность . Произведен опыт, в ко­тором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез ; формулы Бейеса количественно решают этот вопрос.

Вероятности называются апостериорными вероятностями события . В артиллерийской практике производится так называемая пристрелка, имеющая своей целью уточнить наши знания относительно условий стрельбы (например, правильность прицела). В теории пристрелки широко используется формула Бейеса. Мы ограничимся приведением чисто схематического примера исключительно ради иллю­страции характера задач, решаемых этой формулой.

Пример 1. Имеется пять урн следующего состава:

2 урны (состава ) по 2 белых и 3 черных шара,

2 урны (состава ) по 1 белому и 4 черных шара,

1 урна (состава ) по 4 белых и 1 черный шар.

Из одной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым (событие В). Чему равна после опыта вероятность (апостериорная вероятность) того, что шар вынут из урны третьего состава? Согласно предположению

Согласно формуле Бейеса имеем:

Точно так же находим: