Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины есть характеристика распределения, разбросанность значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово дисперсия означает ”рассеивание”.

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Если - дискретная случайная величина, которая задается как

То

Когда - непрерывная случайная величина с плотностью распределения , то

. Дисперсия как мера рассеивания значений случайной величины обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью случайной величины (размерность дисперсии – это квадрат размерности случайной величины).

Поэтому вводится еще одна мера рассеивания с размерностью, совпадающей с размерностью случайной величины. Это так называемое среднее квадратичное отклонение, которое определяется как корень квадратный из дисперсии. Среднее квадратичное отклонение обозначается символом: или ,

Свойства дисперсии

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины всегда равна нулю. Действительно,

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат. Действительно,

3. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, то есть Здесь было использовано свойство математического ожидания: если и – независимые случайные величины, то .

4. Упрощенное правило вычисления дисперсии: дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания, то есть .

Доказательство

ведь - постоянная величина.

 

Система случайных величин. Свойства распределения двумерного случайного вектора

В ТВ часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более СВ, образующими комплекс или систему. Например, точка попадания снаряда определяется не одной случайной величиной, а двумя: абсциссой и ординатой – и может быть рассмотрена как комплекс двух случайных величин. Пусть имеется упорядоченная система n случайных величин . Будем называть ее случайной векторной или -мерной случайной величиной и обозначать так: .

Тогда -ая случайная координата вектора . Упорядоченную систему из случайных величин можно рассматривать и как случайную точку с координатами в -мерном евклидовом пространстве.

Чтобы задать случайный вектор, надо указать все те значения, которые он может принимать, и соответствующие этим значениям вероятности, т.е. вероятности, с которыми эти значения принимаются. Универсальным способом задания случайного вектора является задание его функции распределения, которая определяется равенством

.

В двумерном случае - это вероятность попадания случайной точки в область

Y

y M(x,y)

 

0 x X

 

Остановимся подробнее на двумерном случае. При этом пусть , . Свойства функции распределения случайного вектора аналогичны свойствам функции распределения случайной величины. Перечислим их:

1. ; 2. - неубывающая функция

по каждой из переменных; 3. ,

4.

 

Функция распределения дискретного двумерного случайного вектора.

Пусть распределение вектора - дискретное, и может принимать значения , а - . Тогда все возможные ситуации отражаются в таблице:

 

 

Здесь – это вероятность того, что случайный вектор примет значение - вероятность того, что примет значение независимо от значений случайной величины . А - вероятность того, что примет значение независимо от значений случайной величины .

Функциия распределения вектора очевидно определяется равенством

где суммирование распространяется на все , для которых , а принимает все такие значения, для которых .