Понятие числового ряда и его суммы

Понятие числового ряда и его суммы

Основные свойства сходящихся рядов

Критерий Коши сходимости ряда

 

В приведенных примерах п. 1.1 нам удавалось не только установить сходимость или расходимость рассматриваемых рядов, но и найти их суммы (в случае сходимости ряда). Непосредственный анализ последовательности не всегда представляется возможным. Так как на практике частичные суммы ряда (в случае его сходимости) принимают за приближенное значение суммы ряда, то представляет интерес выяснение вопроса о сходимости или расходимости числового ряда без вычисления величины его суммы, а также оценка зависимости остатка ряда от номера n (скорость сходимости ряда). Наиболее общий критерий сходимости числового ряда вытекает из критерия Коши для сходимости последовательности.

(Коши Огюстен Луи (1789-1857) – французский математик, член Парижской Академии наук.)

Теорема 1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда

Если условие (2.1) не выполняется, т.е. если

то ряд расходится.

Определение. Ряд называют остатком ряда и обозначают

Из теоремы 1 легко получить следующее важное утверждение.

Теорема 2. Ряд сходится или расходится одновременно с рядом При этом

Следствие. Прибавление (отбрасывание, изменение) конечного числа членов не влияет на сходимость ряда (но может, конечно, изменить его сумму).

Так как для сходящегося ряда то при достаточно больших n можно считать, что

Пример 15. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда .

Пусть – произвольное положительное число. Так как

то

при произвольном Отсюда следует, что при

.

Таким образом, взяв получим, что при и произвольном p выполняется требуемое неравенство, и ряд сходится.

Пример 16. Покажем с помощью критерия Коши, что обобщенный гармонический ряд расходится.

Для любого возьмем n=k и p=k. Тогда

Итак, для Следовательно, ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ряда

Из критерия Коши сходимости ряда вытекает

Теорема 3. Если ряд суммируем, то предел его общего

члена равен нулю:

(2.3)

Замечание. Как утверждается в теореме, для сходимости ряда необходимо, чтобы Таким образом, если то ряд заведомо расходится.

Наоборот, если , то ряд не обязательно является сходящимся. Пример гармонического ряда показывает, что это условие не является достаточным: ряд расходится, хотя при этом

.

Для сходимости ряда недостаточно, чтобы n -й член ряда стремился к нулю; нужно, чтобы он стремился к нулю достаточно быстро (обсуждение этого вопроса в п. 3. 2).

Пример 17. Рассмотрим ряд

(2.4)

составленный из членов геометрической прогрессии: Его

часто называют геометрическим рядом. Исследуем сходимость данного ряда.

Если то следовательно, и в этом случае не выполнен необходимый признак сходимости. Итак, в случае ряд (2. 4) расходится.

Пусть . Тогда , поскольку если . Значит, ряд в этом случае сходится.

Наоборот, если ряд (2. 4) суммируем, то и, следовательно, .

Таким образом, геометрический ряд суммируем тогда и только тогда, когда , и в этом случае его сумма:

. (2.5)

Пример 18. Ряд расходится, ибо

Пример 19. Ряд расходится, т.к. последовательность не является бесконечно малой. В самом деле, предположим противное: . Тогда . Так как

, то , что противоречит равенству . Следовательно, рассматриваемый ряд расходится.

Ряды с неотрицательными членами

Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами

Пусть члены ряда при любом натуральном n удовлетворяют условию Последовательность частичных сумм такого ряда является неубывающей. Поэтому по теореме о пределе монотонной последовательности справедливо следующее утверждение.

Теорема 8. Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху:

Если последовательность не ограничена сверху, то ряд расходится.

Пример 24. Исследовать на сходимость ряд

Так как то

поэтому ряд сходится.

Признаки сравнения

Теорема 9 (первый признак сравнения). Пусть даны два ряда:

(3.1),

(3.2)

с неотрицательными членами:

Если то из сходимости ряда (3.2) с «большими» членами следует сходимость ряда (3.1) c «меньшими» членами, а из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2). Ряд (3.2) называют мажорантным для ряда (3.1).

Пример 25. Исследовать на сходимость ряд Так как и ряд сходится (как обобщенный гармонический), то по признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пример 26. Исследовать на сходимость ряд Так как и гармонический ряд расходится, то данный ряд расходится.

Пример 27. Исследовать на сходимость ряд

При имеем Тогда

Ряд сходится (как обобщенный гармонический), следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пример 28. Ряд сходится, так как (для 3> n), и ряд сходится.

Пример 29. Ряд расходится, так как для достаточно

больших n и так как гармонический ряд расходится.

Теорема 10 (второй признак сравнения). Пусть даны два ряда:

и с положительными членами: Если то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда

Теорема 11 (предельный признак сравнения). Если для всех и если то ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В частности, если при , т. е. если то ряды и либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Если то из сходимости ряда следует сходимость ряда .

Пример 30. Исследовать на сходимость ряд

Подберем подходящий для сравнения эталонный ряд. Рассмотрим поведение числителя и знаменателя общего члена ряда при

,

.

Возьмем и в качестве эталонного ряда рассмотрим обобщенный гармонический ряд . Найдем

Предел конечен и отличен от нуля, условие предельного признака сравнения выполнено. Эталонный ряд расходится, значит исходный ряд по предельному признаку сравнения тоже расходится.

Пример 31. Исследовать на сходимость ряд .

Преобразуем формулу общего члена ряда:

Так как при , и ряд сходится, то и исходный ряд сходится.

Пример 32. Ряд расходится, так как

и гармонический ряд расходится.

Пример 33. Исследовать на сходимость ряд

Так как предел отношения общих членов данного ряда и ряда равен нулю:

, то по

предельному признаку сравнения из сходимости ряда следует сходимость исходного ряда.

Пример 34. Исследовать на сходимость ряд

Из асимптотических формул , при следует, что где Так как геометрический ряд сходится, то и данный ряд также сходится.

Пример 35. Исследовать на сходимость ряд

Так как , то при Из сходимости ряда вытекает сходимость данного ряда.

Признаки Даламбера и Коши

Теорема 12 (признак Даламбера). Пусть дан ряд:

Если то ряд сходится.

Если же то ряд расходится.

(Жан Лерон Д`Аламбер (1717-1783) – один из самых разносторонних и влиятельных ученых Франции. Математик, физик, механик, автор физико-математической части «Энциклопедии» Д. Дидро, а также ряда трудов по музыке и эстетике.)

Признак Даламбера часто применяется в предельной форме: если существует верхний предел:

то при ряд сходится, а при - расходится.

В случае возможна как сходимость, так и расходимость ряда (требуется провести дополнительное исследование).

Признак Даламбера позволяет дать оценку остатка ряда. Из неравенства следует, что . Отсюда

и т.д. Вообще при любом справедливо неравенство откуда следует, что

Пример 36. Исследовать сходимость ряда

Имеем тогда Очевидно,

что для По признаку Даламбера исходный ряд сходится.

Замечание. Из примера следует необходимое условие сходимости ряда, т.е.

Пример 37. Ряд сходится, т.к.

Пример 38. Исследуем на сходимость ряд .

Имеем

поэтому ряд сходится.

Пример 39. Исследовать сходимость ряда .

Имеем Отсюда

, т.е. рассматриваемый ряд сходится.

Пример 40. Исследовать сходимость ряда . Оценить погрешность приближенного равенства Найти в этом случае сумму ряда.

По признаку Даламбера: поэтому ряд сходится. Найдем . Так как

то, для того чтобы гарантировать требуемую точность, будем вычислять каждое слагаемое с семью знаками после запятой, делая округление на седьмом знаке. При такой точности вычислений ошибка при подсчете каждого слагаемого будет меньше, чем и накопление таких ошибок от пяти членов ряда будет меньше, чем Поэтому

Окончательная погрешность вычислений (т.е. сумма погрешности от отбрасывания всех членов ряда, начиная с шестого, и погрешности от неточного вычисления пяти членов ряда) будет меньше, чем

Замечание. Для оценки остатка ряда можно было воспользоваться формулой где

Теорема 13 (радикальный признак Коши). Пусть дан ряд:

Если то ряд сходится.

Если же то ряд расходится.

На практике обычно применяют признак Коши в предельной форме: если существует предел:

то при ряд сходится, а при – расходится.

При возможна как сходимость, так и расходимость ряда.

Пример 41. Исследуем сходимость ряда

Имеем , следовательно, по признаку Коши ряд расходится.

Пример 42. Исследуем сходимость ряда

Так как то

Поэтому данный ряд сходится.

Пример 43. Исследуем на сходимость ряд .

Используя асимптотическую формулу Стирлинга , получим

Следовательно, данный ряд расходится.

Знакопеременные ряды

Знакопеременный ряд – это ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.

Определение. Ряд

(2.1)

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов:

(2.2)

Определение. Сходящийся ряд (2.1) называют условно сходящимся, если ряд (2.2) расходится.

Знакочередующиеся ряды

Определение. Знакопеременный ряд называют знакочередующимся, если каждые два соседних члена этого ряда имеют противоположные знаки.

Обычно знакочередующийся ряд записывают в виде:

(2.3)

Укажем очень простой достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда, принадлежащий Лейбницу. (Лейбниц Готфрид Вильгельм(1646–1716) – немецкий математик, физик и изобретатель, юрист, историк, философ-идеалист, языковед.)

Теорема (признак Лейбница). Пусть члены знакочередующегося ряда

(2.3) удовлетворяют условиям:

1)

2)

Тогда ряд (2.3) сходится и для его суммы S справедливо неравенство:

.

Следствие: Пусть - остаток ряда (2.3) и пусть выполнены условия 1) и 2) признака Лейбница. Тогда любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов: , и имеет одинаковый с ним знак: .

Замечание. Признак Лейбница является следствием признака Дирихле.

Пример 59. Исследовать на сходимость ряд .

Покажем, что ряды, начиная с некоторого номера, убывают по абсолютной величине. Имеем . Так как при , то, начиная с номера , выполняется неравенство . Кроме того, условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, ряд сходится. Затем, что ряд , составленный из модулей членов данного ряда, расходится, так как , . Поэтому исходный ряд сходится условно.

Пример 60. Исследовать на сходимость ряд .

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда: . Сравним его со сходящимся рядом :

.

Предел конечен и отличен от нуля, следовательно, ряд ведет себя так же, как и ряд , т.е. сходится. Тогда по теореме 15 исходный ряд сходится, причем абсолютно.

Пример 61. Покажем, что ряд расходится. Так как то общий член ряда не стремится к нулю. Необходимое условие сходимости ряда не выполнено, и поэтому исходный ряд расходится.

Замечание. Для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не является необходимым условием: знакочередующийся ряд может сходиться, даже если модуль его общего члена стремится к нулю не монотонно.

Так ряд сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсолютная величина об-щего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.

Пример 62. Исследовать сходимость ряда .

Так как по правилу Лопиталя

и

при то выполнены соответственно условия 1) и 2) признака Лейбница. Поэтому данный ряд сходится. Заметим, что ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, расходится: Поэтому ряд сходится условно.

Пример 63. Рассмотрим ряд .

Ряд сходится в силу признака Лейбница, гармонический ряд расходится, следовательно, данный ряд расходится. В тоже время , . Поэтому делать вывод о сходимости или расхо-димости ряда по поведению ряда где , , можно

только для рядов с неотрицательными членами!

Пример 64. Рассмотрим ряд .

Используя асимптотическую формулу , получаем , где , Так как ряд сходится абсолютно, а ряд в силу признака Лейбница сходится условно, то заданный ряд сходится условно.

Пример 65. Вычислить приближенно с точностью до сумму зна-кочередующегося ряда:

Сходимость ряда следует из признака Лейбница. Так как для сходящегося ряда его сумма , то при достаточно больших n можно считать, что , причем для остатка ряда справедлива оценка

.

В данном примере . По условию задачи должно выпол-няться неравенство

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1] Гармонический ряд – это ряд, каждый член которого, начиная со второго, является средним

гармоническим его соседних членов:

Понятие числового ряда и его суммы