Основные сведения об устойчивости

На любую РАС в процессе работы действуют различные возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Возникает вопрос об устойчивости системы к любым внешним воздействиям и возмущениям.

В простейшем случае понятие устойчивости связано со способностью системы с определенной точностью возвращаться в состояние равновесия (невозмущенное состояние) после исчезновения внешних возмущений, которые вывели РАС из этого состояния.

Различают устойчивость состояния равновесия и устойчивость движения. Считается, что строгое определение устойчивости было дано А. М. Ляпуновым в 1892 г. [10]. В упрощенной форме условие устойчивости сформулируем так.

Пусть y (t) – траектория возмущенного движения, y₀ (t) – траектория невозмущенного движения, а при t = 0 y (t) – y₀ (t) = δ(0).

В произвольный момент времени t_i y (t_i) – y₀ (t_i) = δ(t_i).

Если при всех t > 0 | y (t) – y₀ (t)| ≤ δ(0), а также | y (t_i) – y₀ (t_i)| <δ(t_i-1), то динамическая система будет устойчивой.

Система асимптотически устойчива, если при t → ∞ δ(t) → 0 область притяжения стягивается в точку): .

Если система является устойчивой при любых возмущениях, то говорят о глобальной устойчивости.

Если вопрос об устойчивости в точке зависит от характера нелинейности и величины возмущений, то речь идёт о локальной устойчивости.

Динамика линеаризованной системы описывается уравнением:

, (4.1)

где W (p) – ПФ разомкнутой системы.

(a₀pⁿ + a_n-1p^n-1 +... + a_n) y (t) = (b₀p^m + b_m-1p^m-1 +... + b_m) l(t). (4.2)

Решение уравнения y (t) = y_св (t) + y_вын (t), есть сумма свободной и вынужденной составляющих. Свободная составляющая у_св (t) – это решение однородного дифференциального уравнения.

a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +... + a₀ = 0. (4.3)

Известно, что для полинома n -го порядка существует n корней (в общем случае комплексных) l₁, l₂,…, l_n. Тогда полином (4.3) можно записать в виде

a_n (p – l₁)(p – l₂)(p – l₃)...(p – l_n) = 0. (4.4)

Для того, чтобы сделать вывод об устойчивости системы, необходимо определить характер переходного процесса.

Из дисциплины «Высшая математика» известно, что свободная составляющая y_св (t) описывает переходный процесс системы:

y_св (t) = . (4.5)

Пусть корень λ _j вещественный. Если λ _j < 0, то аргумент экспоненты в (4.5) отрицательный, переходный процесс будет иметь затухающий характер (график 1 на рис. 4.1), при λ _j > 0 аргумент экспоненты в (4.5) положительный, и переходный процесс будет иметь нарастающий характер (график 2 на рис. 4.1). При λ _j = 0 экспонента превратится в константу (график 3 на рис. 4.1).

Корни, имеющие мнимые части, образуют комплексно-сопряженные пары: p_i = α _i + i β _i, p_i+1 = α _i – i β _i. Вещественная часть корней соответствует экспоненте в (4.6), мнимая часть – комбинации гармоник (синусов и косинусов) с циклической частотой w = β _i:

y_св (t) = . (4.6)

На рис. 4.2 представлены графики колебательных переходных процессов для вещественных частей (4.6) различных знаков: график 1 – α _j = 0 (постоянные колебания с w = β _i), график 2 – затухающий переходный процесс (α _j < 0), график 3 – нарастающий переходный процесс (α _j > 0).

Из проведенного анализа следует, что система будет устойчива, если корни характеристического уравнения лежат в левой комплексной полуплоскости. Если среди корней есть хотя бы один правый корень, то система неустойчива. Если корень имеет нулевую действительную часть, то система будет на границе устойчивости: нейтральной при λ _j = 0 (β _i = 0 → a₀ = 0) или колебательной (β _i ¹ 0).

Предположим, что все корни левые. Подставим это условие в (4.4). После приведения подобных к виду (4.3) получим важный вывод о положительности коэффициентов a_j характеристического полинома.

Необходимое условие устойчивости – все коэффициенты характеристического полинома (4.3) должны быть больше нуля. Решение о достаточности условия зависит от значений корней полинома.

Пример 4.1.

1. 4 р ⁵ + 16 р ⁴ + 8 р ² + р + 12 = 0 – система неустойчива, так как коэффициент при р ³ равен нулю.

2. 14 р ³ – 7 р ² + 2 р + 4 = 0 – система неустойчива, так как коэффициент при р ² отрицательный.

3. р ⁵ + 7 р ⁴ + 8 р ³ + 9 р ² + 4 р + 2 = 0 – необходимое условие устойчивости выполняется, для определения устойчивости РАС необходимо найти корни полинома. (С помощью «Mathcad» можно проверить, что в данном случае все корни лежат в левой комплексной полуплоскости, а значит, система будет устойчивой.)

 

Для сложных РАС порядок уравнений может быть значительным, и вычисление корней характеристического полинома оказывается затруднительным.

Устойчивость можно оценить, не прибегая к вычислениям корней, с использованием алгебраических и графоаналитических критериев, которые были разработаны во времена, когда не было компьютеров. Хотя в настоящее время вычисление корней характеристического полинома даже больших порядков трудностей не представляет, эти критерии не потеряли актуальности.

К алгебраическим относятся критерий А. Гурвица, к частотным – критерии А. В. Михайлова, Г. Найквиста и др.

Критерий Гурвица

В 1877 г. Э. Раусом был предложен алгебраический критерий устойчивости, который в 1895 г. был представлен в более удобной форме А. Гурвицем. Поэтому данный критерий называют также критерием Рауса – Гурвица [10].

Для уравнения (4.3) a_npⁿ + a_n-1p^n-1 +...+ a₀ =0 составляется матрица Гурвица:

. (4.7)

Порядок составления матрицы Гурвица (4.7) такой. По главной диагонали с верхнего левого угла до правого нижнего записываются с убыванием индексов коэффициенты с a_n-1 по a₀. Над элементами главной диагонали записываются коэффициенты с убывающими индексами, а под элементами главной диагонали – с возрастающими.

Для оценки устойчивости необходимо вычислить определители Гурвица, которые получаются из (4.7) путем вычеркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы:

, , , . (4.8)

Система будет устойчива, если все определители Гурвица при a_n > 0 – положительные.

Если определитель ∆ _n = 0, то система находится на границе устойчивости.

Возможны два случая: a_n = 0 или ∆_n–1 = 0.

Если a_n = 0, это соответствует нейтрально-устойчивой системе.

Если определитель ∆ _n-1 = 0, это соответствует колебательной границе устойчивости.

Из условия ∆ _n-1 = 0 можно определить параметры, при которых РАС находится на границе устойчивости. Это позволяет вычислить критические параметры (например, постоянные времени звеньев, коэффициент усиления по постоянному току k_кр), соответствующие границе устойчивости. Отклонение критической величины от номинальной называется запасом устойчивости.

 

Пример. 4.2. Рассмотрим линеаризованную систему ФАПЧ при отсутствии внешнего возмущения (S_д – крутизна характеристики дискриминатора, Т₂ – постоянная времени форсирующего звена).

K _{λ y} (p) = , где W (р) – передаточная функция разомкнутой системы:

, (4.9)

где – коэффициент передачи разомкнутой системы по постоянному току. Зная W (р) (4.9) найдем ПФ замкнутой системы.

K _{λ y} (p) = = . (4.10)

Характеристическое уравнение, которое также можно было получить с помощью формулы (4.1), имеет вид:

. (4.11)

Определяем коэффициенты характеристического полинома a_n:

а₃ = Т_дТ_ф, а₂ = Т_д + Т_ф, а₁ = 1 + k₀Т₂, а₀ = .

Составляем матрицу Гурвица:

.

Находим определители Гурвица:

, , . (4.12)

В данном примере а₁, а₂, а₃ > 0, но а₀ зависит от S_д (k_и > 0, k_ф > 0), которая на разных участках дискриминационной характеристики различна (рис. 4.4). Вне рабочего (линейного) участка S_д < 0, и система неустойчива. На рабочем участке S_д > 0, и необходимое условие устойчивости выполняется.

Достаточное условие устойчивости требует анализа D₂ :

, (4.13)

что в итоге позволяет найти критический коэффициент усиления k_кр:

. (4.14)

Система будет устойчива, если k₀ < k_{кр .}

Если форсирующее звено в фильтре отсутствует (Т₂ = 0), то .

Если Т₂ увеличивается, то k_кр также повышается, а значит устойчивость системы увеличивается. Таким образом, в данной РАС, введение форсирующего звена повышает устойчивость системы.

Приравняв нулю знаменатель (4.14), получим, что при , то есть в этом случае система будет устойчива при любых k ₀.

Для анализа устойчивости САУ с характеристическим полиномом выше пятой степени применяют модификацию критерия Гурвица – критерий П. Льенара – Р. Шипара [10], который можно сформулировать так.

Если все коэффициенты характеристического полинома положительны (a _j > 0), то достаточное условие устойчивости сводится к тому, чтобы положительными были все определители Гурвица либо четного (D₂, D₄,.., D_2k), либо нечетного индекса (D₁, D₃,.., D_2k-1). (Доказано, что из положительности D_{2 k} следует положительность D_{2 k -1} [10].)

В результате количество определителей Гурвица, которые необходимо вычислить, существенно уменьшается.