Однако земля вращается в системе неподвижных звезд и является поэтому неинерциальной системой отсчета.

В неинерциальной системе отсчета на каждую материальную точку (тело) действует сила инерции , которая является не результатом взаимодействия тел, а результатом ускоренного движения системы отсчета. Сила инерции равна произведению массы т материальной точки (тела) на ускорение системы отсчета:

. (2.43)

Знак «минус» показывает, что сила инерции направлена в сторону, противоположную вектору ускорения системы отсчета. Сила инерции во вращающейся системе отсчета направлена по радиусу r от оси вращения (рис. 2.15, а).

Величина силы инерции зависит от расстояния r до оси вращения. Это расстояние зависит от географической широты

(2.44)

и на различных широтах разное – на экваторе оно наибольшее (j = 0), а на полюсе равно нулю ().

На широте сила инерции равна

, (2.45)

где – угловая скорость вращения Земли.

 

а б

Рис. 2.15. Сила инерции во вращающейся системе отсчета «Земля»

 

Рассмотрим более детально силы, действующие на тело, которое покоится на поверхности вращающейся Земли на некоторой широте при отсутствии среды. На тело действует гравитационная сила , направленная к центру Земли, и сила инерции , направленная от оси ее вращения. Сила реакции опоры удерживает тело в неподвижном относительно Земли состоянии. Поскольку тело покоится в системе отсчета, то действующие на тело силы скомпенсированы

. (2.46)

Из равенства (2.46) следует, что сила реакции уравновешивает сумму сил тяготения и инерции . Линия действия силы реакции совпадает с линией действия результирующей двух сил + и направлена от поверхности Земли, образуя с осью О х, проведенной из центра вращения (точка О), некоторый угол α, отличающийся от угла географической широты (α ≠ φ).

Геометрическая сумма гравитационной силы и силы инерции , учитывающей суточное вращение Земли, называется силой тяжести , действующей на неподвижное тело (рис. 2.15, б):

. (2.47)

Тогда условие (2.46) равновесия тела имеет вид:

+ = 0. (2.48)

Вес тела – это сила, с которой любое тело, находящееся в поле силы тяжести, действует на опору или подвес, препятствующие свободному падению тела (рис. 2.16). Силы и – это силы взаимодействия тела и опоры. По третьему закону Ньютона:

= – . (2.49)

Опора

Подвес

а б

Рис. 2.16. Силы, действующие на тело и опору (а); на тело и подвес (б)

 

Таким образом, на вращающейся Земле в отсутствие среды вес неподвижного тела по величине и направлению совпадает с силой тяжести (2.47):

= , (2.50)

т.е. вес равен геометрической сумме гравитационной силы и силы инерции . Вес и сила тяжести приложены к разным объектам (вес – к опоре или подвесу, сила тяжести – к телу) и имеют различную физическую природу (вес – упругую, т.е. по существу электромагнитную, а сила тяжести – в основном гравитационную). Вес тела на вращающейся планете – это статическое проявление силы тяжести, в результате которого опора или подвес деформируются.

Определим величину силы тяжести и вес тела, находящегося в произвольной точке земной поверхности на широте φ. Из треугольника сил (рис. 2.17) следует

. (2.51)

 

 

Рис. 2.17. Силы, действующие на тело и опору,

покоящиеся во вращающейся системе отсчета «Земля»

 

С учетом выражений (2.38) и (2.45), получим

. (2.52)

Таким образом, вес тела и сила тяжести зависят от массы тела т, от параметров, характеризующих Землю (М,ω), и от положения тела на Земле (R,φ). На полюсах вес тела и сила тяжести оказываются наибольшими и равными гравитационной силе

(2.53)

На экваторе (, ) вес тела и сила тяжести принимают наименьшее значение

(2.54)

Если учесть, что полярный и экваториальный радиусы Земли не одинаковы (R_пол = 6356, 9 км, R_экв = 6378,1 км), то

. (2.55)

После подстановки в формулу (2.55) значений R_пол, R_экв, М, γ, а также получим

%.

Таким образом, с учетом различия полярного и экваториального радиусов и вращения Земли вес тела и сила тяжести на экваторе уменьшаются примерно на 1,0 % от величины на полюсе!

Определим теперь направление силы тяжести и веса тела. Сила тяжести и вес тела направлены к центру Земли только на полюсах и на экваторе. В остальных точках земной поверхности такого совпадения нет. Угол отклонения ∆α от направления на центр Земли зависит от географической широты φ. Поскольку угол ∆α мал, то из рис. 2.17 следует, что для сферической Земли

(2.56)

и для φ = 45° ∆α ≈ 0,1 °.

Таким образом, если не требуется высокая точность, то приближенно можно считать, что сила тяжести и вес тела направлены к центру Земли и равны по модулю гравитационной силе.

3. В связи с актуальностью взвешивания объектов в движении необходимо рассмотреть влияние силы Кориолиса. Сила Кориолиса обусловлена движением тел относительно вращающейся системы отсчета. Сила Кориолиса зависит от скорости движения тела относительно системы отсчета и угловой скорости системы отсчета.

Выражение для кориолисовой силы имеет вид:

, (2.57)

где – векторное произведение.

Величина силы Кориолиса равна

, (2.58)

где β – угол между векторами и . Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .

Сила Кориолиса равна нулю, если скорость движения тела равна нулю или угол между векторами и равен нулю либо π (например, при движении по поверхности Земли вблизи экватора вдоль географического меридиана). Максимальное значение кориолисова сила принимает, если скорость движения тела перпендикулярна оси вращения Земли (например, при движении по поверхности Земли вдоль параллели; на рис. 2.18 а, б представлен случай движения тела на восток).

 

а б

Рис. 2.18. Сила Кориолиса, действующая на тело,

движущееся во вращающейся системе отсчета «Земля»

 

Если тело покоится относительно Земли, то = 0 и действующие на него силы , , скомпенсированы. Если тело освободить от опоры или подвеса, то оно начнет падать с ускорением свободного падения – динамическое проявление силы тяжести на вращающейся Земле. Уравнение движения тела имеет вид:

. (2.59)

Таким образом, силе тяжести можно дать другое толкование, отказавшись от выражения (2.47) , и заменив его более общим

, (2.60)

. (2.61)

Полученное выражение совпадает с выражением (2.47) для статического проявления силы тяжести при условии , т.е. для момента, когда тело начинает движение или падение из состояния покоя.

Ускорение свободного падения тела можно выразить из формулы (2.59):

. (2.62)

Таким образом, ускорение свободного падения тела и сила тяжести , действующая на тело, движущееся относительно вращающейся Земли, есть величины неоднозначные, зависящие от скорости движения тела.

 

Однако поскольку относительная ошибка

(2.63)

при скорости тела ≈ 67 м/с (≈ 240 км/ч) и не превосходит 0,1 %, то обычно пользуются выражениями для статического проявления силы тяжести и веса тела:

(2.64)

, (2.65)

где – ускорение в начале свободного падения тела из состояния покоя, когда скорость движения еще очень мала .

4. Вес тела зависит от окружающей среды. Вес тела в воздухе (или в жидкости) меньше, чем в безвоздушном пространстве, так как этих средах на тело действует выталкивающая сила. Возникновение выталкивающей силы можно объяснить тем, что соприкасающиеся поверхности тела и опоры не являются идеально гладкими – они имеют шероховатости (выступы), форма и величина которых различны. Фактически касание, т.е. реальный контакт поверхностей двух тел, происходит лишь в отдельных «пятнах» (рис. 2.19).

Суммарная фактическая площадь касания составляет 0,001¸0,01 номинальной площади поверхности и зависит от природы тел и характера обработки их поверхности. Таким образом, тело, находящееся в среде, фактически окружено этой средой.

Рис. 2.19. Выталкивающая сила , действующая на тело, находящееся в воздухе

 

На тело, находящееся в газовой среде, действует выталкивающая сила, равная произведению его объема на плотность среды и на ускорение свободного падения:

, (2.66)

где

(2.67)

- плотность газовой среды, которая зависит от давления газа и его температуры Т; - молярная масса газа; R = 8,31 Дж/(моль × К) - универсальная газовая постоянная.

Сила реакции опоры является результирующей всех сил , действующих на тело в областях фактического касания.

В условиях равновесия

. (2.68)

Откуда вес тела равен

, (2.69)

. (2.70)

Таким образом, вес тела в воздухе меньше силы тяжести. Вес тела является переменной величиной - зависит от температуры, давления и состава окружающей его газовой среды, а также от объема тела и ускорения свободного падения в месте нахождения тела.

Расчет показывает, что уменьшение веса латунной гири массой т и плотностью в воздухе при температуре t = 20⁰ С = 293 К и давлении р_атм = 10⁵ Па составляет

от силы тяжести. Если не требуется такая высокая точность, то можно полагать, что вес тела в воздухе равен силе тяжести:

. (2.71)

Расчет поправки при определении массы на действие силы Архимеда приведен в п. 3.2.8.