Действия над векторами, заданными координатами

 

Пусть векторы и заданы своими координатами.

При сложении (вычитании) векторов их одноименные координаты складываются (вычитаются), т.е.

При умножении вектора на число координаты его умножаются на это число, т.е. .

Если вектор коллинеарен вектору , то можно записать , где - некоторое число, т.е. , , . Отсюда, , , или - условие коллинеарности векторов.

Деление отрезка в данном отношении

 

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

 

 

Пусть даны координаты точек и ; и отношение . Требуется найти координаты точки .

Из равенства векторов следует равенство соответствующих координат:

.

Аналогично, ; .

В частном случае: - середина отрезка, т.е. .

 

Пример. Дан треугольник , где , , .

Найти координаты точки -пересечения биссектрисы угла со стороной .

 

¦ , ,

, .

.

;

;

Ответ: .?

Скалярное произведение векторов

 

Определение скалярного произведения

Определение. Скалярным произведением вектора на вектор

называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается: или .

Найдем проекцию вектора на вектор .

Из геометрии известно .

Умножим и разделим левую часть на :

, аналогично находим .

Свойства скалярного произведения

1.

q Доказательство. . ¢

2. .

3. .

4. .

Определение: Число, равное , называется скалярным квадратом вектора .

5. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины .

q Доказательство. .¢

6. Скалярное произведение базисных векторов:

, .

Вычисление скалярного произведения векторов через координаты

Теорема. Если , , то .

q Доказательство. Запишем векторы и в виде разложения по базису, т.е. и .

Тогда

По свойству скалярного произведения базисных векторов :

	.

Таким образом, . ¢

Приложения скалярного произведения векторов

1. Установление перпендикулярности ненулевых векторов:

.

Если , то

- условие перпендикулярности векторов.

 

2. Вычисление проекции вектора на вектор:

и .

3. Определение угла между векторами:

, т.е. .

 

 

4. Работа постоянной силы.

Если точка перемещается прямолинейно из положения в положение под действием силы , то работа по перемещению равна:

.

 

Пример 1. К точке приложены три силы .

Вычислить работу по перемещению точки в точку .

 

¦ - равнодействующая трех сил.

.

 

.?

 

Пример 2. Дано: , , , .

Найти угол между векторами и .

¦ Так как или .

,

,

Таким образом, .?

Пример 3. Найти длину вектора , если , , .

¦

?

Векторное произведение векторов

 

Определение и вычисление векторного произведения векторов

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

 

Определение. Тройка векторов называется упорядоченной, если сказано, какой из них считать первым, какой вторым, какой третьим.

Например, в записи : - первый вектор, - второй, - третий.

Определение. Упорядоченная тройка трех некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот первого ко второму виден совершающимся против

часовой стрелки.

В противном случае тройка называется левой.

 

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) , ,

2) ,

3) - правая тройка векторов.

Обозначается: или .

Если векторы заданы своими координатами , , то векторное произведение выражается по формуле:

Пример. Даны векторы , . Найти .

¦

Ответ: .?

 

Свойства векторного произведения

1.	2.
3.	4.
5. , , ,

Приложения векторного произведения

1. Установление параллельности векторов: .

2. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника:

 

, .

 

В физике:

3. Определение момента силы относительно точки.

Пусть к точке приложена сила , точка - произвольная точка пространства.

 

Моментом силы относительно точки является вектор, проходящий через точку , для которого выполняются условия:

1. = ,
2. и ,
3. и - образуют правую тройку.

4. Нахождение линейной скорости вращения.

Скорость точки твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, равна ( - некоторая точка оси ).

 

 

Смешанное произведение векторов