Признаки сходимости несобственных интегралов 1-го рода

 

В дальнейшем мы будем обычно иметь дело с несобственными интегралами от неотрицательных функций. Если функция неотрицательна на луче , то функция возрастает на этом луче. Поэтому она имеет предел при в том и только в том случае, когда ограничена. Отсюда получаем следующее утверждение:

 

а) Для сходимости несобственного интеграла от неотрицательной функции , необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена, т. е. чтобы нашлось такое число , что для всех .

 

Непосредственно найти такое число бывает довольно сложно, поэтому во многих случаях оказывается полезным следующее утверждение:

 

б) Если на луче выполняется неравенство и интеграл сходится, то сходится и интеграл .

 

В самом деле, из следует, что для любого имеем:

 

 

Но функция возрастает, и потому ее предел при не меньше любого из ее значений: . Поэтому для всех имеем: , где . А тогда на основании предыдущего утверждения интеграл сходится.

 

Из доказанного вытекает, что если при и интеграл расходится, то расходится и интеграл — в противном случае в соответствии с утверждением б) интеграл сходился бы.

 

 

Пример 5. Исследуем на сходимость интеграл .

 

Решение. Мы имеем при . Но интеграл сходится (см. пример 4). Поэтому сходится и исходный интеграл.

 

Пример 6. Исследуем на сходимость интеграл .

 

Решение. Так как при , а интеграл расходится (см. пример 4 при ), то расходится и заданный интеграл.

 

 

Несобственные интегралы 2-го рода

 

Рассмотрим теперь случай, когда промежуток интегрирования конечен, но подынтегральная функция не ограничена на нем. Строение таких функций может быть очень сложным. Мы ограничимся рассмотрением случая, когда можно указать конечное множество особых точек , таких, что в сколь угодно малых окрестностях этих точек функция не ограничена, но после удаления этих окрестностей получаем промежутки, на которых функция интегрируема.

Сначала изучим случай, когда множество особых точек состоит лишь из точки . В этом случае не ограничена на всем отрезке , но интегрируема на любом из отрезков (рис. 19). За значение интеграла естественно принять предел , если этот предел существует.

 

Введем следующее определение:

Пусть функция не ограничена на отрезке , но интегрируема на любом из отрезков , где . Несобственный интеграл называют сходящимся, если существует предел . Значение этого предела и называют значением интеграла . Если же этот предел не существует, то интеграл называют расходящимся.

 

Аналогично, если функция не ограничена на отрезке , но интегрируема на любом отрезке , то полагаем

 

Наконец, если единственная особая точка лежит внутри отрезка , то положим

 

Пусть — первообразная для функции . Положим

 

(если эти пределы существуют). Тогда для сходящихся интегралов, у которых особыми являются лишь точки и , имеем:

 

 

Если функция непрерывна в точках и , то получаем:

 

 

Аналогично обстоит дело и в случае, когда подынтегральная функция не ограничена в любой окрестности некоторой внутренней точки отрезка .

 

 

Пример 7. Вычислим несобственный интеграл второго рода .

 

Решение. Этот интеграл является несобственным, так как функция не ограничена в любой окрестности точки . Поскольку первообразная для функции равна , то, пользуясь определением несобственного интеграла, получаем:

 

откуда, учитывая непрерывность функции , окончательно получаем

 

Пример 8. Вычислить интеграл .

 

Решение. Подынтегральная функция внутри данного промежутка интегрирования имеет одну особую точку . Найдем первообразную для подынтегральной функции:

 

 

Так как функция непрерывна в точке , то имеем

 

Пример 9. Вычислить .

 

Решение. В данном случае подынтегральная функция имеет две особые точки и . Пользуясь определением несобственного интеграла и учитывая непрерывность первообразной, получаем, что

 

Пример 10. Исследуем на сходимость интеграл .

 

Решение. Имеем:. Значит, данный интеграл расходится.