Можливі варіанти розриву функцій в точці

(рис. 4)

Рис. 4

 

(рис. 5).

Рис. 5

 

(рис. 6)

Рис. 6

Означення.	Точка х 0 називається точкою розриву першого роду функції у = f (x), якщо існують скінченні границі і при цьому:
	1. або 2. або 3. або	неусувний розрив 1-го роду;
	4. — усувний розрив 1-го роду

 

Означення.

Точка х 0 називається точкою розриву 2-го роду функції у = f (x), якщо одна із границь не існує або нескінченна.

Методика дослідження
функції у = f (x) на неперервність

1. Знаходимо точку х ₀ — «підозрілу» на розрив. Це може бути точка, в якій функція невизначена або змінює закон визначеності.

2. Визначаємо інтервали неперервності функції.

3. Обчислюємо

.

4. Робимо висновок згідно з теоремами (якщо такі границі існують), або використовуючи означення точок розриву.

Дослідити на неперервність функцію

Рис. 7

1. Точка х ₀ = 1 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності (на проміжку (– ¥; 1) маємо у = х, на проміжку (1, +¥) — іншу залежність: у = х + 1).

2. Функція неперервна на проміжках (– ¥; 1) і (1; + ¥).

3. Знаходимо

.

4. , тому за означенням функція має в точці х = 1 неусувний розрив 1-го роду.

Дослідити на неперервність функцію

· 1. Точка х ₀ = 0 є «підозрілою» на розрив, оскільки в ній функція змінює закон визначеності.

2. (– ¥; 0) (0; + ¥) — множина, де функція неперервна.

3. Знаходимо

1 = 1 =1 — функція неперервна в точці х ₀ = 0 за означенням неперервної функції. Отже, інтервалом неперервності функції .

Наслідки з формул для визначних границь

1. 2. 3. .

4. . 5.

Досліджуючи функції на неперервність, слід пам’ятати, що елементарна функція може мати розрив тільки в окремих точках, в яких вона невизначена. Неелементарна функція може мати розриви у точках, де вона невизначена, а також у тих точках, при переході через які змінюється її аналітичний вираз.

Дослідження функції на неперервність полягає в знаходженні точок, в яких можливий розрив, з подальшою перевіркою умов неперервності функції. Перевірка умов переважно зводиться до знаходження односторонніх границь функції, коли х прямує до можливої точки розриву зліва або справа, і до подальшого порівняння значень цих границь, якщо вони існують.

Приклад. Дослідити на неперервність функції:

1) ;

2) ;

3) ,

схематично побудувати їх графіки.

	1) . Можливі точки розриву (функція невизначена в цих точках): . Оскільки функція парна, то її поведінка в околі цих точок однакова. Дослідимо точку . Функція визначена в околі цієї точки, знайдемо і . Отже, односторонні границі не існують, тому в точці і аналогічно в точці функція має розрив другого роду.
2) . Точка можливого розриву — . Знайдемо , . Обидві односторонні границі функ­ції існують, але нерівні між собою. В точці функція має розрив першого роду, стрибок.
	3) . Точка можливого розри- ву — . Знайдемо . Односторонні грани- ці існують, але нерівні між собою. В точці функція має розрив пер­шого роду.

Приклад. Дослідження на неперервність функції:

При якому значенні а функція буде неперервною? Побудувати схематично графік при різних значеннях а.

Задана функція не є елементарною, хоча на кожному з проміжків вона задається елементарними функціями. Можлива точка розриву є точка переходу від одного аналітичного виразу до іншого . Знайдемо односторонні границі: . Згідно з означенням, якщо границі рівні між собою і рівні значенню функції в точці , то функція буде неперервною. Отже, для неперервності маємо умову . При функція неперервна в точці , а при інших значеннях а в цій точці розрив першого роду.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик„Вища математика”, К.,”АСК”,2001,

стор. 183 – 189.

 

Розділ”Диференціальне числення функції однієї змінної”

Тема 12

Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної. Фізичний та геометричний зміст похідної. Таблиця похідних. Похідна складеної та оберненої функцій

 

Мета заняття Узагальнити та систематизувати знання про похідну, виховувати вміння самостійно відпрацьовувати тему, розвивати логічне мислення.

 

Студенти повинні знати: означення похідної функції в точці, фізичний та геометричний зміст похідноїї; таблицю похідних основних елементарних функцій; основні формули диференціювання.

Студенти повинні вміти: знаходити похідні за означенням та за таблицею; користуватися правилами диференціювання.

 

Основні питання теми

1.Задачі, що приводять до поняття похідної (задача про миттєву швидкість руху точки, миттєву силу струму і т.п.); фізичний зміст похідної функції в точці;

2.Означення похідної функції в точці;

3.Геометричний зміст похідної функції в точці;

4.Таблиця похідних;

5.Похідна складеної функції;

6.Похідна оберненої функції

7.Приклади.