Визначає пучок прямих, які проходять через точку перетину прямих (1). Вибором l можна дістати будь-яку пряму, що проходить через точку перетину прямих (1), крім другої прямої.

Доведення. При кожному значенні l рівняння (5), що є лінійним, визначає деяку пряму. Припустимо, що коефіцієнти при х, у перетворюються на нуль:

Тоді виконується рівність

а це означає, що прямі (1) паралельні.

Нехай М ₀(х ₀, у ₀) є точкою перетину прямих (1):

Звідси випливає, що

тобто пряма (5) проходить через точку М ₀(х ₀, у ₀).

Візьмемо тепер довільну точку площини М ₁(х ₁, у ₁) і виберемо l так, щоб пряма (5) проходила через точку М ₁. Для цього має виконуватися рівність

з якої завжди можна визначити l за умови

.

Іншими словами, точка М ₁ не повинна лежати на другій прямій (1). Отже, і справді вибором параметра l можна дістати будь-яку пряму, що проходить через точку перетину прямих (1), за винятком другої прямої (1).

Теорему доведено. ¨

Маємо рівняння сторін трикутника:

Знайдемо рівняння його висоти, проведеної з вершини С.

● Складемо рівняння пучка променів, які проходять через вершину С:

Далі за умовою (3) перпендикулярності прямих до АВ маємо:

Звідси знаходимо значення l = 4 і рівняння висоти 2 х + у – 7 = 0. ·

Відстань від точки до прямої

Дано загальне рівняння прямої

Ах + Ву + С = 0 (1)

і точку М ₁(х ₁, у ₁). Знайдемо відстань d від точки М ₁ до прямої (1). Візьмемо точку М ₀(х ₀, у ₀) на цій прямій.

Тоді відстань від точки М ₁ до прямої дорівнює проекції вектора на вектор нормалі (рис. 4).

 

Рис. 4

 

Записуємо аналітичний вираз для шуканої відстані:

Оскільки – Ах ₀ – Ву ₀ = С, то остаточно маємо:

(2)

Означення. Рівняння виду

(3)

називається нормальним рівнянням прямої (1). Знак перед радикалом має бути протилежний знаку вільного члена С. Якщо
С = 0, то вибір знака значення не має.

Узявши в нормальному рівнянні (3)

запишемо його у вигляді

де q — кут між віссю х і вектором нормалі n; р — відстань від прямої до початку координат (рис. 5).

Рис. 5

Перейдемо до полярних координат, скориставшись рівностями х = r cosj, у = r sinj. Тоді нормальне рівняння прямої набере вигляду

Залежність, записану формулою (2), можна сформулювати як теорему.

Теорема 3. Для того щоб знайти відстань d від точки
М ₁(х ₁, у ₁) до прямої, заданої рівнянням (1), достатньо підставити координати точки х = х ₁, у = у ₁ у нормальне рівняння прямої і знайти модуль здобутої величини.

Обчислити відстань d від точки М ₁(5, 3) до прямої 3 х + 4 у + 3 = 0.

· За формулою (2) знаходимо

·

Нехай маємо загальні рівняння двох прямих, що перетинаються:

(4)

Якщо точка М (х, у) лежить на бісектрисі кутів, утворених прямими (4), то вона однаково віддалена від цих прямих, тобто виконується рівність:

. (5)

Знайти рівняння бісектриси АD трикутника з вершинами А (1, 1), В (6, 3), С (2, 5) (рис. 6).

 

Рис. 6

 

● Згідно з (5) записуємо рівняння двох бісектрис:

Звідси маємо:

(6)

 

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл.3, §7, стор.80.

 

 

Тема 7

Кут між двома площинами. Умови паралельності та перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини

 

Мета заняття Навчитися розв'язувати задачі, користуючись умовами || та ┴ площин, формулою кута між двома площинами та відстані від точки до площини.

Розвивати просторове мислення.

 

Студенти повинні знати: формули обчислення кута між двома площинами, умови перпендикулярності та паралельності двох площин, формулу відстані від точки до площини.

Студенти повинні вміти: розв'язувати задачі на формули та умови паралельності та перпендикулярності двох площин, знаходити відстань від точки до площини;

‌

Основні питання теми

1.Визначення кута між двома прямими;

2.Умови паралельності двох прямих;

3.Умови перпендикулярності двох прямих;

4.Знаходження відстані від точки до площини;

5.Розвязування задач з теми

 

Завдання для самоперевірки

1.Записати та дослідити загальне рівняння площини.

2.Вивести рівняння площини, яка проходить через три точки.

3.Вивести рівняння площини у відрізках на осях.

4.Задано точки А(1;2;-1) і В(0;3;1). Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А перпендикулярно до вектора АВ.

5.Знайти відстань між площинами 2х – у + 2z + 9 = 0 і 4х – 2у + 4z – 21 = 0.

Література: В.П.Дубовик, І.І.Юрик „Вища математика”, К.,”АСК”,2001

Гл. 3, стор. 87 – 88.

Лекція ”Відстань від точки до площини”

Дано площину

і точку М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) поза нею. Знайдемо відстань від точки М ₁ до площини. Нехай точка М ₀(х ₀, у ₀, z ₀) лежить на площині. Тоді відстань d від точки М ₁ до площини дорівнює модулю проекції вектора , на нормаль до площини (рис. 2).

Рис. 2

Отже,

.

Оскільки

то

(1)

Знайдемо відстань d від точки М ₁(1, 2, 3) до площини, заданої рівнянням .

· Згідно з (1) маємо:

. ·

Рівняння площини, записане у вигляді

де знак перед радикалом протилежний знаку D, називається нормальним рівнянням площини. Якщо D = 0, то вибір знака неістотний.

Щоб знайти відстань від точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) до площини, слід підставити координати цієї точки в нормальне рівняння площини і знайти модуль здобутої величини.

Величина

називається відхиленням точки М(х, у, z) від площини.

Модуль відхилення дорівнює відстані від точки М ( х, у, z ) до площини. Якщо , то точка М ( х, у, z ) і початок координат лежать по один бік від розглядуваної площини; якщо , — по різні боки; якщо , то М лежить на цій площині.

Коли маємо дві площини, які перетинаються й подаються рівняннями

то бісектральні площини визначаються рівнянням

(2)

Взаємне розміщення двох площин

Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями

.

Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:

.

Кут q між площинами визначається кутом q між векторами . Отже, справджується рівність

. (1)

Умова перпендикулярності площин така:

. (2)

Умова паралельності площин:

. (3)