Линейная независимость решений ДУ. Определитель Вронского

Функции называются линейно независимыми на интервале если равенство , где , выполняется тогда и только тогда, когда

Средством изучения линейной зависимости системы ф-ий явл.так называемый определитель Вронсоко или вронскиан. Для двух диф.ф-ий вронскиан имеет вид:

.

Теорема лин. зависимости: Если диф.ф-ии лин.зависимы на , то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Так как функции линейно зависимы, то в равенстве значение отлично от нуля. Пусть , тогда поэтому для любого

.

Структура общего решения неоднородного линейного ДУ

Пусть имеется ЛНДУ порядка n

Где – непрерывные функции на отрезке [a;b], а

- ЛОДУ, соответствующее первому уравнению.

Теорема:

1) Если есть решение ЛНДУ первого уравнения, есть решение ЛОДУ второго уравнения, то сумма есть решение ЛНДУ

2) Если есть какое-то решение ЛНДУ первого уравнения, то любое другое решение ЛНДУ можно представить в виде , где есть некоторое решение ЛОДУ второго уравнения

Таким образом, общее решение ЛНДУ есть сумма частного решения ЛНДУ и общего решения соответствующего ЛОДУ

Если первое уравнение имеет вид , где y1=y1(x), y2=y2(x) – фундаментальная система решения соответствующего ЛОДУ. Таким образом, чтобы найти все решения ЛНДУ, достаточно найти 1 его решение и 2 решения соответствующего ЛОДУ

Метод вариации произвольных постоянных

Это метод нахождения решения ЛНДУ. Рассмотрим его на примере уравнений второго порядка

Решение неоднородного уравнения начинается с решения соответствующего ЛОДУ

Пусть y1=y1(x), y2=y2(x)- его фундаментальная система решений. Тогда общее уравнение имеет вид.

Где с1 и с2- производные постоянные

Идея состоит в том, чтобы искать решение y=y(x) ЛНДУ а в таком же виде, но где с1 и с2 уже не постоянные, а некоторые неизвестные функции.

Производные С1’(x) и c2’(x) неизвестные функции являются решениями системы линейных уравнений

Определитель этой системы есть определитель Вронского функции у1(х) и у2(х), неизвестными являются производные с’1, c’2, а в правых частях уравнений стоят 0 и f(x)-правя часть ЛНДУ. Пусть -решения системы. Потом интегрируем и находим общее решение уравнения ЛНДУ

 

Линейные ДУ с квазимногочленом в правой части

 

ЛНДУ

y^(n)+ a1 y^(n-1)+…+ an-1y’+an y=f(x) (1)

с постоянными коэффициентами ai и специальной правой частью.

Сначала нужно решить соответствующее ЛОДУ

Y^(n)+ a1 y^(n-1) +…+ an -1y’ +an y =0

Затем нужно найти частное решение y* ЛНДУ. Это всегда можно сделать методом вариации произвольных постоянных.

Тогда общее решение уравнения y=y* +y0

 

В случае специальной правой части y* можно найти более простым способом, не требующим интегрирования. Функции специального вида называются квазимногочленами, поскольку они похожи на многочлены, и получаются из них умножением на тригонометрические и показательные функции.

 

Квазимногочленом степени d и веса µ =r+iω называется функция вида f(x)=g(x)e^(rx) cosωx+ h(x) e^(rx) sinωx

 

Где g(x) =g0x^d +g1x^(d-1)+ … gd, h(x) = h0x^d +h1x^(d-1) +…+ hd

Есть многочлены степени d. Таким образом вес – это комплексное число µ =r+iω, действительная часть которого r – это коэффициент перед x в показательной функции e^(rx), а мнимая часть ω – коэффицент перед x y cos ωx или sin ωx

 

В частных случаях:

Если число µ чисто мнимое: µ =r+iω (r=0),то e^0=1 и в f(x) отсутствует показательная функция

f(x)=g(x) cos ωx +h(x) sin ωx

Если число µ действительное: µ=r (ω=0) то cos(0) =1, sin(0) = 0 и в f(x) отсутствуют косинус и синус:

 

F(x)=g(x)e^(rx) = (g0x^d +g1x^(d-1)+ … gd)e^rx

 

Наконец, если µ =0 т.е. r=0 и ω =0, то f(x) просто многочлен: f(x) = g(x)e^(rx)= (g0x^d +g1x^(d-1)…+gd-1 x +gd)e^(rx)

Константы f(x) =c – многочлены степени d=0 Например x^2 –x +3 – квазимногочлен степени d=2 и веса µ=0.

X^3 * e^(-2x) * sin 5x – степени d=3 и веса µ =-2 +5i.

Суть метода неопределенных коэффицентов состоит в том, что, если ЛНДУ имеет специальную правую часть, то y* можно записать в»таком же виде», как и правую часть уравнения. Зная вид y*, мы находим входящие в y* неизвестные (они же неопределенные коэффиценты)

 

Пример

 

y’’-4y+3y=2x-5

y*=Ax+B A I B – неизвестные коэффиценты

Подставляя y* в уравнение, получаем

0-4A+3(Ax+B)=2x-5 т.е 3Ax+(-4A+3B)=2x-5

Это равенство должно выполняться для всех x, поэтому 3A=2 -4A+3B=-5

A=2/3, B= -7/3

 

y* =(2/3)x –(7/3) – искомое частное решение