Кривизна (выпуклость) облигации

Задача 1. Номинал облигации 1000 руб., ставка купона 10%, купон выплачивается один раз в год, доходность до погашения составляет 10%, срок до погашения – 4 года. Определить кривизну облигации.

Решение:

Для определения кривизны можно использовать следующее соотношение:

Кривизна равна

Задача 2. Номинал облигации 1000 руб., ставка купона 10%, купон выплачивается два раза в год, доходность до погашения составляет 10%, срок до погашения – 2 года. Определить кривизну облигации.

Решение:

Для определения кривизны при m > 1 можно использовать следующее соотношение:

 

Кривизна равна

Задача 3.. Номинал облигации 1000 руб., ставка купона 10%, купон выплачивается один раз в год, доходность до погашения составляет 10%, срок до погашения – 4 года. Определить процентное изменение облигации с учетом ее кривизны при росте доходности до погашения на 1%.

Решение:

Соотношение позволяет достаточно точно оценить процентное изменение облигации. Преобразуем его следующим образом:

 

- определим дюрацию облигации:

- определим модифицированную дюрацию:

- определим кривизну облигации

- определим процентное изменение цены облигации

Портфель облигаций.

Общие замечания

Пусть – количество облигаций i-го вида в портфеле облигаций, текущая цена i-й облигации, ожидаемая доходность до погашения i-й облигации, – дюрация Маколея i-й облигации.

Цена портфеля определяется как:

Обозначим за - долю i-го вида облигаций в портфеле:

Приближенно, доходность портфеля облигаций вычислим следующим образом:

Дюрация портфеля представляет собой взвешенную по сумму продолжительности входящих в него облигаций:

Кривизна портфеля представляет собой взвешенную по сумму продолжительности входящих в него облигаций:

Иммунизация доходов по портфелю облигаций при горизонтальной структуре и параллельном смещении кривой доходности с помощью дюрации.

Если инвестор формирует портфель облигаций с определенным инвестиционным периодом и заинтересован в том, чтобы защитить доходы портфеля облигаций от изменения процентных ставок, ему необходимо подобрать такие облигации и в таком количестве, чтобы дюрация портфеля облигаций была равна инвестиционному периоду.

Рассмотрим случай, когда портфель состоит из двух облигаций и инвестиционный период равен .

Структура портфеля облигаций, иммунизированного к процентному риску должна удовлетворять следующим условиям:

Проведем преобразования. Выразим из второго соотношения:

Подставим полученный результат в первое соотношение и выразим

ё

Иммунизация доходов по портфелю облигаций при горизонтальной структуре и параллельном смещении кривой доходности с помощью дюрации и кривизны.

Иммунизация портфеля облигаций от процентного риска с помощью дюрации дает хороший результат только при небольших изменения процентной ставки. В противном случае, следуют помимо дюрации использовать показатель кривизны. При этом, предлагается создавать портфель облигаций, с включением в него дополнительных облигаций в длиной или короткой позиции. Такая технология, называется хеджированием. Возьмем начальный портфель облигаций и две хеджирующих облигации с следующими параметрами:

облигации	стоимость актива	дюрация модифицированная	кривизна
Начальный портфель
Хеджирующий актив А
Хеджирующий актив Б

Иммунизированной от процентного риска новый портфель должен сохранять свою стоимость при любых изменениях цен, входящих в него облигаций, т.е., должно выполняться следующее равенство:

где изменение стоимости нового портфеля;

удельный вес хеджирующей облигации А;

удельный вес хеджирующей облигации Б

Представим изменение стоимости активов, входящих в портфель, используя показатели модифицированной дюрации и кривизны:

Подставим результаты в формулу изменения стоимости портфеля:

Выделим два равенства, в одном будут показатели дюрации, в другом – кривизны.

Считаем, что процентные ставки смещаются параллельно, т.е. :

Данную систему уравнений можно разрешить относительно и и получить параметры хеджируемого портфеля.