Уравнение плоскости по двум точкам и вектору, коллинеарному плоскости.

Пусть заданы точки , и вектор .Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки М1 и М2 и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору a. Векторы и вектор

должны быть компланарны, т.е.

 

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по одной точке и двум векторам, коллинеарным плоскости. Пусть заданы два вектора , коллинеарные плоскости. Тогда для произвольной точки М(х, у, z), принадлежащей плоскости, векторы а,b, должны быть компланарны.

Уравнение плоскости:

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.

Теорема. Если в пространстве задана точка М0(х0, у0, z0), то уравнение плоскости, проходящей через точку М0 перпендикулярно вектору нормали имеет вид:

Уравнение плоскости в отрезках. Если в общем уравнении Ах + Ву + Сz + D = 0 поделить обе части на (-D) , заменив получим уравнение плоскости в отрезках: Числа a, b, c являются точками пересечения плоскости соответственно с осями х, у,z.

 

 

Уравнение плоскости в векторной форме.

,где - радиус- вектор текущей точки М(х, у, z), - единичный вектор, имеющий направление, перпендикуляра, опущенного на плоскость из начала координат, , и - углы, образованные этим вектором с осями х, у, z, p – длина этого перпендикуляра.

В координатах это уравнение имеет вид: xcos+ ycos+ zcos- p = 0.

Нормальное уравнение плоскости. Обозначим через расстояние от начала координат до плоскости , а через  единичный вектор нормали к этой плоскости , ,,– углы между n0 и положительным направлением координатных осей Ox, Oy, Oz Точка является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на . Точка Q – проекция точки M на ось, определяемую вектором n0. Очевидно, точка M (x, y, z) лежит на рассматриваемой плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора
на ось, определяемую вектором n0, равна p, т.е. при условии

=p Так как n0– единичный вектор, то в силу определения скалярного произведения +y .Из данных равенств следует, что точка M (x, y, z) лежит на плоскости П тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению x cos y cos z cos p 0.

Последнее уравнение называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости.

 

 

Нормальное уравнение плоскости.

Обозначим через p расстояние от начала координат до плоскости П, а через единичный вектор нормали к этой плоскости ( – углы между и положительным направлением координатных осей Ox,Oy,Oz). Точка является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на П.

Точка Q – проекция точки на ось, определяемую вектором .

Очевидно, точка лежит на рассматриваемой плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую вектором , равна p, т.е. при условии .

Так как – единичный вектор, то в силу определения скалярного произведения

Из данных равенств следует, что точка лежит на плоскости тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению xcos + ycos + zcos - p = 0.

Последнее уравнение называется нормальным (нормированным) уравнением плоскости.

Признаки расположения плоскости относительно прям.декартовой ск

. Oxyz – прямоуг.декартова ск.

т.О (0;0;0)∊ ⇒ D=0.

А) ||Oxy (z=0)⇒ ⇒ (. ( =0⇒B=0

Cz+D=0 – ур-ие плоскости ||Oxy

Б) совпадает с Oxy⇒D=0⇒Cz=0 (z=0)

А) || Oyz ⇒ , ⇒ ( =0⇒B=0

=0⇒C=0

Ax+D=0

Б) совпадает с Oyz⇒D=0⇒Ax=0 (x=0)

А) ||Oxz⇒ , ⇒ (. =0⇒C=0

By+D=0

Б) совпадает с Oyz ⇒ D=0⇒by=0 (y=0)

||Ox ⇒ ⇒ (

Ox ⇒ D=0 By+Cz=0

||Oy ⇒ ⇒ ( ⇒Ax+Cz+D=0

Oy ∊ ⇒D=0 ⇒Ax+Cz=0

||Oz ⇒ ⇒ ( ⇒Ax+By+D=0

Oz ∊ ⇒D=0 ⇒Ax+By=0

 

 

Угол между плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей

Даны уравнения двух плоскостей: и . Вектора нормали: и .
.

⇒ ⇒ =0 .

.

Таким образом:

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, что-бы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

. Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: || .Это условие выполняется, если: .

29. Различные виды уравнений прямой в пространстве.

Дана прямая m, такая что ∊m, m ( -направляющий вектор прямой)

. . - векторное уравнение прямой в пространстве.

– параметрическое уравнение прямой в пространстве⇒ - каноническое уравнение прямой в пространстве.

∊m.

- -через две точки.

- общее уравнение прямой в пространстве.

Замечание. Рассмотрим каноническое уравнение прямой в пространстве:

А) а=о ⇒ ;

Б) b=0⇒ ;

В) с=0⇒ ;