Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період
Умовний період	– 4	– 3	– 2	– 1

При цьому å t = 0 та å t³ = 0; а система рівнянь набуває вигляду:

Тоді: , , .

Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю: Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів моделі

№	у	t	t^2	t^4	yt	y t^2
	12,3	– 4			– 49,2	196,8
	12,5	– 3			– 37,5	112,5
	12,2	– 2			– 24,4	48,8
	12,9	– 1			– 12,9	12,9
	13,1
	12,8				12,8	12,8
	13,5				27,0	54,0
	13,3				39,9	119,7
	13,9				55,6	222,4
Разом	116,5				11,3	779,9

Тоді: b = 11,3 / 60 = 0,188;

с = (9 · 779,9 – 116,5 · 60) / (9 · 708 – 60 · 60) = 0,01

а = 116,5 / 9 – 0,01 · (60 / 9) = 12,87 Таким чином, модель квадратичної параболи має вигляд: у = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t².

Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо значення t = 12, тоді:

y₁₂ = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t² = 12,87 + 0,188 · 12 + 0,01 · 144 = 16,57.

10 Приклади розв’язання типових задач

Приклад 2 Маємо дані про продаж товарів у приватному торгівельному підприємстві.

Товар	Товарообіг у діючих цінах, тис. грн	Зміна середніх цін у 2-му кварталі порівняно з 1-м, %
1-й квартал	2-й квартал
p0q0	p1q1
1-й	60	64	-20
2-й	42	44	+10
3-й	35	38	без змін

Обчисліть: 1) загальні індекси товарообігу, цін і фізичного обсягу реалізації товарів; 2) зміни обсягу товарообігу в абсолютному виразі в цілому та під впливом зміни рівня окремих чинників.

Розв'язання:

Загальні індекси щодо 3-х товарів разом за формою будуть агрегатними, оскільки реалізовані товари є різними. Індекс товарообігу буде дорівнювати:

І_рq = Σ р₁q₁: Σ р₀q₀ = (64 + 44 + 38): (60 + 42 + 35) = 146: 137 =

= 1,066 (106,6% або +6,6%).

Отже, у цілому товарообіг збільшився на 6,6 %. В абсолютному виразі цей приріст становитиме

Δ pq = Σ р₁q₁ - Σ р₀q₀ = 146 - 137 = + 9,0 тис. грн.

Індекс цін визначаємо як середньозважений гармонійний, для чого зміну середніх цін у 2-му кварталі порівняно з 1-м у % представимо у вигляді коефіцієнтів, тобто індивідуальних індексів ціни на окремі товари:

i_{p 1}=(-20+100):100= 0,8; i_{p 2}=(+10+100):100= 1,1; i_{p 3}=(0+100):100= 1,0; І_р = Σ р₁q₁: Σ р₀q₁ = = (64 + 44 + 38): (64 / 0,8 + 44 / 1,1 + 38 / 1,0) =

= 146: 158 = 0,924 (92,4 % або - 7,6%).

Отже, під впливом зниження цін товарообіг зменшився на 7,6 %. В абсолютному виразі це зменшення становитиме:

 

Δ pq (p) = Σ р₁q₁ - Σ р₀q₁ = 146 - 158 = - 12,0 тис. грн.

 

Індекс фізичного обсягу реалізації товарів буде дорівнювати

І_q = Σ р₀ q₁: Σ р₀ q₀ = 158: 137 = 1,153, (115,3 % або + 15,3%).

 

Отже, під впливом зростання фізичного обсягу реалізації товарів товарообіг збільшився на 15,3 %. В абсолютному виразі цей приріст становитиме

Δ pq (q) = Σ р₀ q₁ - Σ р₀ q₀ = 158 - 137 = +21,0 тис. грн.

Перевірка:

1) Взаємозв'язок індексів: 1,066 = 0,924 ^. 1,154;

2) зв'язок абсолютних приростів: + 9 = - 12 + 21 тис. грн.

Приклад 3

Маємо дані про діяльність відділень банку, представлені в таблиці (тис. грн.).

Відділення банку	Базовий період	Звітний період
швидкість обороту позик Ш0	середній залишок позик З0	швидкість обороту позик Ш1	середній залишок позик З1
1 2	2,00 3,50	110 200	2,50 4,11	100 180
Разом	Х	310	Х	280

На основі наведених в таблиці даних розрахувати:

А. загальні індекси кредитового обороту, швидкості обороту позик та середніх залишків позик.

Б. абсолютний приріст кредитового обороту в цілому та за рахунок окремих чинників. Зробити висновки.

Розв’язання завдання А:

Швидкість обороту позик визначається як співвідношення кредитового обороту (КО) до середніх залишків позик:Ш = .Швидкість обороту позик це якісний показник, а середні залишки позик – кількісний. Будуємо систему взаємопов’язаних зведених індексів.

Загальний індекс кредитового обороту визначаємо за формулою:

Загальний індекс швидкості обороту позик

Загальний індекс середніх залишків позик

(- 9,8%).

Перевіримо взаємозв’язок між розрахованими індексами

Отримані результати свідчать про те, що в цілому кредитовий оборот у двох відділеннях банку зріс у 1,076 рази, або на 7,6 %. Це відбулося за рахунок зростання швидкості обороту позик (+ 19,3%), та за рахунок зниження середніх залишків позик (– 9,8%).

Розв’язання завдання Б: Визначимо абсолютний приріст кредитового обороту в цілому та за рахунок окремих чинників

Δ КО = Σ КО₁ – Σ КО₀ = Σ Ш₁З₁ - Σ Ш₀З₀ = 990 – 920 = +70 тис. грн.;

Δ КО(_Ш) = (Σ Ш₁З₁ – Σ Ш₀З₁ ) = 990 – 830 = +160 тис. грн.;

Δ КО(_З ) = (Σ Ш₀З₁ – Σ Ш₀З₀) = 830 - 920 = - 90 тис. грн.

Таким чином, кредитовий оборот в цілому зріс на 70 тис. грн., в тому числі за рахунок прискорення швидкості обертання позик він зріс на 160 тис. грн., а за рахунок зміни середніх залишок позик - зменшився на 90 тис. грн.

Перевірка взаємозв’язку між абсолютними приростами

Δ КО = Δ КО(_Ш) + Δ КО(_З ) = 160 – 90 = 70 тис.грн.

Приклад 4

Маємо дані про діяльність відділень банку, представлені в таблиці (тис. грн.).

Відділення банку	Базовий період	Звітний період
швидкість обороту позик Ш0	середній залишок позик З0	швидкість обороту позик Ш1	середній залишок позик З1
1 2	2,00 3,50	110 200	2,50 4,11	100 180
Разом	Х	310	Х	280

На основі наведених в таблиці даних оцінити динаміку середньої швидкості обороту позик, розрахувавши індекси середньої швидкості обороту позик змінного, фіксованого складу та індекс структурних зрушень. Зробити висновки.

Розв’язання: Осереднюється швидкість обороту позик (якісний показник), тому середні залишки позик – показник, який знаходиться у знаменнику логічної формули визначення Ш, є показником - сумірником, тобто вагами.

Будуємо систему взаємопов’язаних зведених індексів, що характеризують динаміку середньої швидкості обороту позик.

Індекс середньої швидкості обороту позик змінного складу визначаємо за формулою 4.10.14:

Індекс середньої швидкості обороту позик фіксованого складу визначаємо за формулою 4.10.15:

Індекс структурних зрушень визначаємо за формулою 4.10.16:

Визначені індекси свідчать про те, що середня швидкість оборотупозик у звітному періоді порівняно із базовим зросла в цілому на 19,1%. При цьому, за рахунок зростання швидкості обороту позик середня швидкість оборотупозик зросла на 19,3%, а за рахунок змін у структурі залишків позик вона знизилася на 0,1%.

 

1111111 Приклади розв’язання типових задач Приклад 1 На основі даних, наведених у табл. встановити наявність кореляційного зв’язку, визначити лінію регресії за лінійною моделлю. Оцінити істотність і щільність зв’язку.