Основні правила комбінаторики.

Правило суми. Якщо об’єкт можна вибрати способами, а об’єкт можна вибрати способами, то один з об’єктів або або можна вибрати способами.

Правило добутку. Якщо деякий об’єкт можна вибрати способами і після кожного такого вибору інший об’єкт можна вибрати (незалежно від вибору об’єкта ) способами, то пари об’єктів і можна вибрати способами.

Правила суми та добутку мають місце для будь-якого скінченого числа множин.

Правило суми. Якщо скінченні множини попарно не перетинаються, то число елементів їх об’єднання дорівнює сумі чисел елементів кожної з цих множин.

Правило добутку. Нехай треба виконати одну за одною дій. Якщо першу дію можна виконати способами, другу дію – способами, третю дію – способами і так далі до -тої дії, яку можна виконати способами, то всі дій разом можна виконати способами.

Множина називається впорядкованою, якщо кожному її елементу поставлено у відповідність деяке натуральне число (номер елемента) так, що різним елементам відповідають різні числа.

Впорядковані множини вважаються різними, якщо вони відрізняються або своїми елементами, або їх порядком.

Перестановкою з елементів називається будь-яка впорядкована множина, що складається з елементів. Кількість перестановок з елементів позначають і обчислюють за формулою

. (1.1)

Примітка: , , .

Для оцінки при великих зручно використовувати формулу Стірлінга

Характеристична ознака перестановки:

1) предмети різні;

2) усі місця зайняті;

3) порядок елементів важливий.

Розміщенням з елементів по () називається впорядкована елементна підмножина -елементної множини. Число розміщень з елементів по позначається і обчислюється за формулою

. (1.2)

Характеристична ознака розміщень:

1) предмети і місця різні;

2) ;

3) всі місць зайняті;

4) порядок елементів важливий.

Комбінацією з елементів по () називається будь-яка елементна підмножина -елементної множини. Число різних таких комбінацій позначається і обчислюється за формулою

. (1.3)

Характеристична ознака комбінацій:

1) предмети різні;

2) ;

3) порядок вибору елементів не має значення.

Властивості комбінацій:

1. , , ;

2. ;

3. .

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Обчислити:

а) ; б) ; в) і .

Розв’язання. а) користуючись формулою (1.2), маємо

б) використовуючи формулу (1.1), отримуємо

.

в) за властивістю комбінацій та формулою (1.3) дістаємо

.

Задача 2. Обчислити , якщо .

Розв’язання. Застосовуючи формулу (1.2) отримуємо

і .

Отже, , звідки , або

, тобто .

Задача 3. В інформаційно – технологічному управлінні банку працює три аналітика, десять програмістів та 20 інженерів. Скількома способами начальник управління може вибрати одного співробітника для виконання понад нормованої роботи в святковий день?

Розв’язання. Начальник управління може вибрати одного аналітика способами, одного програміста способами або одного інженера ‑ способами. Оскільки, за умовою задачі начальник може вибрати будь-кого зі своїх співробітників, то згідно з правилом суми у нього існує різних способів вибрати співробітника для виконання понад нормованої роботи.

Задача 4. У шаховому турнірі беруть участь 16 шахістів. Скількома способами можуть бути розподілені перше та друге місця?

Розв’язання. Гіпотетично перше місце може вибороти будь-хто з 16 шахістів. Після визначення володаря першого місця друге місце може вибороти будь-хто з 15 інших шахістів. Отже, за правилом добутку, кількість способів розподілу першого та другого місць становить .

Задача 5. Скільки треба мати словників, щоб можна було робити переклади з будь-якої із шести іноземних мов на будь-яку іншу з них?

Розв’язання. Потрібно знайти скількома способами можна вибрати два елементи з даних шести, які відрізняються або порядком або елементами, тому шукане число необхідної кількості буде рівне .

Задача 6. Скількома способами 4 різні книги можна розставити на полиці?

Розв’язання. Кількість таких способів дорівнює числу перестановок з 4 елементів, тобто .

Задача 7. Скількома способами можна вибрати 4 карти з колоди у 36 карт?

Розв’язання. Шукане число дорівнює:

.

 

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

 

1. Обчислити: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Обчислити , якщо .

3. Розв’язати рівняння .

4. Скільки існує способів вибору на чергування двох студентів з двох груп чисельністю 23 і 20 студентів, якщо студенти з різних груп?

5. Скількома способами можна відібрати одного студента на олімпіаду з математики із двох груп, що складаються з 23 та 20 студентів?

6. Монету підкидають тричі. Скільки різних послідовностей гербів та цифр можна при цьому отримати?

7. На секції математики студентської наукової конференції побажали виступити з доповідями шість студентів. Скількома способами їх можна розмістити в програмі, якщо їх доповіді повинні буди поруч?

8. На п’ять співробітників хімічної лабораторії виділено три оздоровчі путівки. Скількома способами їх можна розділити, якщо: а) всі путівки різні; б) всі путівки однакові?

9. У взводі 3 сержанти і 30 солдатів. Скількома способами можна виділити одного сержанта і трьох солдатів для патрулювання?

10. Скільки чотиризначних чисел можна скласти з цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, якщо: а) жодна з цифр не повторюється; б) цифри можуть повторюватися; в) числа повинні бути непарними (цифри можуть повторюватися)?

11. Скількома способами можна розмістити 10 студентів за круглим столом?

12. У ящику 20 деталей серед яких 4 браковані. Скількома способами можна взяти:

а) п’ять деталей;

б) одну браковану і чотири стандартні;

в) вісім деталей, серед яких 5 стандартних;

г) шість деталей серед яких хоча б дві браковані;

д) дві однакові за якістю.

13. На книжковій полиці вміщується 10 томів енциклопедії. Скількома способами їх можна розставити так, щоб а)томи 1 і 2 стояли поруч; б) томи 3 і 4 не стояли поруч?

Відповіді. 1. а) 324540216; б) 1; в) 120; г) 128. 2. . 3. . 4. 460. 5. 53. 6. 6. 7. 720. 8. а) 60; б) 10. 9. 12180. 10. а) 300; б) 1080; в) 5040. 11. 9!. 12. а) 15504; б) 7280; в) 17472; г) 6000; д) 122.

 

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

 

1. Обчислити: а) ; б) ; в) ; г) ;

2. Розв’язати рівняння: а) ; б)

3. В магазині «Все до чаю» є п’ять різних чашок та 3 різних блюдця. Скількома способами можна купити чашку з блюдцем?

4. Скільки існує непарних п’ятицифрових чисел?

5. Студенти першого курсу вивчають 8 предметів. Скількома способами можна скласти розклад занять на понеділок, якщо в цей день слід запланувати 3 лекції з різних предметів?

6. На полиці стоїть 8 книжок, з яких 3 книги одного автора. Скількома способами можна переставити книги так, щоб книги одного автора стояли поруч.

7. У букеті 7 червоних і 8 жовтих троянд. З букета навмання виймають 4 троянди. Скількома способами це можна зробити, якщо відомо, що вийняті троянди одного кольору?

8. Скількома способами з колоди (36 карт) можна взяти 4 карти, щоб серед них було:

а) три піки;

б) дві бубнової, одна чирвової масті;

в) всі різної масті.

Відповіді. 1. а) 2368371850; б) 363; в) 17100; г) 5760. 2. а) ; б) . 3. 15. 4. 45000. 5. 336. 6. 4320. 7. 105. 8. а) 2286; б) 5832; в) 36.
§2. Простір елементарних подій.

 

ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

 

Теорія ймовірностей – розділ математики, що вивчає математичні моделі випадкових явищ реального світу.

Стохастичний або випадковий експеримент – експеримент який можна повторювати необмежену кількість разів і результати якого не можна передбачити наперед. Подія – результат випробування.

Достовірною подією називається подія , яка при виконанні певного комплексу умов обов’язково відбудеться. Неможлива подія – подія Ø, яка при виконанні даного комплексу умов не може відбутись. Випадкова подія – подія, яка при виконанні даного комплексу умов може як відбутись, так і не відбутись.

Події, як правило, позначають великими латинськими літерами …, або в разі їх значної кількості – великою латинською літерою з індексом .

Простір елементарних подій

Елементарною подією називається найпростіший результат випробування і позначається . Простором елементарних подій називається сукупність всіх можливих елементарних подій випробування і позначається . Будь-яка підмножина простору елементарних подій називається випадковою подією. Елементарні події, що входять в називають сприятливими для настання події . Подія настає, якщо настає будь-яка елементарна подія, яка належить .

Операції над подіями.

Сумою (об’єднанням) подій і називається подія (), яка настає тоді, коли настає принаймні одна з подій або . Сприятливими для суми є елементарні події, які сприятливі або для події або для події , або подій і .

 

Добутком (перетином) подій і називається подія (), яка настає тоді, коли настають обидві події і . Сприятливими для добутку є елементарні події, які сприятливі і для події і для події .

 

Різницею подій і називається подія яка настає тоді, коли настає подія і не настає подія .

 

Протилежною подією до події називається подія, що складається з елементарних подій, які не належать до тобто .

 

 

Види випадкових подій.

Події і називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої, тобто . В загальному випадку події називають попарно несумісними (або просто несумісними), якщо поява однієї з них в даному випробуванні виключає можливість появи будь-якої іншої з цих подій.

Події і називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає появу іншої, тобто .

Події і називаються рівноможливими в даному випробуванні, якщо за умовами проведеного випробування немає підстав вважати появу однієї з цих подій більш можливою, ніж інших.

Події утворюють повну групу подій, якщо вони попарно несумісні , при () і їх множина співпадає з усім простором елементарних подій , тобто .

 

 

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ТИПОВИХ ЗАДАЧ

 

Задача 1. Нехай експеримент полягає в однократному підкиданні грального кубика. Подія ‑ випадання числа очок, не менше 4, подія ‑ число очок, кратне 3, подія ‑ число очок, не більше 8, подія ‑ число очок, більше 6, подія ‑ число очок, більше 3. Записати простір елементарних подій даного експерименту. Визначити елементарні події, які є сприятливими для вказаних подій. Вказати, які з цих подій: вірогіді, неможливі, рівноможливі.

Розв’язання. Простором елементарних подій цього експерименту є множина , де ‑ випадання очок . Простір можна записати ще так:

Сприятливими для настання події є такі елементарні події: , та , тому Сприятливими для події є такі елементарні події: і , тому Сприятливими для події є такі елементарні події: , , , , та , тому . Отже, подія є вірогідною. Для події жодна з елементарних подій не є сприятливою. Тому ‑ неможлива подія. Сприятливими для настання події є ті ж самі елементарні події, що і для події , тому

Задача 2. Два стрільці по одному разу стріляють по мішені. Подія – другий стрілець влучив у мішень, ‑ у мішені одне влучення. Записати у чому полягають події: , , , , , , , , .

Розв’язання. ‑ другий стрілець не влучив у мішень. ‑ у мішені два влучення або немає жодного. ‑ влучив лише перший стрілець (другий стрілець не влучив у мішень і в мішені одне влучення). ‑ обидва стрільці влучили у мішень (другий влучив і в мішені не одне влучення). ‑ обидва стрільці не влучили в мішень (другий не влучив і в мішені не одне влучення). ‑ або лише перший стрілець влучив у мішень, або обидва стрільці влучили в мішень, або жоден з них не влучив. ‑ влучив принаймні один стрілець (один з стрільців влучив у мішень, або обидва). ‑ або лише перший стрілець влучив у мішень, або обидва стрільці влучили в мішень, або жоден з них не влучив, тобто . ‑ жоден із стрільців не влучив, тобто .

Задача 3. Стрілець виконує три постріли по мішені. Нехай подія , полягає в тому, що стрілець, влучає у мішень при -му пострілі. Записати у вигляді суми, різниці та добутку подій такі події: ‑ три влучення, ‑ один промах, ‑ принаймні один промах, ‑ не більше одного промаху.

Розв’язання. Подія відбувається тоді, коли стрілець влучає в ціль при кожному пострілі. Тому .

Подія відбувається тоді, коли стрілець влучає в мішень двічі. Оскільки ‑ промах при -му пострілі, то .

Подія полягає в тому, що стрілець промахується або один раз, або двічі, або тричі.

Отже, Подія відбувається тоді, коли стрілець влучає або тричі, або двічі, тобто .

 

ЗАВДАННЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ РОБОТИ

 

1. Навести приклади достовірних і неможливих подій.

2. Навести приклади сумісних, несумісних, рівноможливих подій.

3. Чи утворюють простір елементарних подій: а) експеримент - підкидання монети, події: ‑ випадання герба, ‑ випадання цифри; б) експеримент ‑ підкидання двох монет, події: ‑ випадання двох цифр, ‑ випадання двох гербів; в) експеримент - три постріли в мішень, події: ‑ хоча б одне влучення, ‑ хоч один промах; г) експеримент - два постріли в мішень, події: ‑ жодного влучання, ‑ одне влучання, ‑ два влучення; д) експеримент ‑ підкидання грального кубика, події: ‑ випадання непарної цифри, ‑ випадання простого числа?

4. Чи є несумісними такі події: а) експеримент ‑ підкидання грального кубика, події: ‑ випадання непарної цифри, ‑ випадання простого числа; б) експеримент ‑ підкидання симетричної монети, події: ‑ випадання герба, ‑ випадання цифри; в) експеримент ‑ два постріли в мішень, події: ‑ жодного влучання, ‑ одне влучання, ‑ два влучання; г) експеримент ‑ два постріли в мішень, події: ‑ хоч одне влучання, ‑ хоч один промах; д) експеримент ‑ підкидання грального кубика, події: ‑ випадання парної цифри, ‑ випадання непарної цифри, е) експеримент ‑ виймання з коробки однієї пластинки доміно, події: ‑ випадання дубля, ‑ випадання пластинки, сума очок якої дорівнює п'яти?

5. Скільки елементів має простір елементарних подій. а) експеримент ‑ підкидають монету 10 разів; б) експеримент ‑ підкидають гральний кубик шість разів, в) експеримент ‑ два постріли в мішень; г) експеримент ‑ на кожній із чотирьох карток пишуть одну з цифр; 1, 2, 3, 4. 5; д) експеримент- вибір обіду з трьох страв, коли в меню пропонуються 5 перших, 6 других і 3 треті страви; е) експеримент ‑ вибір одного числа із множини всіх п'яти цифрових чисел?

6. Гральний кубик підкидають двічі, описати: а) простір елементарних подій ; б) подію ‑ «в сумі випало парне число очок»; в) подію ‑ «хоча б один раз з’явилось одне очко»; г) подію ; д) подію .

7. Вийшовши з дому, чоловік зустрів перехожого. Подія полягає в тому, що він зустрів знайомого, а подія ‑ в тому, що зустрічний має світле волосся. Описати події , , , , , , , .

8. ; ; . Записати у чому полягають події: , , , , , , , , , .

9. Нехай , , ‑ три довільні події. Знайти події, які означають: 1) відбулася лише подія ; 2) відбулися лише події і ; 3) відбулися всі три події; 4) відбулася принаймні одна з подій; 5) відбулися принаймні дві події; 6) відбулася лише одна подія; 7) відбулися лише дві події; 8) жодна з подій не відбулася; 9) відбулося не більше двох подій.

10. ; ; ; ; ; . Яка з подій утворює з подією повну групу?

11. Тричі підкинули монету. Записати простір елементарних подій можливих результатів випробування та події: ‑ герб випав не менше двох раз, ‑ цифра випала принаймні один раз, ‑ випали лише цифри, , , .

Відповіді. 3. а) Так; б) Ні; в) Ні; г) Так; д) Ні. 4. а) Ні; б) Так; в) Так; г) Ні; д) Так; е) Так. 5. а) 1024; б) 46656; в) 4; г) 625; д) 90; е) 90000. 11. ; ; .

 

ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ

 

1. ;

; .

Записати у чому полягають події: , , , , , , , , , .

2. ; ;

; ;

; .

Яка з подій утворює з подією повну групу?

3. Кидають два гральні кубики. Побудувати простір елементарних подій, а також записати наступні події: ‑ на кубиках випали парні цифри, ‑ хоча б на одному кубику випала цифра кратна трьом, , .

4. У книжковій шафі стоять підручники з математики, теорії ймовірностей, статистики. Студент навмання бере два підручники. Побудувати простір елементарних подій, а також записати наступні події: ‑ студент взяв принаймні один підручник з математики, ‑ студент не взяв підручник з теорії ймовірностей, ‑ студент взяв два підручники зі статистики, , .

Відповіді. 4. ; .