Действия с комплексными числами в алгебраической форме

1) Сложение и вычитание:

 

2) Умножение: =

=

3) Деление: . Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби домножить на число, сопряженное знаменателю: =

Пример. Даны два комплексных числа . Найти значение выражения в алгебраической форме.

Произведем деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(- i)⁴ = 16 i ⁴ =16.

 

Геометрическая форма комплексного числа

Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом ось ОХ будет являться действительной числовой осью, а ОУ - мнимой осью.

Практическое занятие №9

Наименование занятия: Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Цель занятия: Научиться выполнять действия над комплексными числами.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Комплексные числа».

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Даны комплексные числа и . Найти: Z ₁· Z ₂, , (Z ₂)⁴, .
2. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

1) Z = 5 i;

2) Z = -2 – 2 i;

3) Z = ;

4) Z = -6.

1. Записать комплексные числа в алгебраической и показательной формах.

1) ;

2) ;

3) ;

4)

1. Записать комплексные числа в алгебраической и тригонометрической формах.

1) ;

2) ;

1. Выполнить действия, используя показательную форму комплексного числа:

1. Решить уравнения:

1) z ⁴ = i;

2) z⁴ + z ² + 1 = 0.

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется модулем и аргументом комплексного числа? Как они вычисляются?
2. Как записывается комплексное число в тригонометрической, показательной формах?
3. Как найти произведение и частное комплексных чисел, записанных в тригонометрической, показательной формах?
4. Как возвести в степень число, записанное в тригонометрической, показательной формах?
5. Сколько значений имеет корень n -й степени, записанное в тригонометрической, показательной формах?

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Тригонометрическая форма комплексного числа

Показательная форма комплексного числа

Величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона j - аргументом комплексного числа. ;

 

Действия с комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

Пусть комплексные числа , записаны в тригонометрической форме и , - в показательной.

В тригонометрической и показательной формах удобно производить следующие действия:

 

1. Умножение: ;

 

2. Деление: ;

3. Возведение в степень: ; , где n – натуральное число.

4. Извлечение корня из комплексного числа:

;

Корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Пример. Число записать в тригонометрической форме, найти z²⁰,

 

Число представим в тригонометрической форме.

. Тогда .

При k = 0 получим

При k = 1 получим

При k = 2 получим

При k = 3 получим

 

 

Практическое занятие №10

Наименование занятия: Вычисление пределов функций

Цель занятия: Научиться вычислять пределы функций.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Теория пределов. Непрерывность»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

Вычислить пределы следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

 

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16.

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как прочитать запись ? Дать определение предела функции в точке.
2. Как избавиться от неопределенностей вида , ?
3. Сформулируйте замечательные пределы.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена).

Число b называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e >0 существует такое число d(e) >0, что для всех х, удовлетворяющих неравенствам ï x - a ï < d и x ≠ a верно неравенство:ï f(x) - b ï< e.

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а.

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Пример. Вычислить предел .

Сначала найдем предел знаменателя: = 6∙1² = 6. Предел знаменателя отличен от нуля, следовательно, можно воспользоваться теоремами 4, 1:

 

= = = = =

 

Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .