Случайная величина. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Формулы для вычисления основных числовых характеристик непрерывной случайной величины.

Случайная величина называется дискретной, если ее множество значений счетно.

Любое пространство элементарных событий не являющееся дискретным, называется недискретным, и при этом, если наблюдаемыми результатами (нельзя произносить случайными событиями) являются точки того или иного числового арифметического или координатного пространства, то пространство называется непрерывным (континуум). Пространство элементарных событий вместе с алгеброй событий и вероятностью образует тройку, которая называется вероятностным пространством.

Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности.

Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси.

Для непрерывной случайной величины при любом имеет место равенство

а также

где F(x) функция распределения величины .

Пусть f(x) - неотрицательная интегрируемая функция, определенная на всей числовой оси и удовлетворяющая условию

Тогда функция

обладает всеми свойствами функции распределения. Кроме того, F(x) непрерывна в любой точке (и слева, и справа). Следовательно, случайная величина , определяемая функцией распределения F(x), является непрерывной.

Мы говорим, что случайная величина с функцией распределения F(x) раcпределена с плотностью, если существует неотрицательная функция f(x), такая, что для любого имеет место равенство (2). При этом f(x) называется плотностью вероятности случайной величины , а ее график – кривой распределения.

Из определения плотности вероятности f(x) и свойств функции распределения следует, что f(x) должна удовлетворять условию (1). И обратно, если и выполняется условие (1), то f(x) является плотностью вероятности.

Если случайная величина имеет плотность вероятности f(x), то имеет место формула

Числовые ряды. Основные понятия. Необходимый признак сходимости числового ряда

Пусть положительные числа - члены некоторой бесконечной числовой последовательности. Тогда выражение вида

(1)

называется числовым рядом.

Здесь – общий член ряда, с помощью которого ряд (1) записывается в виде

Зная общий член ряда, можно записать ряд в форме (1). Так общим членом задается числовой ряд

Рассмотрим для числового ряда (1) суммы его первых членов

Будем называть их частичными суммами и обозначим соответственно через

Если для некоторого числового ряда бесконечная последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, то этот ряд называется сходящимся.

Этот предел называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет определенного предела, то ряд называется расходящимся и для него не существует суммы.

Рассмотрим примеры на исследование сходимости ряда по определению.

Пример 1.

Дан ряд

Это геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем .

Частичная сумма ряда

или .

1) если , то , при и, следовательно,

Значит, в случае ряд сходится и его сумма .

2) если , то , при и тогда ,т.е. не существует и ряд расходится

3) если то данный ряд имеет вид

В этом случае , т.е. ряд расходится.

4) если , то имеем ряд

В этом случае

Следовательно, предела не имеет и ряд расходится

Таким образом, ряд сходится только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсолютной величине меньше единицы.

Пример 2.

Рассмотрим ряд

,

который называется обобщенным гармоническим рядом.

1) пусть

Составим n-ю частичную сумму

По условию , т.о.

, следовательно, ряд расходится

2) при и ряд будет сходящимся.

т.о. обобщенный гармонический ряд расходится при и сходится при .

При получим ряд вида , который называется гармоническим и является расходящимся рядом.

Пример 3.

Рассмотрим ряд

Общий член заданного ряда может быть представлен в виде:

, сравнив числители дробей, получим значения , и, таким образом,

Определим частичную сумму ряда

Отсюда , и, таким образом, заданный ряд сходится.

Для рассмотренных рядов операция суммирования оказалась сравнительно несложной. Вообще же этот прием, если он и выполним, связан со сложными вычислениями. Поэтому для исследования характера ряда применяют признаки сходимости.

2. Необходимый признак сходимости.

Теорема.

Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

Доказательство.

Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда

;

так как вместе с также и , то , т.е.

Здесь , а .

Поэтому

Отсюда , что и требовалось доказать.