Частотні характеристики замкнутої системи

Частотні характеристики (ЧХ) показують залежність вихідної величини від вхідної, коли вхідна змінюється за синусоїдальним законом [6, 7].

Основними частотними характеристиками САК є:

1. амплітудна частотна характеристика (АЧХ), фазова частотна характеристика (ФЧХ);

2. амплітудно-фазова частотна характеристика (АФЧХ);

3. логарифмічна амплітудна частотна характеристика (ЛАЧХ), логарифмічна фазова частотна характеристика (ЛФЧХ)

4. дійсна частотна характеристика (ДЧХ), уявна частотна характеристика (УЧХ).

Частотні характеристики – це залежності певних характеристик системи від частоти . Всі ці характеристики виводяться з передаточної функції системи.

Якщо ланка є лінійною, то при подачі на її вхід гармонійного синусоїдального сигналу виду

х_вх.(t)=А1sinwt (22)

з амплітудою А1 і частотою w, на виході буде також гармонійний синусоїдальний сигнал тієї ж частоти але з амплітудою А2 і зсунутий по фазі на кут j:

х_вих.(t)=А2sin(wt+j). (23)

Зсув фаз визначається динамічними характеристиками системи.

Запишемо рівняння (22) та (23) в показниковій формі:

. (24)

Знайдемо відношення:

(25)

У випадку, коли амплітуда залишається постійною величиною А1 = const, а частота змінюється з певним кроком w, тоді отримуємо експериментальний шлях одержання частотних характеристик. Тобто відношення амплітуд та зсув фаз є функціями частоти.

Як відомо, передаточна функція є функцією комплексного числа

(26)

Якщо накласти умову: , тоді передаточна функція вироджується в функцію уявної частоти: .

, (27)

де — це АФЧХ системи, тобто характеристика, яка одночасно характеризує амплітуду та фазу системи.

Отже, АФЧХ – це:

. (28)

Побудова годографа АФЧХ. Функцію комплексної змінної , як і будь-яку іншу функцію, можна записати в алгебраїчній

(29)

та показниковій формах:

, (30)

де – дійсна частотна характеристика (ДЧХ);

– уявна частотна характеристика (УЧХ);

– амплітудна частотна характеристика (АЧХ);

– фазова частотна характеристика (ФЧХ).

Як видно з (29) та (30), пари характеристик АЧХ та ФЧХ, ДЧХ та УЧХ містять ту саму інформацію, що і АФЧХ системи, тобто повністю характеризують динамічні властивості системи [9, 10].

Між наведеними частотними характеристиками існує такий взаємозв’язок:

(31)

Способи побудови годографа АФЧХ. Побудова для варіанту представлення АФЧХ рівнянням (30): змінюючи частоту w, знаходимо декілька значень А(w) і j(w) (таблиця 1). На комплексній площині для кожної w проводимо промінь під кутом j(w), на якому відкладаємо довжину А(w). Множина точок дає годограф АФЧХ (рисунок 9).

 

Таблиця 1 – Розрахункові точки побудови годографа АФЧХ

w	w 1	w 2	w …	w n
А(w)	А(w1)	А(w2)	А(w…)	А(w n )
j(w)	j(w1)	j(w2)	j(w…)	j(wт)

 

Рисунок 9 – Годограф АФЧХ

 

Побудова для варіанту представлення АФЧХ рівнянням (29): змінюючи частоту w від 0 до ¥, знаходимо декілька значень P(w) і Q(w) (таблиця 2), які відкладаємо на комплексній площині (рисунок 10).

 

 

Таблиця 2 – Розрахункові точки побудови годографа АФЧХ

w	w 1	w 2	w …	w n
P(w)	P(w1)	P(w2)	P(w…)	P(w n )
Q(w)	Q(w1)	Q(w2)	Q(w…)	Q(wт)

 

Рисунок 10 – Годограф АФЧХ

В ТАК широко використовуються логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ) (рисунок 11): логарифмічна амплітудна частотна характеристика (ЛАЧХ) L(ω) і логарифмічна фазочастотна характеристика (ЛФЧХ) φ_L(ω).

Вони отримуються шляхом логарифмування передаточної функції:

. ( 32 )

При дослідженні САК, амплітудну й фазову частотні характеристики зручно будувати в логарифмічних координатах. Це пов'язано із двома обставинами [4, 12]:

1. у логарифмічних масштабах кривизна характеристик різко зменшується, що дозволяє в більшості практичних випадків приблизно зображувати АЧХ ламаними лініями.

2. у логарифмічних масштабах АЧХ кола ланок дорівнює сумі АЧХ окремих ланок:

. (33)

ЛАЧХ одержують з першого доданка, що з міркувань масштабування множиться на 20, і використовують не натуральний логарифм, а десятковий, тобто L(ω) = 20lg(ω). Величина L(ω) відкладається по осі ординат у децибелах. Зміна рівня сигналу на 10 дб відповідає зміні його потужності в 10 разів. Так як потужність гармонійного сигналу Р пропорційна квадрату його амплітуди А, то зміні сигналу в 10 разів відповідає зміна його рівня на 20дб, оскільки:

. (34)

Рисунок 11 – Логарифмічні характеристики

 

По осі абсцис відкладається частота ω у логарифмічному масштабі. Тобто одиничним проміжкам по осі абсцис відповідає зміна ω в 10 разів. Такий інтервал називається декадою. Оскільки lg(0) = -∞, то вісь ординат проводять довільно.

ЛФЧХ, одержана із другого доданка, відрізняється від ФЧХ тільки масштабом по осі ω. Величина φ(ω) відкладається по осі ординат у градусах або радіанах. Для елементарних ланок вона не виходить за межі: -π≤φ≤+π.

ЧХ є достатніми характеристиками системи. Знаючи ЧХ системи можна відновити її передатну функцію й визначити параметри.

Для наповнення даного підрозділу курсової роботи необхідно знайти математичні вирази та побудувати всі частотні характеристики замкнутої системи. Для цього необхідно підставити в передаточну функцію замкнутої системи W_з(p) змінну jω замість p, одержимо АФЧХ W(jω). Потім слід виразити із отриманого рівняння АФЧХ її ДЧХ P(ω) і УЧХ (Q(ω). Після цього перетворють АФЧХ у показникову форму й отримують АЧХ A(ω) і ФЧХ φ(ω), а потім визначають вираз ЛАЧХ L(ω)=20lgА(ω) (ЛФЧХ відрізняється від ФЧХ тільки масштабом осі абсцис).

 

3.3 Перехідна (часова) характеристика замкнутої системи

Перехідна (часова) характеристика (ПХС) замкнутої ланки або системи – це крива перехідного процесу на виході ланки при подачі на її вхід одиничної сходинкової дії. ПХС ще називають кривою розгону і позначають h(t).

Перехідна характеристика системи — це реакція динамічної системи на одиничний стрибок (рисунок 12) [8].

 

Рисунок 12 – Схема формування ПХС

Характеристики одиничної сходинкової дії задаються системою рівнянь виду:

(35)

Згідно прямого перетворення Лапласа оригіналам та відповідають зображення:

® , (36)

® . (37)

Отже, передаточна функція матиме вигляд:

. (38)

Звідки:

. (39)

Таким чином для того, щоб знайти перехідну характеристику системи, необхідно перетворити передаточну функцію за Лапласом, потім поділити її на оператор Лапласа і застосувати до отриманого виразу зворотне перетворення за Лапласом. Тобто [4]:

. (40)

 

3.4 Вагова (імпульсна) характеристика замкнутої системи

Вагова (імпульсна) характеристика ланки або системи (ВХС) – це крива перехідного процесу на виході ланки, яка виникає при подачі на вхід ланки одиничного імпульсу. ІПХ одержують тоді, коли об’єкт регулювання не можна піддавати тривалому збурюю чому впливу, яким є одинична сходинкова дія [2, 4].

Вагова характеристика — це реакція динамічної системи на одиничний імпульс – функцію Дірака (рисунок 13):

Рисунок 13 – Схема формування ВХС

Характеристики одиничного імпульсу задаються системою рівнянь виду:

(41)

Корисною особливістю функції Дірака є:

. (42)

За Лапласом оригіналам та відповідають зображення:

,® , (43)

,®. . (44)

Отже отримуємо рівність виду:

(45)

Тобто:

. (46)

Таким чином, передаточна функція — це вагова (імпульсна) характеристика, перетворена за Лапласом, і навпаки:

. (47)

Порівнюючи вирази (39) та (46) можна отримати:

або , (48)

або

. (49)

В разі, якщо досліджувана система є нелінійною, тоді співвідношення (49) не виконується.

Приклад 3. Обчислити перехідну та вагову характеристики динамічної системи, яка описується диференціальним рівнянням:

. (50)

Розв’язок. Згідно прямого перетворення Лапласа:

, (51)

. (52)

Для ступінчастого збурення :

. (53)

Звідки перехідна характеристика матиме вигляд:

, (54)

Із попереднього рівняння імпульсна характеристика визначатиметься:

. (55)

В момент змінюється миттєво, що відповідає нескінченному значенню похідної, котра, одночасно, миттєво приймає кінцеве від’ємне значення, тому вираз (19) слід переписати так:

. (56)