Влияние основания системы счисления на диапазон представления чисел в эвм и информационных системах

Диапазон представляемых чисел зависит от основания характеристики и числа разрядов, выделенных для изображения порядка. Использование плавающей запятой значительно расширяет диапазон представляемых чисел в машине.

Однако недостатком машин с плавающей запятой является увеличение времени выполнения арифметических операций в связи с необходимостью оперировать не только с мантиссами, но и с порядками чисел, а также осуществлять их нормализацию. К тому же это приводит к усложнению схем машины. В современных машинах, как правило, используются обе формы представления чисел, что позволяет учитывать особенности решаемых задач и тем самым повысить общую скорость вычислений.

При этом у одинаковых по длине форматов чисел с плавающей точкой с увеличением основания системы счисления существенно расширяется диапазон представляемых чисел.

Достоинством использования шестнадцатеричной системы для представления чисел с плавающей запятой (точкой) является возможность увеличения диапазона представляемых чисел в машине.

8. Особенности выполнения арифметических операций в 2-й системе счисления. Включает часть ответов из 9,10. Брать из них вычисления ОК, ПК, ДК (+,- числа,0).

Кодирование двоичных чисел при выполнении арифметических операций. ПК и ОК. Выполнение в них алгебраического сложения чисел.

Для представления знаковых целых чисел используются три способа:

1) прямой код; 2) обратный код; 3) дополнительный код.

Все три способа используют самый левый (старший) разряд битового набора длины k для кодирования знака числа: знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей. Остальные k-1 разрядов (называемые мантиссой или цифровой частью) спользуются для представления абсолютной величины числа.

N1+N2=N3 1)N1>0,N2>0 2)N1>0,N2<0 3)N1<0,N2>0 4)N1<0,N2<0 0«+» 1 «-»

 

ПК

Арифм.опер. необходимо различать операции над числами и над знаками.

 

ОК

Отр.число в ОК необход. в знак разряд поставить 1, а в числовых 0->1 и 1->0

 

0 в коде. В ДК знак в 0 не различается

 

Сложение в ПК (прямом коде) не используется т.к. N1+N2=N3.

Арифметическое сложение кодируемых чисел в ОК:

1. N1>0, N2>0 – обычное сложении

2. N1>0, N2<0; |N1|>|N2|

N3ок = N1 + (2 - N2 - 2^-n) = 2 + (N1 - N2) - 2^-n = 2 + N3 - 2^-n

Пример: N1 = +0,1011₂ = 11/16₁₀

N2 = - 0,0101₂ = -5/16

N1ок = 0,1011

N2ок = 1,1010

N3ок = 10,0101

+1

N3 = 0,0110 = 6/16

3. N1<0, N2>0

N3ок = 2 – N3 – 2^-n – 2^-n = N3ок - 2^-n

4. N1<0, N2<0

Пример: N1 = - 0,0111₂ = -7/16₁₀

N2 = - 0,0101₂ = -5/16

N1ок = 1,1000

N2ок = 1,1010

N3ок = 11,0010

+1

N3 = - 0,1100 = -12/16

Дополнительный код. Выполнение алгебраического сложения чисел.

 

Для представления знаковых целых чисел используются три способа:

1) прямой код; 2) обратный код; 3) дополнительный код.

 

Все три способа используют самый левый (старший) разряд битового набора длины k для кодирования знака числа: знак “плюс” кодируется нулем, а “минус” — единицей. Остальные k-1 разрядов (называемые мантиссой или цифровой частью) спользуются для представления абсолютной величины числа.

 

 

 

Отриц. число в ДК в знак 1, в числовых заменить 0->1 1->0 кроме последнего.

 

 

ДК:

2.N1>0, N2<0; |N1|>|N2|

N3дк = N1 + 2 - N2 = 2 + (N1 - N2) = 2 + N3

Пример: N1 = +0,0111₂ = 7/16₁₀

N2 = - 0,0101₂ = -5/16

N1дк = 0,0111

N2дк = 1,1011

N3ок = 10,0010

N3 = 0,0010 = 2/16

4.N1<0, N2<0

N3дк = 2 - N1 + 2 - N2 = 2 + (N1 - N2) + 2 = 2 - N3 + 2 = - N3дк + 2

Пример: N1 = - 0,0111₂ = -7/16₁₀

N2 = - 0,0101₂ = -5/16

N1ок = 1,1001

N2ок = 1,1011

N3ок = 11,0100

N3 = - 0,1100 = -12/16

 

Выводы:

1. При суммировании операндов в ДК результат тоже получается в ДК.

2. Суммирование операндов в ДК занимает меньше времени.

Поэтому ДК – основной код во всех современных ВМ, а также потому, что -0 представляется в нем как 0. Хранение операндов в памяти происходит тоже в ДК.

Сложение двоичных чисел, представленных в форме с плавающей запятой.

Алгебраическое сложение кодированных чисел

Для выполнения алгебраического кодирования ПК не используется, в нем разделяются операции над знаками и над модулями чисел.

ОК: N₁+N₂=N₃

1. N₁>0, N₂<0; | N₁|>| N₂|, N₁ +N₂ =N₃>0

N_1ОК+ N_2ОК= N₁+10- N₂-10^-n=10+(N₁ -N₁)-10^-n=10+N₃-10^-n

N₁=+0,1011=+ N_1OK=0,1011

N₂=-0,0110=- N_2OK=1,1001

N_3OK=10,0100 N_3OK=0,0101=+

2. N₁>0, N₂<0; | N₁|<| N₂|, N₁ +N₂ =N₃<0

N_1ОК+ N_2ОК= N₁+10- N₂-10^-n=10+(N₁ -N₁)-10^-n=10-N₃-10^-n=-N_3OK

N₁=+0,0111=+ N_1OK=0,0111

N₂=-0,1101=- N_2OK=1,0010

N_3OK=1,1001 N_3OK=-0,0110=-

3. N₁<0, N₂<0;

N_1ОК+ N_2ОК=10- N₁-10^-n +10-N₂-10^-n=10+(-N₁ -N₁)-10^-n+10-10ⁿ=10-N₃-10^-n

N₁=-0,0100=- N_1OK=1,1011

N₂=-0,1001=- N_2OK=1,0110

N_3OK=11,0001 N_3OK=1,0011-N₃=-0,1101=-

При выполнении сложения в ОК результат получается тоже в ОК. При выполнении переноса из знакового разряда, эта 1 по цепи циклического переноса добавляется к младшему разряду.

ДК:

1. N₁>0, N₂<0; | N₁|>| N₂|, N₁ +N₂ =N₃>0

N_1ДК+ N_2ДК= N₁+10- N₂ =10+(N₁ -N₁) =10+N₃

N₁=+0,1011=+ N_1ДK=0,1011

N₂=-0,1000=- N_2ДK=1,1000

N_3ДK=10,0011 N₃=+

2. N₁>0, N₂<0; | N₁|<| N₂|, N₁ +N₂ =N₃<0

N_1ДК+ N_2ДК= N₁+10- N₂=10+(N₁ -N₁)=10-N₃=N_3ДK

N₁=+0,0011=+ N_1ДK=0,0011

N₂=-0,1100=- N_2ДK=1,0100

N_3ДK=1,0111 N_3ДK=-0,1001=-

 

3. N₁<0, N₂<0; N₁+N₂=N₃<0

N_1ДК+ N_2ДК=10-N₁+10-N₂ =10+(-N₁ -N₁)-10=10-N_3ДК

N₁=-0,0111=- N_1ДK=1,1001

N₂=-0,1000=- N_2ДK=1,1000

N_3ДK=11,0001 N₃=-0,1111=-

При выполнении сложения в ДК, результат тоже получается в ДК. При выполнении переноса из знакового разряда, эта 1 теряется. Время выполнения по отношению с ОК меньше, т.к. отсутствует цикл переноса.