ТОП 10:

Базіс лінейнай прасторы. Памернасць.Каардынаты вектарау



Азн.1Сістэма вектароў В-лін.праст. V над Р,наз.базісамлін.прасторы V,калі В –лін.незалежн.і V лін.выражаецца праз В.

Азн.2Лін. прастора , у якой існуе канцоўны базіс назыв.канцамернай(пр-ра якая складаецца толькі з Ō таксама наз. канцамернай),у адвар.выпадку – бесканцамернай.

Тэар.1Калі лін.праст.мае канцамерны базіс з n-вектараў,тады кожны базіс гэтай прасторы і мае n-вектараў.

Доказ:Няхайа12, …, аn (1)–базіс лін. пр-ры V над Р. З т-мы Штэйніца вынікае што адвольн. лін. сіс-ма з V мае менш ці роуна за n вектараў. Таму кожны базіс V канцоуны. З таго што адвольн. 2 базісы эквівалентныя паводле выніку 2 т-мы Штэйніца атрымаем што яны маюць адвольн. колькасць вектарау.

Азн.3 Калі лін. прастора, у якой існуе канцоуны базіс з n вектараў ,наз. n-мернай, а n наз. памернасцю гэтай пр-ры.Пр-ра якая складаецца толькі з Ō наз. Ō-мернай. Памернасць абазначаюць n=dim V.

Прыклады:

1) V3, некампланарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V3=3;

2) V3, некалінеарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V2=2;

3) V1, свабодных вектараў, паралельных фіксаванай прамой, з’яўляецца базісам. dim V1=1;
4) Р[x], x,x2,…,xn-з’яўл. Базісам.

Каардынаты вектару.

Няхай V-n-мерная л.п. над P; v1,v2,…vn-базiс V (1) ." аÎV a=a1v1+a2v2+…+anvn; aіÎP,i= (каэф. a1,a2,…, an-каардынаты а у базiсе (1)).

Сцвердж.: каардынаты вектара у фiксаваным базiсе вызначаны адназначна.

Доказ: a=a1v1+a2v2+…+anvn =b1v1+b2v2+…+bnvn , aі ,biÎP,i=

(a1-b1) v1+(a2-b2) v1+…+(an-bn)vn = Ō=>л.н.=> aі-bі =0 ,i= ,aі=bі .

a1

… -каардынатны слупокау базісе(1)

an

Заувага Усе уласцівасці аперацый з м-цамі над Rзастаюцца сапрауднымі і для матрыц над адвольным полем Р. Калі разгледзець матрыцы элементы якіх належаць лін. пр-ры V і складанна і множанне на элнменты асн. Поля такіх матрыцау вызначыць аналагічна таму як яны вызначаны для матрыцау надR. Усе уласцівасці аперацый застаюцца праудзівымі.

 

Увядзем матрыцу-радок B=(v1v2…vn) – (2).Тады відавочна што вектар аз каард. (a1,a2,…, an ) у базісе(1) можна запісаць у выглядзе матрычнай роунасці

a=a1v1+a2v2+…+anvn= (v1v2…vn) a1 = BХ

an

 

Тэарэма2.Няхай a і b- вектары лін. пр. V над P, X, Y- кард. слупкі a, b у базісе(1). Тады каард. Слупок вектару a+b у базісе(1) роуны X+Y, каард. слупок aa, aÎP у базісе(1) роуны aX.

Доказ: a=BX, b=BY, дзе B- матрыца(2)

a+b=BX+BY=B(X+Y)

aa=a(BX)=B(aX), X+Y- каард. слупок a+b , aX- каард. слупок aa у базісе(1).

Вынiк 1:Каард. слупок лін.камб. вект.роуны лін.камб. каард. слупкоу гэтых вектароу з тымi самымi каэфицыентамi.

Вынiк 2:Сiстэма вектароу л.з. калі і толькі калі л.з.сіс-ма іх каард. слупкоу у некаторым базiсе.

ТэарэмаУ лін.праст.:

1) Адвольн.сіс-ма , у якой больш за n вектараў – лін.незалежна.

2) адвол.лінейна-незал.сістэма, у якой менш за n вектараў, можа быць дапоўнена да базісу

3) адвольн.лінейна-незал.сіс-ма з n вектараў з’яўляецца базісам

Доказ:

1)Вынік 1 з т-мы Штэйніца

2)Няхай (1)–некаторы базіс праст. V.

b1 ,b2 …, bn –лін. нез. сіс-ма вектараў з V. Гэтая сіс-ма лін. выражаецца праз (1) і паводле т-мы Штэйніца яна эквівалентн.(1) і зн. з’яул. Базісам.

3)c1 , c2 …, cm , m<n – лін. нез. Паводле т-мы Штэйніца яе можна дапоуніць да сіс-мы

c1 , c2 …, cm ,ai1 , ai2 , ... ain-m (2) ~(1), зн. V лін. выражаецца праз(2). (2)- лін.нез. бо у адваротным выпадку некаторы вектар гэтай сіс-мы лін. выражауся б праз астатнія. І выдаліушы гэты вектар мы б атрымалі сіс-му з m-1 вектарау ~(2), праз якую выраж. базіс(1) . Супярэчнасць т-ме Штэйніца.

 

6.Ранг матрыцы.Тэарэма пра ранг матрыц. Вынікі з т-мы пра ранг м-цы

Няхай А=(aij)ÎPmxn.Слупкі м-цы А будзем разглядаць як элементы прасторы Pm.

Азн.Рангам м-цы наз. ранг сіс-мы яе слупкоу( максімальная колькасць лін.нез. слупкоу).

Азн.Няхай А=(aij)ÎPmxn і няхай у А выдзелены радкі з нумарамі і1 , і2 ,…, іk і слупкі з нумарамі

j1 , j2 ,…, jk (k≤m,n). У выніку атрымаецца м-ца парадку kскладзеная з элементау якія стаяцьнаперасячэнні вылучаных радкоу і слупкоу. Det гэтай м-цы наз. мінорам к-тага парадку або ступені м-цы А.

Азн.Мінор М парадку r м-цы А наз. базісным мінорам калі

1) М≠0

2) усе міноры большых парадкау(калі яны ёсць) роуныя 0.

Лема:Калі слупкі(радкі),квадратнай м-цы лін.зал.,тады яе det=0.

Доказ: АÎPnxn , n=1 – сцвердж. відавочна.Пры n>1 паводле сцвердж. пра рангі эквів. мн-вау некаторы слупок(радок) м-цы А лін. выражаецца праз астатнія. Адсюль detА=0 .

Тэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0mxn- сцв. відавочна. Таму будзем лічыць што А≠0mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v1, v2 ,…, vn. Пакажам што першыя r слупкоу v1, v2 ,…, vr –лін.нез.(2). А астатнія vr+1, vr+2 ,…, vn лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v1, v2 ,…, vn ) → r=dim L(v1, v2 ,…, vn. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(aij) a11 a12 …a1r a1s =B, i=1,m , s=r+1,n , detB=0, " i,s.

a21 a22 …a2r a2s

…………………………

ar1 ar2 …… arr ars

ai1 ai2……..air ais

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі ,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А1 , А2 ,…, Аrr+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=ai1 А1 +ai2 А2+…+air Аr +ais М =0, M≠0. ais= - А1ai1 М-1 - ai2 А2 М-1 -…-air Аr М-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v1, v2 ,…, vk -(3)адвольная сіс-ма вектарау з V . Аі = aі=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (aji )= (А1 , А2 ,…, Аk ) ÎPnxk .

a

anі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3) (3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4) v і1, vі2 ,…, vіr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i1 ,…, ir змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

 

 

7.Тэарэма пра ранг матрыцы. Вынікі з тэарэмы пра ранг м-цы.Ранг здабытку матрыцаўТэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0mxn- сцв. відавочна.

Таму будзем лічыць што А≠0mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v1, v2 ,…, vn. Пакажам што першыя r слупкоу v1, v2 ,…, vr –лін.нез.(2). А астатнія vr+1, vr+2 ,…, vn лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v1, v2 ,…, vn ) → r=dim L(v1, v2 ,…, vn. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(aij) a11 a12 …a1r a1s =B, i=1,m , s=r+1,n , detB=0, " i,s.

a21 a22 …a2r a2s

…………………………

ar1 ar2 …… arr ars

ai1 ai2……..air ais

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі ,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А1 , А2 ,…, Аrr+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=ai1 А1 +ai2 А2+…+air Аr +ais М =0, M≠0. ais= - А1ai1 М-1 - ai2 А2 М-1 -…-air Аr М-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v1, v2 ,…, vk -(3)адвольная сіс-ма вектарау з V . Аі = aі=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (aji )= (А1 , А2 ,…, Аk ) ÎPnxk .

 

 

a

anі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3)(3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4)v і1, vі2 ,…, vіr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i1 ,…, ir змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

Сцвердж.Ранг здабытку 2 м-цаў не вышэйшы за ранг кожн. сумножніку. Калі адна з м-цаў квадратная незвыродная,тады ранг м-цы роўны рангу другога сумножніка.

Доказ: Калі U,W ÌV і U лін. выражаецца праз W, тады ранг U меншы ці роуны за ранг W(rankU £ rankW ). Сапрауды U лін. выраж. праз W і L(U) Ì L(W) → dim L(U) £ L(U) £ dim L(W)=rankW .

З азн. Здабытку матрыц вынікае што радкі м-цы АВ лін. выраж. праз радкі В а слупкі лін. выраж. праз слупкі А → rankAB £rankВ, rankAB £rankA. Калі │А│≠0 тады $А-1 В= А-1 (АВ) → rankB £ rankAB → rankB=rankAB. Калі │В│≠0 аналаг. rankAB= rankA.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.173.57.202 (0.012 с.)