ТОП 10:

Азначэнне лінейнай прасторы. Уласцівасці лінейнай прасторы.



Азначэнне лінейнай прасторы. Уласцівасці лінейнай прасторы.

Азн1:Няхай V,P ≠Ø.Будзем казаць,што вызначана множанне элементау з V на элементы з P з значэннямі у V, калі кожнай упарадкаванай пары (α,a) αє P, aєV пастаулены у адпаведнасць адзіны элемент з V, αaєV.

Азн2:Няхай V≠Ø, P-поле. V наз. лінейнай або вектарнай пр-рай над полем P, калі на V вызначаны аперацыі складання і множання элементау з V на элементы з P з значэннем у V, і калі выконваюцца наступныя аксіёмы:

1) у дачыненні да складання V- абелева група

2) "a,b є V, "α ,βє P, α(a+b)= αa+ αb, (α+ β)a= αa+ βa

3) "a є V, "α,β є P, (αβ)a=α(βa)

4) "a є V, 1*a=a, дзе 1- адзінка поля P.

V-абелева група у дачыненні да складання: на V вызн. аперацыя складання і выконваюцца наступн. аксіёмы:

1)"a,b,c є V (a+b)+c=a+(b+c)

2) $ŌєV "aєV Ō+a=a

3) "aєV $a1єV a1 +a=0

4) "a,bєV a+b=b+a

Элементы з V будзем называць вектарамі і абазначаць a,b,c….x,y,z, а элементы з P-скалярамі і абазначаць α,β…., Ō -нуль з V,0-нуль з P.

Прыклады1)V3-лінейная прастора над R

3)P[x]- лінейная прастора над R

Уласцівасці

1.У лін. прасторы V над полем P

а)існуе адзіны Ō

б) "aєV $! процілеглы a1єV

в) "a,bєV раунанне х+а=b мае адзіны развязак у V: х= b+(-а)= b-а – розніца(рознасць) b і а.

Доказ:

а)Дапусцім што існуе два нулявых вектара у V,маем

Ō + Ō’= Ō’(Ō-нульV), Ō + Ō’= Ō(Ō’-нульV),значыць Ō = Ō’.

б) Дапусцім aєV,а12-прцілеглыя да а

(a1+a)+ a2= Ō + a2= a2

a1+(a+ a2)= Ō +a1=a1,маем a1=a2

Процілеглы элемент да а – (-а)

в)х+а=b(*).Дапусцім c-развязак нашага раунання(*) c=b+(-a),(b+(-a))+a=b+(-a)+a=b+Ō=b.

Няхай с1 –развязак(*).с1 +а=b,(с1+а)+(-а)= b+(-а), с1 +(а+(-а))=с1+ Ō= с1

2. "a,b єV, "α ,β єP, α(a-b)= αa-αb і (α-β)a= αa-βa

Доказ: (α-β)a+ βа=(( α-β)+β)а= αa,маем (α-β)а= αa-βа

3.Калі αa=Ō,↔ α=0 або a=Ō

Доказ:0= α- α , (α- α)a= αa- αa=Ō,

α *Ō= α(a-a)= αa- αa=Ō. Няхай αa= Ō. Дапусцім α≠0. Тады $ α-1єР α-1(αa)= α-1* Ō= Ō

-1 α)а=1*а=а

4. "a є V, "α є P,(- α) a= α(-a)= -αa

Доказ: (- α) a+ αa=(- α+ α) a=0* a=Ō

(- α) a= -αa

Азн.1: Æ≠UÌ V над Р наз.падпрасторай л.п. V,калi U-л.пр. у дачыненнi да

аперацыяу, вызначаных у V

Тэаэрэма 1: Æ≠UÌV- л.пр. над Р зяуляецца падпрасторай л.пр. V калі і калі :

1) "a,b є U а+b єU

2) "a єU "α єP αa єU

Доказ. (Неабх.)Няхай U-падпраст.V Паводле азн. U з’яул. пр-рай і зн. на U вызн. апер.+ i *на элементы з P , і зн. выконв. умовы 1,2.

(Даст): няхай Æ≠U, якое задав. (1,2), зн. на U вызн. апер. + i * на элементы з P.

Праверым што выконв. астатн. Аксіёмы: Æ≠U $a0 єU. Тады паводле умовы 2) 0*а= Ō єU ;

"a єU паводле 2) (-1)а єU

Аналаг. усе аст. аксiёма, таму што U падмн. V.

Вынiк. U≠Æ зяул падпрасторай л.п. V калi і толькі калі

1)"a,b є U "α, βєP αa+ βb є U

Доказ: (Неабх.) Няхай U лін. Падпр-раV

"a,b є U "α, βєP , αa, βb є U

αa+ βb є U ( 2) з тэарэмы)

(Даст.) Æ≠UÌ V, U задавальняе умове выніку "a,b є U "α, βєP αa+ βb є U, α=β=1→1) , β=0→2).

Прыклады:

1. V Ìl V, (Ō) Ìl V

Азн.:НяхайÆ≠M Ì V-л.пр. над Р

1a1 + α2a2+…+ αкaк│ aіє M , αієP, і=1,к , кєΝ}=L(M) наз лiн абалонкай мн-ва М.

 

Базіс лінейнай прасторы. Памернасць.Каардынаты вектарау

Азн.1Сістэма вектароў В-лін.праст. V над Р,наз.базісамлін.прасторы V,калі В –лін.незалежн.і V лін.выражаецца праз В.

Азн.2Лін. прастора , у якой існуе канцоўны базіс назыв.канцамернай(пр-ра якая складаецца толькі з Ō таксама наз. канцамернай),у адвар.выпадку – бесканцамернай.

Тэар.1Калі лін.праст.мае канцамерны базіс з n-вектараў,тады кожны базіс гэтай прасторы і мае n-вектараў.

Доказ:Няхайа12, …, аn (1)–базіс лін. пр-ры V над Р. З т-мы Штэйніца вынікае што адвольн. лін. сіс-ма з V мае менш ці роуна за n вектараў. Таму кожны базіс V канцоуны. З таго што адвольн. 2 базісы эквівалентныя паводле выніку 2 т-мы Штэйніца атрымаем што яны маюць адвольн. колькасць вектарау.

Азн.3 Калі лін. прастора, у якой існуе канцоуны базіс з n вектараў ,наз. n-мернай, а n наз. памернасцю гэтай пр-ры.Пр-ра якая складаецца толькі з Ō наз. Ō-мернай. Памернасць абазначаюць n=dim V.

Прыклады:

1) V3, некампланарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V3=3;

2) V3, некалінеарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V2=2;

3) V1, свабодных вектараў, паралельных фіксаванай прамой, з’яўляецца базісам. dim V1=1;
4) Р[x], x,x2,…,xn-з’яўл. Базісам.

Каардынаты вектару.

Няхай V-n-мерная л.п. над P; v1,v2,…vn-базiс V (1) ." аÎV a=a1v1+a2v2+…+anvn; aіÎP,i= (каэф. a1,a2,…, an-каардынаты а у базiсе (1)).

Сцвердж.: каардынаты вектара у фiксаваным базiсе вызначаны адназначна.

Доказ: a=a1v1+a2v2+…+anvn =b1v1+b2v2+…+bnvn , aі ,biÎP,i=

(a1-b1) v1+(a2-b2) v1+…+(an-bn)vn = Ō=>л.н.=> aі-bі =0 ,i= ,aі=bі .

a1

… -каардынатны слупокау базісе(1)

an

Заувага Усе уласцівасці аперацый з м-цамі над Rзастаюцца сапрауднымі і для матрыц над адвольным полем Р. Калі разгледзець матрыцы элементы якіх належаць лін. пр-ры V і складанна і множанне на элнменты асн. Поля такіх матрыцау вызначыць аналагічна таму як яны вызначаны для матрыцау надR. Усе уласцівасці аперацый застаюцца праудзівымі.

 

Увядзем матрыцу-радок B=(v1v2…vn) – (2).Тады відавочна што вектар аз каард. (a1,a2,…, an ) у базісе(1) можна запісаць у выглядзе матрычнай роунасці

a=a1v1+a2v2+…+anvn= (v1v2…vn) a1 = BХ

an

 

Тэарэма2.Няхай a і b- вектары лін. пр. V над P, X, Y- кард. слупкі a, b у базісе(1). Тады каард. Слупок вектару a+b у базісе(1) роуны X+Y, каард. слупок aa, aÎP у базісе(1) роуны aX.

Доказ: a=BX, b=BY, дзе B- матрыца(2)

a+b=BX+BY=B(X+Y)

aa=a(BX)=B(aX), X+Y- каард. слупок a+b , aX- каард. слупок aa у базісе(1).

Вынiк 1:Каард. слупок лін.камб. вект.роуны лін.камб. каард. слупкоу гэтых вектароу з тымi самымi каэфицыентамi.

Вынiк 2:Сiстэма вектароу л.з. калі і толькі калі л.з.сіс-ма іх каард. слупкоу у некаторым базiсе.

ТэарэмаУ лін.праст.:

1) Адвольн.сіс-ма , у якой больш за n вектараў – лін.незалежна.

2) адвол.лінейна-незал.сістэма, у якой менш за n вектараў, можа быць дапоўнена да базісу

3) адвольн.лінейна-незал.сіс-ма з n вектараў з’яўляецца базісам

Доказ:

1)Вынік 1 з т-мы Штэйніца

2)Няхай (1)–некаторы базіс праст. V.

b1 ,b2 …, bn –лін. нез. сіс-ма вектараў з V. Гэтая сіс-ма лін. выражаецца праз (1) і паводле т-мы Штэйніца яна эквівалентн.(1) і зн. з’яул. Базісам.

3)c1 , c2 …, cm , m<n – лін. нез. Паводле т-мы Штэйніца яе можна дапоуніць да сіс-мы

c1 , c2 …, cm ,ai1 , ai2 , ... ain-m (2) ~(1), зн. V лін. выражаецца праз(2). (2)- лін.нез. бо у адваротным выпадку некаторы вектар гэтай сіс-мы лін. выражауся б праз астатнія. І выдаліушы гэты вектар мы б атрымалі сіс-му з m-1 вектарау ~(2), праз якую выраж. базіс(1) . Супярэчнасць т-ме Штэйніца.

 

6.Ранг матрыцы.Тэарэма пра ранг матрыц. Вынікі з т-мы пра ранг м-цы

Няхай А=(aij)ÎPmxn.Слупкі м-цы А будзем разглядаць як элементы прасторы Pm.

Азн.Рангам м-цы наз. ранг сіс-мы яе слупкоу( максімальная колькасць лін.нез. слупкоу).

Азн.Няхай А=(aij)ÎPmxn і няхай у А выдзелены радкі з нумарамі і1 , і2 ,…, іk і слупкі з нумарамі

j1 , j2 ,…, jk (k≤m,n). У выніку атрымаецца м-ца парадку kскладзеная з элементау якія стаяцьнаперасячэнні вылучаных радкоу і слупкоу. Det гэтай м-цы наз. мінорам к-тага парадку або ступені м-цы А.

Азн.Мінор М парадку r м-цы А наз. базісным мінорам калі

1) М≠0

2) усе міноры большых парадкау(калі яны ёсць) роуныя 0.

Лема:Калі слупкі(радкі),квадратнай м-цы лін.зал.,тады яе det=0.

Доказ: АÎPnxn , n=1 – сцвердж. відавочна.Пры n>1 паводле сцвердж. пра рангі эквів. мн-вау некаторы слупок(радок) м-цы А лін. выражаецца праз астатнія. Адсюль detА=0 .

Тэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0mxn- сцв. відавочна. Таму будзем лічыць што А≠0mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v1, v2 ,…, vn. Пакажам што першыя r слупкоу v1, v2 ,…, vr –лін.нез.(2). А астатнія vr+1, vr+2 ,…, vn лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v1, v2 ,…, vn ) → r=dim L(v1, v2 ,…, vn. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(aij) a11 a12 …a1r a1s =B, i=1,m , s=r+1,n , detB=0, " i,s.

a21 a22 …a2r a2s

…………………………

ar1 ar2 …… arr ars

ai1 ai2……..air ais

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі ,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А1 , А2 ,…, Аrr+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=ai1 А1 +ai2 А2+…+air Аr +ais М =0, M≠0. ais= - А1ai1 М-1 - ai2 А2 М-1 -…-air Аr М-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v1, v2 ,…, vk -(3)адвольная сіс-ма вектарау з V . Аі = aі=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (aji )= (А1 , А2 ,…, Аk ) ÎPnxk .

a

anі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3) (3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4) v і1, vі2 ,…, vіr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i1 ,…, ir змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

 

 

7.Тэарэма пра ранг матрыцы. Вынікі з тэарэмы пра ранг м-цы.Ранг здабытку матрыцаўТэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0mxn- сцв. відавочна.

Таму будзем лічыць што А≠0mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v1, v2 ,…, vn. Пакажам што першыя r слупкоу v1, v2 ,…, vr –лін.нез.(2). А астатнія vr+1, vr+2 ,…, vn лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v1, v2 ,…, vn ) → r=dim L(v1, v2 ,…, vn. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(aij) a11 a12 …a1r a1s =B, i=1,m , s=r+1,n , detB=0, " i,s.

a21 a22 …a2r a2s

…………………………

ar1 ar2 …… arr ars

ai1 ai2……..air ais

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі ,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А1 , А2 ,…, Аrr+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=ai1 А1 +ai2 А2+…+air Аr +ais М =0, M≠0. ais= - А1ai1 М-1 - ai2 А2 М-1 -…-air Аr М-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v1, v2 ,…, vk -(3)адвольная сіс-ма вектарау з V . Аі = aі=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (aji )= (А1 , А2 ,…, Аk ) ÎPnxk .

 

 

a

anі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3)(3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4)v і1, vі2 ,…, vіr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i1 ,…, ir змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

Сцвердж.Ранг здабытку 2 м-цаў не вышэйшы за ранг кожн. сумножніку. Калі адна з м-цаў квадратная незвыродная,тады ранг м-цы роўны рангу другога сумножніка.

Доказ: Калі U,W ÌV і U лін. выражаецца праз W, тады ранг U меншы ці роуны за ранг W(rankU £ rankW ). Сапрауды U лін. выраж. праз W і L(U) Ì L(W) → dim L(U) £ L(U) £ dim L(W)=rankW .

З азн. Здабытку матрыц вынікае што радкі м-цы АВ лін. выраж. праз радкі В а слупкі лін. выраж. праз слупкі А → rankAB £rankВ, rankAB £rankA. Калі │А│≠0 тады $А-1 В= А-1 (АВ) → rankB £ rankAB → rankB=rankAB. Калі │В│≠0 аналаг. rankAB= rankA.

 

Билинейные формы.

Опр. Многочлен F(х12,..,хп12,…,уп) (1) от двух систем переменных х12,..,хп (2) и у2,…,уп (3) наз. билинейной формой порядка n, если каждое его слагаемое имеет первую степень относительно перемеенных (2) и (3) в отдельности.

Опр. М-ца А= а11 а12 … а1п наз. м-цей билинейной формы (4), а ранг этой м-цы –

а21 а22 … а2п рангом формы (4).

ап1 ап2 … апп

 

F(х,у)=∑ni,j=1 аij хi уj , аij?Р (4)- имеет билинейная форма F(х,у) над полем Р.

Теорема. Билинейные формы порядка n с м-цами А и В эквивалентны, если и только если над основным полем существует такая невырожденая м-ца С порядка n, что В=СтАС.

Опр.Билинейная форма наз. Симметрической, если её м-ца А – симметрическая, т. Е. Ат=А.

Утвержд. Если билинейная форма F явл. Симметрической, то и всякая эквмвалентная ей билинейная форма также симметрическая.

Док-во: Пусть А- м-ца билинейной формы F. Тогда Ат=А. М-ца любой эквивалентной билинейной формы G имеет вид СтАС. Далее, (СтАС) т= СтАт т)ттАС. Сл-но, форма G явл. симметрической.

Артаганальныя вектары

Азн.:Вектары a i b Эуклідавай(унітарн.) пр-ры наз. артаганальнымі, калі іх скалярны здабытак роуны 0.

a^b=>ab=0

Тэарэма Піфагора:Калі вектары а12,…,ак эукл.(уніт.) пр-ры парамі артаганальныя, тады даужыня вектару | а1+ а2+..+ ак|2 = |a1|2+|a2|2+…+|aк|2.

Доказ: | а1+ а2+..+ ак|2 = (а1+ а2+..+ ак)( а1+ а2+..+ ак)= ∑ni,j=1 аi aj = ∑ni=1 аi aі = ∑ni=1i|2

Азн.: Артаганальнай сіс-май вектарау наз. сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры, розныя вектары якой артаганальны.

Тэарэма:Артаганальнае мн-ва вектарау, якое не мае нулявога вектара лін. незал.

Тэарэма:Няхай а12,…,ак (1)- канцоуная сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры. Тады існуе артаганальная сіс-ма b1,…,bк (2) такая, што 1≤е≤к, а12,…,аe ~ b1,…,bе .

Вынік:Сіс-ма вектарау (1) лін.незал. калі і т. к. сістэма (2) атрыманая з яе працэсам артаганалізацыі не мае Ō.

Азн.:Артаганальная сіс-ма вектарау наз. ортаунармаванай калі даужыня яе вектарау =1.

Вынік: Адвольная ненулявая эукл.(уніт.) пр-ра мае ортаунармаваны базіс. Адвольн. ортаунармаваная сіс-ма можа быць дапоунена да базісу.

Заувага: Калі сіс-ма а12,…,ас , аi ≠Ō, с≤к – артаганальная, тады у сіс-ме (2) вектары ai=bi, і=1,с.

 

Азначэнне лінейнай прасторы. Уласцівасці лінейнай прасторы.

Азн1:Няхай V,P ≠Ø.Будзем казаць,што вызначана множанне элементау з V на элементы з P з значэннямі у V, калі кожнай упарадкаванай пары (α,a) αє P, aєV пастаулены у адпаведнасць адзіны элемент з V, αaєV.

Азн2:Няхай V≠Ø, P-поле. V наз. лінейнай або вектарнай пр-рай над полем P, калі на V вызначаны аперацыі складання і множання элементау з V на элементы з P з значэннем у V, і калі выконваюцца наступныя аксіёмы:

1) у дачыненні да складання V- абелева група

2) "a,b є V, "α ,βє P, α(a+b)= αa+ αb, (α+ β)a= αa+ βa

3) "a є V, "α,β є P, (αβ)a=α(βa)

4) "a є V, 1*a=a, дзе 1- адзінка поля P.

V-абелева група у дачыненні да складання: на V вызн. аперацыя складання і выконваюцца наступн. аксіёмы:

1)"a,b,c є V (a+b)+c=a+(b+c)

2) $ŌєV "aєV Ō+a=a

3) "aєV $a1єV a1 +a=0

4) "a,bєV a+b=b+a

Элементы з V будзем называць вектарамі і абазначаць a,b,c….x,y,z, а элементы з P-скалярамі і абазначаць α,β…., Ō -нуль з V,0-нуль з P.

Прыклады1)V3-лінейная прастора над R

3)P[x]- лінейная прастора над R

Уласцівасці

1.У лін. прасторы V над полем P

а)існуе адзіны Ō

б) "aєV $! процілеглы a1єV

в) "a,bєV раунанне х+а=b мае адзіны развязак у V: х= b+(-а)= b-а – розніца(рознасць) b і а.

Доказ:

а)Дапусцім што існуе два нулявых вектара у V,маем

Ō + Ō’= Ō’(Ō-нульV), Ō + Ō’= Ō(Ō’-нульV),значыць Ō = Ō’.

б) Дапусцім aєV,а12-прцілеглыя да а

(a1+a)+ a2= Ō + a2= a2

a1+(a+ a2)= Ō +a1=a1,маем a1=a2

Процілеглы элемент да а – (-а)

в)х+а=b(*).Дапусцім c-развязак нашага раунання(*) c=b+(-a),(b+(-a))+a=b+(-a)+a=b+Ō=b.

Няхай с1 –развязак(*).с1 +а=b,(с1+а)+(-а)= b+(-а), с1 +(а+(-а))=с1+ Ō= с1

2. "a,b єV, "α ,β єP, α(a-b)= αa-αb і (α-β)a= αa-βa

Доказ: (α-β)a+ βа=(( α-β)+β)а= αa,маем (α-β)а= αa-βа

3.Калі αa=Ō,↔ α=0 або a=Ō

Доказ:0= α- α , (α- α)a= αa- αa=Ō,

α *Ō= α(a-a)= αa- αa=Ō. Няхай αa= Ō. Дапусцім α≠0. Тады $ α-1єР α-1(αa)= α-1* Ō= Ō

-1 α)а=1*а=а

4. "a є V, "α є P,(- α) a= α(-a)= -αa

Доказ: (- α) a+ αa=(- α+ α) a=0* a=Ō

(- α) a= -αa

Азн.1: Æ≠UÌ V над Р наз.падпрасторай л.п. V,калi U-л.пр. у дачыненнi да

аперацыяу, вызначаных у V

Тэаэрэма 1: Æ≠UÌV- л.пр. над Р зяуляецца падпрасторай л.пр. V калі і калі :

1) "a,b є U а+b єU

2) "a єU "α єP αa єU

Доказ. (Неабх.)Няхай U-падпраст.V Паводле азн. U з’яул. пр-рай і зн. на U вызн. апер.+ i *на элементы з P , і зн. выконв. умовы 1,2.

(Даст): няхай Æ≠U, якое задав. (1,2), зн. на U вызн. апер. + i * на элементы з P.

Праверым што выконв. астатн. Аксіёмы: Æ≠U $a0 єU. Тады паводле умовы 2) 0*а= Ō єU ;

"a єU паводле 2) (-1)а єU

Аналаг. усе аст. аксiёма, таму што U падмн. V.

Вынiк. U≠Æ зяул падпрасторай л.п. V калi і толькі калі

1)"a,b є U "α, βєP αa+ βb є U

Доказ: (Неабх.) Няхай U лін. Падпр-раV

"a,b є U "α, βєP , αa, βb є U

αa+ βb є U ( 2) з тэарэмы)

(Даст.) Æ≠UÌ V, U задавальняе умове выніку "a,b є U "α, βєP αa+ βb є U, α=β=1→1) , β=0→2).

Прыклады:

1. V Ìl V, (Ō) Ìl V

Азн.:НяхайÆ≠M Ì V-л.пр. над Р

1a1 + α2a2+…+ αкaк│ aіє M , αієP, і=1,к , кєΝ}=L(M) наз лiн абалонкай мн-ва М.

 







Последнее изменение этой страницы: 2016-08-06; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.173.47.43 (0.035 с.)