Азначэнне лінейнай прасторы. Уласцівасці лінейнай прасторы.

Азначэнне лінейнай прасторы. Уласцівасці лінейнай прасторы.

Азн1:Няхай V,P ≠Ø.Будзем казаць,што вызначана множанне элементау з V на элементы з P з значэннямі у V, калі кожнай упарадкаванай пары (α,a) αє P, aєV пастаулены у адпаведнасць адзіны элемент з V, αaєV.

Азн2:Няхай V≠Ø, P-поле. V наз. лінейнай або вектарнай пр-рай над полем P, калі на V вызначаны аперацыі складання і множання элементау з V на элементы з P з значэннем у V, і калі выконваюцца наступныя аксіёмы:

1) у дачыненні да складання V- абелева група

2) "a,b є V, "α,βє P, α(a+b)= αa+ αb, (α+ β)a= αa+ βa

3) "a є V, "α,β є P, (αβ)a=α(βa)

4) "a є V, 1*a=a, дзе 1- адзінка поля P.

V-абелева група у дачыненні да складання: на V вызн. аперацыя складання і выконваюцца наступн. аксіёмы:

1)"a,b,c є V (a+b)+c=a+(b+c)

2) $ŌєV "aєV Ō+a=a

3) "aєV $a₁єV a₁ +a=0

4) "a,bєV a+b=b+a

Элементы з V будзем называць вектарамі і абазначаць a,b,c….x,y,z, а элементы з P-скалярамі і абазначаць α,β…., Ō -нуль з V,0-нуль з P.

Прыклады1) V₃-лінейная прастора над R

3) P[x]- лінейная прастора над R

Уласцівасці

1. У лін. прасторы V над полем P

а)існуе адзіны Ō

б) "aєV $! процілеглы a₁єV

в) "a,bєV раунанне х+а=b мае адзіны развязак у V: х= b+(-а)= b-а – розніца(рознасць) b і а.

Доказ:

а) Дапусцім што існуе два нулявых вектара у V,маем

Ō + Ō’= Ō’(Ō-нульV), Ō + Ō’= Ō(Ō’-нульV),значыць Ō = Ō’.

б) Дапусцім aєV,а₁,а₂-прцілеглыя да а

(a₁+a)+ a₂= Ō + a₂= a₂

a₁+(a+ a₂)= Ō +a₁=a₁,маем a₁=a₂

Процілеглы элемент да а – (-а)

в) х+а = b(*).Дапусцім c-развязак нашага раунання(*) c=b+(-a),(b+(-a))+a=b+(-a)+a=b+Ō=b.

Няхай с₁ –развязак(*).с₁ +а=b,(с₁+а)+(-а)= b+(-а), с₁ +(а+(-а))=с₁+ Ō= с₁

2. "a,b єV, "α,β єP, α(a-b)= αa-αb і (α-β)a= αa-βa

Доказ: (α-β)a+ βа=((α-β)+β)а= αa,маем (α-β)а= αa-βа

3. Калі αa=Ō,↔ α=0 або a=Ō

Доказ:0= α- α, (α- α)a= αa- αa=Ō,

α *Ō= α(a-a)= αa- αa=Ō. Няхай αa= Ō. Дапусцім α≠0. Тады $ α^-1єР α^-1(αa)= α^-1* Ō= Ō

(α^-1 α)а=1*а=а

4. "a є V, "α є P,(- α) a= α(-a)= -αa

Доказ: (- α) a+ αa=(- α+ α) a=0* a=Ō

(- α) a= -αa

Азн.1: Æ≠UÌ V над Р наз.падпрасторай л.п. V,калi U-л.пр. у дачыненнi да

аперацыяу, вызначаных у V

Тэаэрэма 1: Æ≠UÌV- л.пр. над Р зяуляецца падпрасторай л.пр. V калі і калі:

1) "a,b є U а+b єU

2) "a єU "α єP αa єU

Доказ. (Неабх.) Няхай U-падпраст.V Паводле азн. U з’яул. пр-рай і зн. на U вызн. апер.+ i *на элементы з P, і зн. выконв. умовы 1,2.

(Даст): няхай Æ≠U, якое задав. (1,2), зн. на U вызн. апер. + i * на элементы з P.

Праверым што выконв. астатн. Аксіёмы: Æ≠U $a₀ єU. Тады паводле умовы 2) 0*а= Ō єU;

"a єU паводле 2) (-1)а єU

Аналаг. усе аст. аксiёма, таму што U падмн. V.

Вынiк. U≠Æ зяул падпрасторай л.п. V калi і толькі калі

1)"a,b є U "α, βєP αa+ βb є U

Доказ: (Неабх.) Няхай U лін. Падпр-раV

"a,b є U "α, βєP, αa, βb є U

αa+ βb є U (2) з тэарэмы)

(Даст.) Æ≠UÌ V, U задавальняе умове выніку "a,b є U "α, βєP αa+ βb є U, α=β=1→1), β=0→2).

Прыклады:

1. V Ì_l V, (Ō) Ì_l V

Азн.:НяхайÆ≠M Ì V-л.пр. над Р

{α₁a₁ + α₂a₂+…+ α_кa_к│ a_іє M, α_ієP, і=1,к, кє Ν }=L(M) наз лiн абалонкай мн-ва М.

 

Базіс лінейнай прасторы. Памернасць.Каардынаты вектарау

Азн.1 Сістэма вектароў В-лін.праст. V над Р,наз. базісам лін.прасторы V,калі В –лін.незалежн.і V лін.выражаецца праз В.

Азн.2 Лін. прастора, у якой існуе канцоўны базіс назыв. канцамернай (пр-ра якая складаецца толькі з Ō таксама наз. канцамернай), у адвар.выпадку – бесканцамернай.

Тэар.1 Калі лін.праст.мае канцамерны базіс з n-вектараў,тады кожны базіс гэтай прасторы і мае n-вектараў.

Доказ: Няхайа₁,а_2, …, а_n (1) –базіс лін. пр-ры V над Р. З т-мы Штэйніца вынікае што адвольн. лін. сіс-ма з V мае менш ці роуна за n вектараў. Таму кожны базіс V канцоуны. З таго што адвольн. 2 базісы эквівалентныя паводле выніку 2 т-мы Штэйніца атрымаем што яны маюць адвольн. колькасць вектарау.

Азн.3 Калі лін. прастора, у якой існуе канцоуны базіс з n вектараў,наз. n-мернай, а n наз. памернасцю гэтай пр-ры.Пр-ра якая складаецца толькі з Ō наз. Ō-мернай. Памернасць абазначаюць n=dim V.

Прыклады:

1) V₃, некампланарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V₃=3;

2) V₃, некалінеарныя вектары з’яўляюцца базісам. dim V₂=2;

3) V₁, свабодных вектараў, паралельных фіксаванай прамой, з’яўляецца базісам. dim V₁=1;
4) Р[x], x,x²,…,xⁿ-з’яўл. Базісам.

Каардынаты вектару.

Няхай V-n-мерная л.п. над P; v₁,v₂,…v_n-базiс V (1)." аÎV a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n; a_іÎP,i= (каэф. a₁,a₂,…, a_n-каардынаты а у базiсе (1)).

Сцвердж.: каардынаты вектара у фiксаваным базiсе вызначаны адназначна.

Доказ: a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n =b₁v₁+b₂v₂+…+b_nv_n, a_і,b_iÎP,i=

(a₁-b₁) v₁+(a₂-b₂) v₁+…+(a_n-b_n)v_n = Ō=>л.н.=> a_і-b_і =0,i= ,a_і=b_і .

a₁

… -каардынатны слупок а у базісе (1)

a_n

Заувага Усе уласцівасці аперацый з м-цамі над R застаюцца сапрауднымі і для матрыц над адвольным полем Р. Калі разгледзець матрыцы элементы якіх належаць лін. пр-ры V і складанна і множанне на элнменты асн. Поля такіх матрыцау вызначыць аналагічна таму як яны вызначаны для матрыцау над R. Усе уласцівасці аперацый застаюцца праудзівымі.

 

Увядзем матрыцу-радок B=(v₁v₂…v_n) – (2). Тады відавочна што вектар а з каард. (a₁,a₂,…, a_n) у базісе(1) можна запісаць у выглядзе матрычнай роунасці

a=a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n= (v₁v₂…v_n) a₁ = BХ

…

a_n

 

Тэарэма2. Няхай a і b- вектары лін. пр. V над P, X, Y- кард. слупкі a, b у базісе(1). Тады каард. Слупок вектару a+b у базісе(1) роуны X+Y, каард. слупок aa, aÎP у базісе(1) роуны aX.

Доказ: a=BX, b=BY, дзе B- матрыца(2)

a+b=BX+BY=B(X+Y)

aa=a(BX)=B(aX), X+Y- каард. слупок a+b, aX- каард. слупок aa у базісе(1).

Вынiк 1:Каард. слупок лін.камб. вект.роуны лін.камб. каард. слупкоу гэтых вектароу з тымi самымi каэфицыентамi.

Вынiк 2:Сiстэма вектароу л.з. калі і толькі калі л.з.сіс-ма іх каард. слупкоу у некаторым базiсе.

Тэарэма У лін.праст.:

1) Адвольн.сіс-ма, у якой больш за n вектараў – лін.незалежна.

2) адвол.лінейна-незал.сістэма, у якой менш за n вектараў, можа быць дапоўнена да базісу

3) адвольн.лінейна-незал.сіс-ма з n вектараў з’яўляецца базісам

Доказ:

1)Вынік 1 з т-мы Штэйніца

2)Няхай (1)–некаторы базіс праст. V.

b₁,b₂ …, b_n –лін. нез. сіс-ма вектараў з V. Гэтая сіс-ма лін. выражаецца праз (1) і паводле т-мы Штэйніца яна эквівалентн.(1) і зн. з’яул. Базісам.

3)c₁ , c₂ …, c_m, m<n – лін. нез. Паводле т-мы Штэйніца яе можна дапоуніць да сіс-мы

c₁ , c₂ …, c_m ,a_i1, a_i2, ... a_in-m (2) ~(1), зн. V лін. выражаецца праз(2). (2)- лін.нез. бо у адваротным выпадку некаторы вектар гэтай сіс-мы лін. выражауся б праз астатнія. І выдаліушы гэты вектар мы б атрымалі сіс-му з m-1 вектарау ~(2), праз якую выраж. базіс(1). Супярэчнасць т-ме Штэйніца.

 

6.Ранг матрыцы.Тэарэма пра ранг матрыц. Вынікі з т-мы пра ранг м-цы

Няхай А=(a_ij)ÎP_mxn.Слупкі м-цы А будзем разглядаць як элементы прасторы P^m.

Азн. Рангам м-цы наз. ранг сіс-мы яе слупкоу(максімальная колькасць лін.нез. слупкоу).

Азн. Няхай А=(a_ij)ÎP_mxn і няхай у А выдзелены радкі з нумарамі і₁ , і₂ ,…, і_k і слупкі з нумарамі

j₁, j₂ ,…, j_k (k≤m,n). У выніку атрымаецца м-ца парадку k складзеная з элементау якія стаяць на перасячэнні вылучаных радкоу і слупкоу. Det гэтай м-цы наз. мінорам к-тага парадку або ступені м-цы А.

Азн. Мінор М парадку r м-цы А наз. базісным мінорам калі

1) М≠0

2) усе міноры большых парадкау(калі яны ёсць) роуныя 0.

Лема:Калі слупкі(радкі),квадратнай м-цы лін.зал.,тады яе det=0.

Доказ: АÎP_nxn, n=1 – сцвердж. відавочна.Пры n>1 паводле сцвердж. пра рангі эквів. мн-вау некаторы слупок(радок) м-цы А лін. выражаецца праз астатнія. Адсюль detА=0.

Тэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0_mxn- сцв. відавочна. Таму будзем лічыць што А≠0_mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v₁, v₂ ,…, v_n. Пакажам што першыя r слупкоу v₁, v₂ ,…, v_r –лін.нез.(2)_. А астатнія v_r+1, v_r+2 ,…, v_n лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v₁, v₂ ,…, v_n) → r=dim L(v₁, v₂ ,…, v_n. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(a_ij) a₁₁ a₁₂ …a_1r a_1s =B, i=1,m, s=r+1,n, detB=0, " i,s.

a₂₁ a₂₂ …a_2r a_2s

_{…………………………}

a_r1 a_{r2 ……} a_rr a_rs

a_i1 a_i2……..a_ir a_is

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А₁ , А₂ ,…, А_r,А_r+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=a_i1 А₁ +a_i2 А₂+…+a_ir А_r +a_is М =0, M≠0. a_is= - А₁a_i1 М^-1 - a_i2 А₂ М^-1 -…-a_ir А_r М^-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v₁, v₂ ,…, v_k - (3) адвольная сіс-ма вектарау з V. А_і = a_1і і=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (a_ji)= (А₁ , А₂ ,…, А_k) ÎP_nxk.

a_2і

…

a_nі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3) (3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4) v _і1, v_і2 ,…, v_іr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i₁ ,…, i_r змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

 

 

7.Тэарэма пра ранг матрыцы. Вынікі з тэарэмы пра ранг м-цы.Ранг здабытку матрыцаўТэарэма (пра ранг матрыцы).Ранг м-цы роуны парадку яе базіснага мінору.

Доказ: А = 0_mxn- сцв. відавочна.

Таму будзем лічыць што А≠0_mxn.. М- базісны мінор м-цы А парадку r (r>0). Будзем лічыць што m размешчаны у левым верхнім вугле г. зн. у радках з нумарамі 1,2,…,r. Абазначым слупкі м-цы А праз v₁, v₂ ,…, v_n. Пакажам што першыя r слупкоу v₁, v₂ ,…, v_r –лін.нез.(2)_. А астатнія v_r+1, v_r+2 ,…, v_n лін. выраж. праз слупкі (2). Адсюль будзе вынікаць што (2) ёсць базіс лінейнай абалонкі(v₁, v₂ ,…, v_n) → r=dim L(v₁, v₂ ,…, v_n. )=rank A. Паводле лемы слупкі М лін.нез. Адсюль вынікае што (2)- лін.нез. Няхай А=(a_ij) a₁₁ a₁₂ …a_1r a_1s =B, i=1,m, s=r+1,n, detB=0, " i,s.

a₂₁ a₂₂ …a_2r a_2s

_{…………………………}

a_r1 a_{r2 ……} a_rr a_rs

a_i1 a_i2……..a_ir a_is

(калі i≤r –у В ёсць аднолькавыя радкі,калі i>r – detB –мінор парадку r+1 м-цы А). Зауважым што алгебраічныя дапауненні А₁ , А₂ ,…, А_r,А_r+1 =М элементау кожнага радка м-цы В не залежыць ад і.

Раскладзем detB=a_i1 А₁ +a_i2 А₂+…+a_ir А_r +a_is М =0, M≠0. a_is= - А₁a_i1 М^-1 - a_i2 А₂ М^-1 -…-a_ir А_r М^-1, i=1,m.

Вынік1:Ранг м-цы не змяняецца пры яе транспанаванні,гэта зн. ранг м-цы роўны рангу с-мы яе радкоў.

Вынік2:detА=0 ↔ яе радкі(слупкі) лін. зал.

Вынік3:Няхай у n-мернай лін. пр-ры V зафіксаваны базіс, v₁, v₂ ,…, v_k - (3) адвольная сіс-ма вектарау з V. А_і = a_1і і=1,k каард. слупкоу (3) у гэтым базісе А= (a_ji)= (А₁ , А₂ ,…, А_k) ÎP_nxk.

 

 

a_2і

…

a_nі

Тады 1) rank(3)= rankА

2)(3)- лін.нез. ↔ rankА=k

3)(3)- базіс V↔ k= n, detA ¹0

4)v _і1, v_і2 ,…, v_іr – лін.нез. падсіс-ма сіс-мы(3) максім. даужыні ↔ слупкі м-цы А з нумарамі

i₁ ,…, i_r змяшчаюць базісны мінор м-цы А.

Сцвердж. Ранг здабытку 2 м-цаў не вышэйшы за ранг кожн. сумножніку. Калі адна з м-цаў квадратная незвыродная,тады ранг м-цы роўны рангу другога сумножніка.

Доказ: Калі U,W ÌV і U лін. выражаецца праз W, тады ранг U меншы ці роуны за ранг W(rankU £ rankW). Сапрауды U лін. выраж. праз W і L(U) Ì L(W) → dim L(U) £ L(U) £ dim L(W)=rankW.

З азн. Здабытку матрыц вынікае што радкі м-цы АВ лін. выраж. праз радкі В а слупкі лін. выраж. праз слупкі А → rankAB £rankВ, rankAB £rankA. Калі │А│≠0 тады $А^-1 В= А^-1 (АВ) → rankB £ rankAB → rankB=rankAB. Калі │В│≠0 аналаг. rankAB= rankA.

 

Билинейные формы.

Опр. Многочлен F(х₁,х₂,..,х_п;у₁,у₂,…,у_п) (1) от двух систем переменных х₁,х₂,..,х_п (2) и у₂,…,у_п (3) наз. билинейной формой порядка n, если каждое его слагаемое имеет первую степень относительно перемеенных (2) и (3) в отдельности.

Опр. М-ца А= а₁₁ а₁₂ … а_1п наз. м-цей билинейной формы (4), а ранг этой м-цы –

а₂₁ а₂₂ … а_2п рангом формы (4).

а_п1 а_п2 … а_пп

 

F(х,у)=∑ⁿ_i,j=1 а_ij х_i у_j, а_ij?Р (4)- имеет билинейная форма F(х,у) над полем Р.

Теорема. Билинейные формы порядка n с м-цами А и В эквивалентны, если и только если над основным полем существует такая невырожденая м-ца С порядка n, что В=С^тАС.

Опр. Билинейная форма наз. Симметрической, если её м-ца А – симметрическая, т. Е. А^т=А.

Утвержд. Если билинейная форма F явл. Симметрической, то и всякая эквмвалентная ей билинейная форма также симметрическая.

Док-во: Пусть А- м-ца билинейной формы F. Тогда А^т=А. М-ца любой эквивалентной билинейной формы G имеет вид С^тАС. Далее, (С^тАС) ^т= С^тА^т (С ^т)^т=С^тАС. Сл-но, форма G явл. симметрической.

Артаганальныя вектары

Азн.: Вектары a i b Эуклідавай(унітарн.) пр-ры наз. артаганальнымі, калі іх скалярны здабытак роуны 0.

a^b=>ab=0

Тэарэма Піфагора:Калі вектары а₁,а₂,…,а_к эукл.(уніт.) пр-ры парамі артаганальныя, тады даужыня вектару | а₁+ а₂+..+ а_к|² = |a₁|²+|a₂|²+…+|a_к|².

Доказ: | а₁+ а₂+..+ а_к|² = (а₁+ а₂+..+ а_к)(а₁+ а₂+..+ а_к)= ∑ⁿ_i,j=1 а_i a_j = ∑ⁿ_i=1 а_i a_і = ∑ⁿ_i=1|а_i|²

Азн.: Артаганальнай сіс-май вектарау наз. сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры, розныя вектары якой артаганальны.

Тэарэма: Артаганальнае мн-ва вектарау, якое не мае нулявога вектара лін. незал.

Тэарэма: Няхай а₁,а₂,…,а_к (1)- канцоуная сіс-ма вектарау эукл.(уніт.) пр-ры. Тады існуе артаганальная сіс-ма b₁,…,b_к (2) такая, што 1≤е≤к, а₁,а₂,…,а_e ~ b₁,…,b_е.

Вынік: Сіс-ма вектарау (1) лін.незал. калі і т. к. сістэма (2) атрыманая з яе працэсам артаганалізацыі не мае Ō.

Азн.:Артаганальная сіс-ма вектарау наз. ортаунармаванай калі даужыня яе вектарау =1.

Вынік: Адвольная ненулявая эукл.(уніт.) пр-ра мае ортаунармаваны базіс. Адвольн. ортаунармаваная сіс-ма можа быць дапоунена да базісу.

Заувага: Калі сіс-ма а₁,а₂,…,а_с, а_i ≠Ō, с≤к – артаганальная, тады у сіс-ме (2) вектары a_i=b_i, і=1,с.

 

Азначэнне лінейнай прасторы. Уласцівасці лінейнай прасторы.

Азн1:Няхай V,P ≠Ø.Будзем казаць,што вызначана множанне элементау з V на элементы з P з значэннямі у V, калі кожнай упарадкаванай пары (α,a) αє P, aєV пастаулены у адпаведнасць адзіны элемент з V, αaєV.

Азн2:Няхай V≠Ø, P-поле. V наз. лінейнай або вектарнай пр-рай над полем P, калі на V вызначаны аперацыі складання і множання элементау з V на элементы з P з значэннем у V, і калі выконваюцца наступныя аксіёмы:

1) у дачыненні да складання V- абелева група

2) "a,b є V, "α,βє P, α(a+b)= αa+ αb, (α+ β)a= αa+ βa

3) "a є V, "α,β є P, (αβ)a=α(βa)

4) "a є V, 1*a=a, дзе 1- адзінка поля P.

V-абелева група у дачыненні да складання: на V вызн. аперацыя складання і выконваюцца наступн. аксіёмы:

1)"a,b,c є V (a+b)+c=a+(b+c)

2) $ŌєV "aєV Ō+a=a

3) "aєV $a₁єV a₁ +a=0

4) "a,bєV a+b=b+a

Элементы з V будзем называць вектарамі і абазначаць a,b,c….x,y,z, а элементы з P-скалярамі і абазначаць α,β…., Ō -нуль з V,0-нуль з P.

Прыклады1) V₃-лінейная прастора над R

3) P[x]- лінейная прастора над R

Уласцівасці

1. У лін. прасторы V над полем P

а)існуе адзіны Ō

б) "aєV $! процілеглы a₁єV

в) "a,bєV раунанне х+а=b мае адзіны развязак у V: х= b+(-а)= b-а – розніца(рознасць) b і а.

Доказ:

а) Дапусцім што існуе два нулявых вектара у V,маем

Ō + Ō’= Ō’(Ō-нульV), Ō + Ō’= Ō(Ō’-нульV),значыць Ō = Ō’.

б) Дапусцім aєV,а₁,а₂-прцілеглыя да а

(a₁+a)+ a₂= Ō + a₂= a₂

a₁+(a+ a₂)= Ō +a₁=a₁,маем a₁=a₂

Процілеглы элемент да а – (-а)

в) х+а = b(*).Дапусцім c-развязак нашага раунання(*) c=b+(-a),(b+(-a))+a=b+(-a)+a=b+Ō=b.

Няхай с₁ –развязак(*).с₁ +а=b,(с₁+а)+(-а)= b+(-а), с₁ +(а+(-а))=с₁+ Ō= с₁

2. "a,b єV, "α,β єP, α(a-b)= αa-αb і (α-β)a= αa-βa

Доказ: (α-β)a+ βа=((α-β)+β)а= αa,маем (α-β)а= αa-βа

3. Калі αa=Ō,↔ α=0 або a=Ō

Доказ:0= α- α, (α- α)a= αa- αa=Ō,

α *Ō= α(a-a)= αa- αa=Ō. Няхай αa= Ō. Дапусцім α≠0. Тады $ α^-1єР α^-1(αa)= α^-1* Ō= Ō

(α^-1 α)а=1*а=а

4. "a є V, "α є P,(- α) a= α(-a)= -αa

Доказ: (- α) a+ αa=(- α+ α) a=0* a=Ō

(- α) a= -αa

Азн.1: Æ≠UÌ V над Р наз.падпрасторай л.п. V,калi U-л.пр. у дачыненнi да

аперацыяу, вызначаных у V

Тэаэрэма 1: Æ≠UÌV- л.пр. над Р зяуляецца падпрасторай л.пр. V калі і калі:

1) "a,b є U а+b єU

2) "a єU "α єP αa єU

Доказ. (Неабх.) Няхай U-падпраст.V Паводле азн. U з’яул. пр-рай і зн. на U вызн. апер.+ i *на элементы з P, і зн. выконв. умовы 1,2.

(Даст): няхай Æ≠U, якое задав. (1,2), зн. на U вызн. апер. + i * на элементы з P.

Праверым што выконв. астатн. Аксіёмы: Æ≠U $a₀ єU. Тады паводле умовы 2) 0*а= Ō єU;

"a єU паводле 2) (-1)а єU

Аналаг. усе аст. аксiёма, таму што U падмн. V.

Вынiк. U≠Æ зяул падпрасторай л.п. V калi і толькі калі

1)"a,b є U "α, βєP αa+ βb є U

Доказ: (Неабх.) Няхай U лін. Падпр-раV

"a,b є U "α, βєP, αa, βb є U

αa+ βb є U (2) з тэарэмы)

(Даст.) Æ≠UÌ V, U задавальняе умове выніку "a,b є U "α, βєP αa+ βb є U, α=β=1→1), β=0→2).

Прыклады:

1. V Ì_l V, (Ō) Ì_l V

Азн.:НяхайÆ≠M Ì V-л.пр. над Р

{α₁a₁ + α₂a₂+…+ α_кa_к│ a_іє M, α_ієP, і=1,к, кє Ν }=L(M) наз лiн абалонкай мн-ва М.