Раздел 1. Элементы линейной алгебры

 

1. Найти матрицу C=7A-B, если

 

Решение:

C=7A-B = 7

 

1. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

Пусть

Тогда АХ=В

Помножим обе части уравнения на А^-1 слева

А^-1 АХ=А^-1 В

ЕХ= А^-1 В

Х= А^-1 В

Найдем А^-1 , для этого вычислим определитель матрицы А

Определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения.

 

Запишем обратную матрицу

 

Х= А^-1 В=

Ответ: (2; 1; 1)

 

1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов.

Преобразуем матрицу в систему

Из системы следует, что х₁=2, х₂=1, х₃=1

Ответ: (2; 1; 1)

 

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

 

Найдем определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных.

Определитель не равен нулю, значит, существует единственное решение.

Составим определитель, заменив первый столбец столбцом свободных членов.

Ответ: (2; 1; 1)

 

Раздел 2. Предел и непрерывность функции

 

1. Вычислить предел функции:

 

1. Вычислить предел функции:

 

1. Вычислить предел функции:

 

1. Вычислить предел функции:

Раздел 3. Дифференциальное исчисление.

 

1. Найти производную функции

 

1. Найти производную третьего порядка функции

 

1. Написать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой х₀=-1, х₀=1

Уравнение касательной имеет вид

y-y₁=

 

Если х₀=-1, то y₁=

y= -(x+1)+3= -x+2

 

Если х₀=1, то y₁=

y= -(x-1)-3= -x-2

 

1. Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5с. (Перемещение измеряется в метрах)

Найдем скорость, как первую производную расстояния по времени.

Найдем ускорение, как вторую производную расстояния по времени.

 

Раздел 4. Исследование функций.

Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1) Функция определена при всех значениях х. Значит, вертикальных асимптот нет. Функция всюду непрерывна. Значит, горизонтальных асимптот нет.

2) Функция не периодическая.

и . Так как , то функция не четная. Так как , то функция не нечетная. Значит, симметрии нет

4) Исследуем функцию на возрастание / убывание

 

Найдем корни уравнения: x₁=0, x₂= .

Значит, x₁=0, x₂= – критические точки, в которых функция меняет знак

х
	+		-		+
		Максимальное значение		Минимальное значение

5) Найдем асимптоты графика функции.

Асимптота определяется уравнением y=kx+b.

k= наклонной асимптоты нет

6) Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость графика и точки перегиба

x₁=

х
	-		+
	Функция выпукла вверх	Точка перегиба	Функция выпукла вниз

7) Найдем точки пересечения с осями.

С осью Оу: х=0

С осью Ох: у=0 (-0.4; 0) и (4,95; 0)

 

Раздел 5. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Треугольник задан вершинами А (1;1); В (-2;1); С (-1;6). Найти:

а) периметр треугольника;

б) уравнения сторон треугольника;

в) уравнение высоты AD.

г) угол ABC;

д) площадь треугольника.

Сделать чертеж.

Решение:

а) Для нахождения периметра P применим формулу:

.

Длины сторон найдем по формуле расстояния между двумя точками:

Итак, периметр треугольника

б) Для отыскания уравнений сторон треугольника используем уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁;у₁) и М₂(х₂;у₂):

AB:

ВС:

АС:

Для нахождения уравнения высоты AD находим угловой коэффициент прямой ВС: .

Так как прямые AD и BC перпендикулярны, то воспользуемся условием перпендикулярности прямых:

.

Находим уравнение высоты AD, используя формулу уравнения прямой проходящей через т. М (x₁;y₁) в данном направлении:

AD: .

 

в) Для определения угла АВС треугольника используем формулу тангенса угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны k₁ и k₂:

где α [0; ]

г) Площадь треугольника найдем, используя формулу

Основанием треугольника выберем отрезок ВС, а высотой соответственно отрезок AD. Тогда

Рассмотрим два способа решения.

I способ.

Длина отрезка ВС найдена в пункте а). BC = . Осталось найти длину отрезка AD. Для этого найдем координаты точки D.

D(x;y) – точка пересечения прямых AD и ВС.

, .

Найдем длину AD: А (1;1), D (- ),

ед. ²

II способ.

BC =

Расстояние AD можно найти как расстояние от точки A (x₀;y₀) до прямой

BC: Аx+By+C=0 по формуле:

А (1;1), ВС: 5x-y+11=0

 

ед. ²