Расст. М-у 2-мя Т. Деление отрезка в данном отнош-ии. Прямая линия на плоск. Осн. Виды ур-я прямой на плоск.

– расст. м-у 2-мя т. M1(x1,y1), M2(x2,y2)

Общ. ур-е прямой на плоск. XOY получ. из общ. ур-я плоск. в пр-ве при Z=0.

L: Ax+By+C=0 – прямая на плоск в ДСК

С=0: прямая прох. ч-з начало корд., A=0: L||OX,,B=0: L||OY

(A;B), ┴L, Пусть MϵL, M(x0,y0), тогда L: A(x-x0)+B(y-y0)=0 - общее ур-е прямой

Пусть прямая L прох. ч-з т. M(x0,y0), , то

– канонич. ур-е прямой на плоск.

, парам. ур-е прямой

Пусть M1(x1,y1), M2(x2,y2)

– ур-е прямой, прох. ч-з 2 т.

Пусть L сост. с осью OX (полож. направл.) угол .

Прямая м.б. задана т. М1(x1,y1) и k=tg , М1(x1,y1), M2(x2,y2)

Из общ. ур-я прямой Ax+By+C=0 при получ. ур-е прямой с углов. коэф. k:

Из ур-я прямой, проходящ. ч-з 2 т. имеем:

- ур-е прямой в отрезках (перес. ОХ в А(а;0) В(0;b))

Из норм-го ур-я плоск. при z=0 получ. норм. ур-е прямой на плоск: , ,

Его можно получ. из общ. ур-я прямой, домножив на µ:

Расст. от т. до прямой. Коорд. т. пересеч. двух прямых. Угол м-у двумя прямыми. Услов. паралл-ти и перп-ти прямых

d=|δ| - модуль отклонения т. от прямой

расст. от М₀(х0;у0) до прямой

δ>0 - если М₀ и нач. коорд-т по разные стороны от прямой

- коорд. т. пересеч. прямых

Угол м-у двумя прямыми

L1: y=k1x+b1, L2: y=k2x+b2

=>

Если прямые зад. общими ур-ми:

L1: A1x+B1y+C1=0, L2: A2x+B2y+C2=0

Услов. паралл-ти и перп-ти прямых

Пусть L1: y=k1x+b1, L2: y=k2x+b2

L1 || L2 ó k1=k2,

L1 ┴ L2: ó k1k2=-1 (ϕ=90*)

Если L1: A1x+B1y+C1=0, L2: A2x+B2y+C2=0

L1┴L2 ó A1A2+B1B2=0

Плоск. в пр-ве. Основн. виды ур-й плоск. в пр-ве. Услов паралл-ти и перп-ти плоск.

М0(x0,y0,z0) – фиксир. т. плоск., M(x,y,z) – текущ. т. плоск.,

(A,B,C), – вектор нормали,

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 – ур-е плоск., проход. ч- з т. М(х0,у0,z0) и вектором нормали (A,B,C),

Ax+By+Cz+D=0 - общее ур-е плоскости

Следствие:

Если 2 ур-я A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 опред. одну и ту же плоск., то Если то плоск. парал.

Пусть плоск. не прох. ч-з нач. корд. Ax+By+Cz+D=0, ,

Ax+By+Cz=-D, ,

– уравнение пл-ти в отрезках, где , , – корд. т. пересеч. плоск. с коорд-ми осями и равны отрезкам, отсекаемым плоск-ю на коорд-х осях

Пусть М(x,y,z) – произв. т. плоск. (x,y,z) – коорд. радиус-вектора. P – основн. перп., опущ. из нач. корд. на плоск. | |=p, , =1 – единичн. вектор нормали к плоск. .

=>

=> – норм. ур-е плоск., где cosα, cosβ, cosγ – направл. косинусы нормали к плоск., р – расст-е от нач. коорд-т до плоск.

Приведение общ. ур-я к норм. виду

Т.к. и Ax+By+Cz+D=0 опред. одну и ту же плоск., то:

=>

– нормирующий множитель

– нормальный вид

Замечание 1. Приведение ур-я плоск. к норм-му виду позв. узнать ее расположение отн-но сист. коорд.

Замечание 2. Введение нормир-го множителя соотв-т замене произв. вектора нормали (A,B,C) в ур-ии плоск. на единич. вектор нормали = =(cosα,cosβ,cosγ)

Неполные ур-я плоск. Расст. от т. до плоск.

Если в общ. ур-ии плоск. отсутств. какие-то слагаемые, то оно назыв. неполным.

D=0: Ax+By+Cz=0 плоск. проходит ч-з начало корд.

A=0: By+Cz+D=0 =>

B=0: Ax+Cz+D=0 =>

C=0: Ax+Bx+D=0 =>

A=0, B=0: Cz+D=0 =>

A=0, C=0: By+D=0 =>

B=0, C=0: Ax+D=0 =>

A=0, B=0, D=0: Cz=0 =>

A=0, С=0, D=0: By=0 =>

B=0, C=0, D=0: Ax=0 =>

Пусть M1(x1,y1,z1), () Спроектируем т. М1 на нормаль . δ=pQ=OQ-Op, p – осн. перп., OQ – проекция вект. на , Op= =p δ=(проекция вект. на )-p

проекция вект. на =x1cos +y1cosβ+z1cosγ

Отклонением δ т. М1(x1,y1,z1) от плоск. назыв. число, равное длине перпендикуляра опущ. из т. М1 на плоск., взятое со знаком “-“, если т. М1 и нач.корд. по одну сторону от плоск., и ”+” по разные.

Чтобы найти δ т., нужно в лев. часть норм. ур-я этой плоск. подставить корд. этой т:

Если плоскость зад. общим ур-ем, то:

Расстояние от т. М1(x1,y1,z1) до плоск.

Ур-е плоск, прох. ч-з 3 данных т. Угол м-у плоск.

M(x,y,z) – текущ. т. плоск, M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)

Т. М лежит в плоск. М1М2М3 только в том случ., если векторы М1М, М1М2, М1М3 – компл. ó

– ур-е плоск., прох. ч-з 3 т.

Пусть 2 плоск. зад. общими ур-ми:

Угол м-у плоск. опр-ся как угол м-у их норм. векторами n1 и n2:

 

 

Прям. линия в простр. Основн. виды ур-я прямой линии в простр. Угол м-у прямыми. Услов. паралл-ти и перп-ти 2-х прямых.

M0(x0,y0,z0) – фиксир. т. прямой L, M L, ||L, a(l,m,n)

– направл. вектор прямой (люб. вектор, лежащий на прямой либо || ей)

M(x,y,z) – произв. т. прямой L. M Ló || ó =t*

- векторное ур-е прямой

– парам. ур-е прямой

Исключ. параметр t:

– канонич. ур-е прямой, проход. ч-з фиксир. т. M0(x0,y0,z0) и имеющей направл. вектор (l,m,n).

Пусть даны 2 т. M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2). Вектор выбер. в кач-ве направл. прямой L, тогда ур-е прямой примет вид:

- ур-е прямой, проходящей ч-з 2 т.

Пусть , , α1||α2 , в противн. случ. плоск. пересек. и прямая пересечения плоск опр-ся ур-ем:

– общее ур-е прямой

Пусть прямая L зад. линией пересеч. 2-х плоск:

, - это рав-во опр. плоск., кот. прох. ч-з прямую L.

Совокупность всех плоскостей, прох. ч-з одну и ту же прямую, назыв. пучком плоскостей.

, – опред. все плоскости пучка, кроме 2-й из задающих прямую.

Пусть зад. направл. векторы 2-х прямых || , || , (l1,m1,n1), (l2,m2,n2)

Угол м-у прямыми приним. равным углу м-у направл-ми векторами:

L1||L2ó || ó

L1 L2ó ó