Понятие вектора и лин. Опер. Над вект-ми. Св-ва опер. Слож. Вект-ов и умнож. Вект-а на число (с док-вом)

Понятие вектора и лин. опер. над вект-ми. Св-ва опер. слож. вект-ов и умнож. вект-а на число (с док-вом)

Величины, для опр-я кот. дост-но знать одно число, назыв. скаляром.

Геом. вектором назыв. направл. отрезок (характ-ся длиной (модулем) и направл-ем).

Своб. векторы счит. равным и, если модули равны и направл. одинак. Вектора не явл. своб., если сущ. т. приложения вектора или линия действия вектора (связанные и скользящие.)

Длиной вектора назыв. расстояние от нач. к концу вектора.

Нулевым вектором назыв. вектор, у кот. начало и конец совпад.

Векторы назыв. коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на парал. прямых. Нулевой вектор коллинеарен люб. вектору.

3 вектора назыв. компланарными, если они лежат в одной плоск., либо в парал. плоск-ях. Если тройка векторов содерж. нулевой вектор или пару коллинеарн. векторов, то эти векторы комплан.

Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинак. длину и направл-е.

Линейные операции

1. Суммой векторов и назыв. вектор + = , идущ. из нач. вектора в конец вектора , при услов., что нач. приложено к концу (правило треуг.)

Св-ва:

1. + =

2. ( + )+ = +( +

3. (Ǝ )(ᵾ )( + )

4.

Правило парал-ма:

Если и прилож. к общ. началу, то сумма этих векторов предст. собой диагональ парал-ма, идущ. из их общ. начала.

Вычитание

1 сп. - = +(- )

2 сп. - = ,

3. Произведение на действ. число kϵR есть вектор k* = коллин. к вектору , | |=|k* |=|k|*| | и направление сонаправлен. с , если k>0; противоп. направлен. с , если k<0

Св-ва:

1. k*( + )= + , kϵR

2. *(λ+β)= *λ + *β, λ,β ϵR

3. λ*(β* )=(λ*β)

4. 1* =

 

1. Д-ва:

1. , , + = + = = , =

ABCD – парал-м, ( || и | |=| |) => + = = =

2. , , + = + = , =

3. Д-во вытек. из опр-й суммы векторов и нулевого вектора.

4. Дост-но опр. как вектор, коллин. вектору , имеющий одинак. с ним длину и противоп. направл. Очевидно, что по правилу треуг. их сумма дает .

3. Д-ва:

1. -----

2. -----

3. -----

4.-----

 

 

+ док-ва и графики на обратн. сторону

Линейн. зависимость векторов (опред-е, св-ва с док-вом)

Линейной комбинацией векторов ϵV назыв. вектор вида = λ1* +λ2* +..+λn* , где λ1,λ2,..,λn ϵ R

Векторы в. п. V назыв. ЛЗ если найд. такие скаляры λ1,λ2,..,λn, из кот. хотя бы 1 отлично от нуля, что линейн. комбинация векторов равна

λ1* +λ2* +..+λn* =

Векторы в. п. V назыв. ЛНЗ если линейн. комбинация этих векторов равна только при услов. что λ1=λ2=…=λn=0

Св-ва:

1. Если сист. векторов содерж. , то она ЛЗ.

2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) ЛЗ, то и все n векторов ЛЗ.

3. -----

4. -----

5. -----

6. -----

7. -----

Д-ва:

1. -----

2. -----

3. -----

4. -----

5. -----

6. -----

7. -----

 

3. Th о коллинеарн. векторах. Th о компланарн. веторах

Th1. Система двух не нулевых векторов и ЛЗ т.т.т.к. векторы коллинеарны.

Д-во:

1. Необход.

, - ЛЗ => (Ǝ β≠0)(λ + = ) =>

≠0, ≠0

β =-λ => =- * =λ* => ||

2. Дост-ть.

-----

Th2. Система 3-х векторов ЛЗ тттк вектора компланарны.

Th3. Система 4-х векторов всегда ЛЗ.

4. Th о разлож. вектора по некомпланарн. векторам. Коорд. вектора. Ортонормир. базис.

Базисом в пр-ве назыв. 3 некомпл. вектора, взятых в опред. порядке. Базисом на плоск. назыв. 2 неколлин. вектора на этой плоск., взятых в опред. порядке. Базисом на прямой назыв. люб. ненулев. вектор этой прямой.

Th. Кажд. вектор м. б. разложен по базису в пр-ве и это разложение единств.

Пусть , некомпланарные = λ

- геометрич. пред. собой простр. диагоналей параллепипеда построен. на векторах ,

=(λ,β,γ)-координаты в базисе

Системой коорд. в пр-ве назыв. совокупность базиса , и нек. т. О назыв. началом корд.

Вектор , идущ. из нач. корд. в т. М назыв. радиус-вектором т. М. Координатами т. М (α,β,γ) назыв. корд. вектора (α,β,γ)

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен прямому углу.

 

Скалярн. произв-е векторов. Применение скалярн. произв-я

Углом м-у векторами и , назыв. наименьш. угол, на кот. надо повернуть вектор до совмещ. с вектором

Скалярн. произв-ем двух векторов назыв. число, равное произв-ю длин этих векторов на cos угла м-у ними/

Замечание:

Если 1 из векторов нулевой,

Св-ва

(, )=(, )

(λ , )=( λ )=λ(, )

3 *()=( * )+( * )

4. если то ()>0 и ()=0 если

Приложение скалярного произведения

1. ()= =| |*cos()=| *cos0= => = = =>| =

2.

3. связь с проекциями

=| * cos(, )=

=| |* cos(, )=

4. Необх. и дост. услов. перп-сти двух ненулев. векторов явл. рав-во 0 их скалярн. произв-я

(()=90) ó * =0

 

6. Векторное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва)

Упорядоч. тройка некомпл. векторов , привед. к одному началу, назыв. правой, если из конца вектора кратчайш. поворот 1-го вектора ко 2-ому вектору виден совершаемым против часовой стрелки, в противн. случ. назыв. левой.

Сист. корд. назыв. правой, если её базисные векторы образ. правую тройку.

При переест. местами двух соседних векторов ориентация тройки меняется. Если тройка , – правая, то – левая

При круговой переест. векторов ориентация тройки не меняется.

Векторн. произв-ем вектора на назыв. вектор = если вып. услов.

1. | |=| |= *sin(, )

2. Тройка векторов , явл. правой

3. Вектор ортогонален к кажд. из векторов ,

Замечание:

| |=| |=S парал-ма, постр. на векторах и

Св-ва:

1. [ ]=-[ ]

2. [λ ]=λ[ ]

3. = +

4. =

Th 1. Необх. и дост. услов. коллин-ти двух векторов явл. рав-во их вект. произв-я, ó =

Д-во:

-----

Th 2. Если 2 вектора (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) зад. своими корд., то их вект. произв-е имеет вид

| |=| |=

Д-во:

- правая

+

Следствие:

Если 2 вектора (x1,y1,z1) и (x2,y2,z2) коллинеарн., то их корд. пропорцион.

7. Смешанное произв-е (опр-е, вычисл-е, св-ва)

Если вектор умнож. векторно на а результ. скалярно умнож. на , то получ. число назыв. смеш. произв-ем векторов , .

Тh. Смеш. произв-е некомпл. векторов , по абсол. величине равно объёму парал-пипеда, постр. на этих векторах, привед. к одному началу.

Д-во:

,

, если – прав.

, если - лев.

Следствие 1:

[ ]* =[ ]* = * , аоск. тройки векторов , , , имеют одинак. ориентацию (циклич. перестан. знака не меняет). Не циклич. перестан. в смеш. произв. привод.

Следствие 2 (критерий компланарности 3-х векторов):

Необх. и дост-ным услов. компланарности 3-х векторов явл. рав-во 0 их смеш. произв-я.

,

Th. Е сли 3 вектора (x1,y1,z1), (x2,y2,z2), (x3,y3,z3) зад. своими коорд., то смеш. произв. =

Д-во:

=

=

Следствие:

,

 

Ориентация плоскости

 

Парал. перенос

Перенесём нач. корд. из т. О в т. О^’ парал. переносом осей

Пусть в старой сист. корд. XOY т.М(x,y) в новой т. М(x^’,y^’).

Сист. корд. получ. из сит. корд. XOY парал. переносом осей, при кот. нач. корд. O’(x0,y0) в XOY.

Связь координат т. М(x,y) и М(x^’,y^’) в старой и новой системе:

ó

Ур-е кривых 2-го порядка, когда их центры симметрии наход-ся в т. O’(x0,y0), получ. с пом. преобраз. корд при парал. переносе осей.

(x-x0)²+(y-y0)²=R² – ур-е окружности в т. (x0,y0) радиусом R

(x-x0)²/а² (y-y0)²/b² =1– ур-е эллипса, гиперболы с центром симметрии в т. (x0,y0) ( - ур-е асимптот)

(y-y0)²=2p(x-x0) – ур-е параболы с вершиной в т. (x0,y0)

(x-x0=-- – ур-е директрисы)

Поворот осей координат

- ф-ла выраж. старые корд. ч-з новые этой же т. при повороте осей на угол

- ф-ла выраж. новые корд. ч-з старые, получ. из пред. ф-лы переменой местами старых и новых корд. и заменой на -

Угол м-у двумя прямыми

L1: y=k1x+b1, L2: y=k2x+b2

=>

Если прямые зад. общими ур-ми:

L1: A1x+B1y+C1=0, L2: A2x+B2y+C2=0

Эллипс

Эллипсом назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. сумма расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0),F2(-с;0), назыв. фокусами эллипса, постоянна и равна 2а.

По опр-ю | |+| |=2a,

| |=2c, a>c

Восп-ся форм-ми расст. м-у 2-мя т:

| |= = ; | |= =

r1+r2=2a

:возводим в квадрат и группируем

т.к a>c,

x²/a² + y²/b² =1 - канонич. ур-е эллипса

Эл-ты эллипса:

О – центр эллипса, ABCD – вершины эллипса

F1(c;0), F2(-с;0) - фокусы эллипса

2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле с=

AC=2a, BD=2b - большая и малая полуоси эллипса

Ɛ=с/a (Ɛ <1) - эксцентриситет эллипса, Ɛ = .

Эксцентриситет опр-ся отношением осей эллипса и характериз.т его форму.

Прямые, парал. малой оси и отстоящие от нее на расстояние a/Ɛ, назыв. директрисами эллипса. Ур-е директрисы:

X=±a/ Ɛ; a/ Ɛ >a т.е Ɛ <1

Фокальный параметр P= - это половина хорды, провед. ч-з фокус, параллельно малой оси.

Окружность предст. собой геом. место точек, равноудал. от т. О, назыв. центром окружн-ти, a=b=п

– ур-е окружн. с центром (x0,y0) и радиусом r. – канонич. ур-е окружн.

Гипербола

Гиперболой назыв. геом. место точек M(x;y), для кот. абсол. величина разности расстояний до 2-х зад. т. F1(c;0),F2(-с;0), назыв. фокусами гиперболы, постоянна и равна 2а (a<c)

По опр-ю | |=2a, | |=2c

Найдем:| |= = , |= =

|r1-r2|=2a; r1-r2=±2a

*(-1)

, т.к. по услов. C>a

X²/a² - y²/b² =1 - канонич. ур-е гиперболы

Эл-ты гиперболы:

О – центр гиперболы, A,B – вершины гиперболы

F1(c;0),F2(-с;0) – фокусы гиперболы

2с - фокусное расстояние, кот. вычисл. по ф-ле

AB=2a – действит.. ось гиперболы.

СD=2b – мнимая ось гиперболы

Ɛ=с/a - эксцентриситет гиперболы,

Ɛ =

Эксцентритет опр-ся отношением осей гиперболы и характеризует ее форму: чем больше эксцентриситет, тем более вытянут вдоль мнимой оси основной прямоуг-к гиперболы.

Ур-я директрис имеют вид: х=±a/Ɛ; т.к Ɛ >1 то a/Ɛ <a

Асимптоты гиперболы – это прямые, к кот. ветви гиперболы неограниченно приближаются при удалении на бесконечность

k=±tgα=±b/a

y=kx=± *x – ур-я асимптоты

Фокальный параметр P=

 

Парабола

Параболой назыв. геом. место точек M(x;y), равноудаленных от зад. т. F(;0) и от данной прямой, назыв. директрисой параболы

Канонич. ур-е параболы м.б. получ. из опр-я:

F(;0), , M(x,y), FM=MK,

=

Эл-ты параболы:

О- вершина параболы

ОХ – ось параболы

F(;0) – фокус параболы

х= - –директриса параболы

p – фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половина хорды, проходящ. ч-з фокус перпенд. оси ОХ)

 

 

Эллипсоид

Будем вращать эллипс x²/a² + y²/b² =1 вокруг OУ.

Согл. ф-ле (F(± ;y)=0) получим след. ур-е поверхн.

– эллипсоид вращ-я, a,b –полуоси эллипсоида вращения.

Обобщая, получ. - ур-е эллипсоида, где все полуоси a,b,c-разные.

При a=b=c=R получ. ур-е сферы x²+y²+z²=R²

Если рассек. эллипсоид плоскостями, перпенд. осям коорд, то все ее сечения будут эллипсами

 

 

Понятие вектора и лин. опер. над вект-ми. Св-ва опер. слож. вект-ов и умнож. вект-а на число (с док-вом)

Величины, для опр-я кот. дост-но знать одно число, назыв. скаляром.

Геом. вектором назыв. направл. отрезок (характ-ся длиной (модулем) и направл-ем).

Своб. векторы счит. равным и, если модули равны и направл. одинак. Вектора не явл. своб., если сущ. т. приложения вектора или линия действия вектора (связанные и скользящие.)

Длиной вектора назыв. расстояние от нач. к концу вектора.

Нулевым вектором назыв. вектор, у кот. начало и конец совпад.

Векторы назыв. коллинеарными, если лежат на одной прямой, либо на парал. прямых. Нулевой вектор коллинеарен люб. вектору.

3 вектора назыв. компланарными, если они лежат в одной плоск., либо в парал. плоск-ях. Если тройка векторов содерж. нулевой вектор или пару коллинеарн. векторов, то эти векторы комплан.

Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинак. длину и направл-е.

Линейные операции

1. Суммой векторов и назыв. вектор + = , идущ. из нач. вектора в конец вектора , при услов., что нач. приложено к концу (правило треуг.)

Св-ва:

1. + =

2. ( + )+ = +( +

3. (Ǝ )(ᵾ )( + )

4.

Правило парал-ма:

Если и прилож. к общ. началу, то сумма этих векторов предст. собой диагональ парал-ма, идущ. из их общ. начала.

Вычитание

1 сп. - = +(- )

2 сп. - = ,

3. Произведение на действ. число kϵR есть вектор k* = коллин. к вектору , | |=|k* |=|k|*| | и направление сонаправлен. с , если k>0; противоп. направлен. с , если k<0

Св-ва:

1. k*( + )= + , kϵR

2. *(λ+β)= *λ + *β, λ,β ϵR

3. λ*(β* )=(λ*β)

4. 1* =

 

1. Д-ва:

1. , , + = + = = , =

ABCD – парал-м, ( || и | |=| |) => + = = =

2. , , + = + = , =

3. Д-во вытек. из опр-й суммы векторов и нулевого вектора.