То давление газа на стенку равно

(37)

Или в соответствии с (35)

.

Так как было принято, что импульс ударяющихся о стенку молекул равен импульсу отраженных молекул, то полученная величина давления складывается из двух равных частей: давления ударяющихся и давления отраженных молекул

Где

.

Из (37) получаем выражение для средней квадратичной скорости движения молекул

(38)

Сравнивая (38) с известным выражением для скорости звука в газе

Можем связать среднюю квадратичную скорость молекул со скоростью звука

(39)

Давление и напряжение трения

При свободно-молекулярном обтекании твердого тела

При изучении свободно-молекулярного потока газа следует учитывать то, что наряду с

Хаотическим движением молекул имеется упорядоченное перемещение конечных масс газа.

В первых работах Энштейна и Смолуховского, посвященных свободно-молекулярному течению газа около твердого тела, предполагалось, что скорость упорядоченного движения газа мала по сравнению со средней скоростью хаотического движения молекул. Мы не станем пользоваться этим ограничением и приведем решение задачи для произвольного значения числа Маха в набегающем на тело газовом потоке. Как показал Цзян, такое общее решение имеет достаточно простой вид.

Обтекание тела разреженным газом целесообразно рассматривать в прямоугольной системе координат, так как при этом удобно группируются одноименные составляющие скоростей хаотического и упорядоченного движении.

Если газ сильно разрежен, то столкновения молекул между собой и с поверхностью тела настолько редки, что реэмитируемые поверхностью молекулы практически не возмущают набегающий на тело невозмущенный поток газа и не нарушают максвелловского распределения хаотических скоростей ( ) молекул в этом газе. Функция распределения Максвелла может быть представлена в виде

(40)

Если упорядоченное движение газа происходит со скоростью

(41)

То полные скорости молекул соответственно равны

(42)

Расположим прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось х была перпендикулярна к элементу поверхности тела (рис. 7.), и определим силу давления движущегося газа на площадку .

Рис. 7. К определению силы

Давления газа на стенку при молекулярном течении.

Полное число, молекул , ударяющихся о единичный элемент площади равно

. (43)

Секундный поток массы молекул, падающих на единичную площадку поверхности тела:

(44)

Для неподвижного газа () имеем

(45)

Определяя аэродинамические силы, которые возникают на единичной площадке тела при свободно-молекулярном обтекании, следует иметь в виду, что проекция аэродинамической силы равна разности проекций на ту же ось количеств движения секундной массы молекул, падающих на площадку и отраженных от нее.

Окончательное выражение для давления, которое оказывает свободно-молекулярное течение газа на элемент поверхности, ориентированный по нормали к составляющей скорости невозмущенного

потока газа:

(46)

Аналогичным образом получаем общую формулу для напряжения трения на элементе поверхности

При свободно-молекулярном течении

(47)

В частном случае невозмущенного потока, перпендикулярного к поверхности тела ( ), касательное напряжение (трение) равно нулю

(48)

В частном случае потока, параллельного поверхности тела ( ), давление

(49)

И напряжение трения

(50)

При полностью диффузном отражении молекул от стенки () имеем

(51)

Расчет аэродинамических сил

При свободно - молекулярном обтекании твердых тел

В предыдущем параграфе указаны методы определения нормальных и тангенциальных напряжений, возникающих на элементарной площадке поверхности тела при свободно-молекулярном обтекании.

Найдем аэродинамические силы, действующие на тело в целом.

Пусть вектор скорости невозмущенного потока составляет угол с элементом поверхности тела (местный угол атаки), тогда угол между вектором и нормалью к поверхности (рис. 8.).

Рис. 8. К определению аэродинамических сил на пластине

При молекулярном течении газа.

Следовательно, проекции скорости на нормаль и касательную к поверхности составляют соответственно

(52)