Уравнения с тангенсом и котангенсом

Формулы обратных триг функций

Если 0 < x £ 1, то arccos(-x) = p - arccosx arcsin(-x) = - arcsinx

Если x > 0, то arctg(-x) = - arctgx arcctg(-x) = p - arcctgx

Обратные триг функции

Функция	Свойства
Область определения	Множество значений
arccosx		[ 0; p ]
arcsinx		[-p/2; p/2]
arctgx		(-p/2; p/2)
arcctgx		(0; p)

Геометрия

Теорема косинусов, синусов

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Площадь треугольника

Средняя линия

Средняя линия – отрезок, с соединяющий середины двух с сторон треугольника.

Средняя линия параллельна т третьей стороне и равна е её половине:

Средняя линия отсекает подобный треугольник, площадь которого равна одной четверти от исходного

Равносторонний треугольник

треугольник, у которого все стороны равны.

v Все углы равны 60⁰.

v Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

v Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

v Радиусы окружностей:

Площадь

Равнобедренный треугольник

треугольник, у которого две стороны равны.

1.Углы, при основании треугольника, равны

2.Высота, проведенная из вершины, является б биссектрисой и медиан

 

 

bc

Прямоугольный треугольник

 

v Теорема Пифагора: Площадь:

v Тригонометрические соотношения:

v Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

v Радиусы окружностей:

v Высота, опущенная на гипотенузу:

v Катеты:

Основные соотношения в треугольнике

Ø Неравенство треугольника:

a + b > c; a + c > b; b + c > a

Ø Сумма углов: a + b + g = 180⁰

Ø Против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Ø Против равных сторон лежат равные углы, и обратно, против равных углов лежат равные стороны.

Биссектриса

 

 

Биссектриса – отрезок, выходящий из вершины треугольника и делящий угол пополам.

· Биссектриса делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам: a_b: a_c = b: c

· Биссектриса делит площадь треугольника, пропорционально прилежащим сторонам.

·

 

Конус

H

R

S_бок.= pR(R+L)

Усеченный конус

 

Вписанная окружность

 

 

· Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении биссектрис треугольника.

· Если окружность вписана в произвольный четырехугольник, тогда попарные суммы противолежащих сторон равны между собой:

a + b = c + d

Описанная окружность

Касательная, секущая

·

· Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его трем сторонам.

· Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы.

· Около трапеции можно описать окружность только тогда, когда трапеция равнобочная.

· Если окружность описана около произвольного четырехугольника, тогда попарные суммы противолежащих углов равны между собой:

Длина окружности, площадь

 

 

 

 

Хорда

 

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

· Диаметр, делящий хорду пополам, перпендикулярен хорде.

· В окружности равные хорды равноудалены от центра окружности.

· Отрезки пересекающихся хорд связаны равенством:

 

Шар

Шаровой сектор

Шаровой сегмент

Центральный, вписанный угол

Сектор

Касательная, секущая

Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

X

X

X

Призма

Прямая

Призма

Цилиндр

Медиана

Медиана – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

· Медианы треугольника точкой их пересечения делятся в отношении 2:1 (считая от вершины треугольника).

· Медиана делит треугольник на два треугольника с равными площадями.

Правильная пирамида

Правильная пирамида

пирамида, у которой в основании и правильный многоугольник, а вершина с м проецируется в центр основания.

М Все боковые рёбра равны между м м собой и все боковые грани – равные м равнобедренные треугольники.

Усеченная пирамида

Скалярное произведение

Сумма, разность векторов

Углы на плоскости

Перпендикулярность, коллинеарность

Перпендикулярные вектора:

Коллинеарные вектора:

Координаты вектора

Координаты вектора:

 

Длина вектора:

 

Умножение вектора на число: