Лектор: член-корр. РАН Н.Н.Калиткин

Лектор: член-корр. РАН Н.Н.Калиткин

______________________________________________________

Часть I. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ (7-й семестр).

Вопросы для зачета

 

Виды погрешности; близость величин и нормы. Корректность и обусловленность задачи.

2. Решение линейных систем (метод Гаусса).

Обусловленность линейных систем и выбор главного элемента.

Специальные виды матриц; метод Гаусса для ленточной матрицы.

Переобусловленные линейные системы.

Решение плохо обусловленных линейных систем.

Нахождение корня дихотомией.

Нахождение корня методом Ньютона; сходимость.

Диагностика кратности корня в методе Ньютона, сходимость.

Обобщенный метод Ньютона, выбор шага.

Метод секущих.

Исключение найденных корней; корни многочленов.

Решение систем уравнений методом Ньютона.

Многомерный обобщенный метод Ньютона.

Квадратурная формула средних, ее погрешность.

Квадратурная формула трапеций, ее погрешность.

Квадратурная формула Симпсона, ее погрешность.

Квадратурная формула Эйлера-Маклорена.

Квадратуры для периодических функций; приближенное суммирование рядов.

Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля.

Сгущение сеток, оценка погрешности, повышение точности.

Рекуррентное сгущение сеток и многократное повышение точности по Ричардсону.

Квазиравномерные сетки, их свойства и сгущение.

Вычисление интегралов на квазиравномерных сетках.

Повышение точности по Эйткену.

Вычисление несобственных интегралов.

Кратное интегрирование методом ячеек (средних).

Произведение одномерных квадратурных формул.

Кратное интегрирование для криволинейной границы.

Кратное интегрирование методом Монте-Карло, оценка погрешности.

Построение псевдослучайных точек.

Задача интерполяции; единственность интерполяционного многочлена.

Интерполяционный многочлен Ньютона.

Априорная погрешность интерполяционного многочлена Ньютона.

Апостериорные оценки погрешности интерполяционного многочлена.

Интерполяционный многочлен Эрмита, его погрешность.

Сходимость и расходимость интерполяции.

Рациональная аппроксимация.

Аппроксимация быстропеременных функций.

Многомерная интерполяция.

Среднеквадратичная аппроксимация обобщенным многочленом.

Неортогональные базисы и обусловленность алгоритма (система степеней).

Ортогональные базисы и сходимость; обобщенный ряд Фурье.

Тригонометрический ряд Фурье; убывание коэффициентов.

Тригонометрический ряд Фурье; скорость сходимости.

Метод четного продолжения для непериодических функций.

Определение и вычисление многочленов Чебышева первого рода.

Разложение по многочленам Чебышева.

Метод двойного периода.

Сплайн, формы его записи.

B-сплайны и их вычисление, носитель.

Среднеквадратичные сплайны; обусловленность алгоритма.

Погрешность среднеквадратичных сплайнов.

Условие естественности при интерполяции сплайнами.

Интерполяция B-сплайнами, обусловленность задачи.

Интерполяция кубическим L-сплайном.

Обработка экспериментов. Выбор весов и оптимального числа коэффициентов.

58. Параметрическая интерполяция кривых, выбор параметра, ротационная инвариантность.

Дифференцирование интерполяционного многочлена, точность.

Простейшие формулы численного дифференцирования на разных сетках.

Дифференцирование сплайна и рядов.

Дифференцирование быстропеременных функций.

Некорректность дифференцирования.

Нахождение одномерного минимума золотым сечением.

Нахождение одномерного минимума методом Ньютона.

Нахождение многомерного минимума методом Ньютона. Случайный поиск многомерного минимума.

Нахождение минимума квадратичной формы усеченным градиентным спуском.

Нахождение минимума квадратичной формы методом сопряженных градиентов.

Обобщение усеченного градиентного спуска на неквадратичные функции.

Минимум в подпространстве; метод множителей Лагранжа.

Минимум в ограниченной области; метод штрафных функций.

Минимизация функционала, метод сеток.

Минимизация квадратичного функционала, метод Ритца.

74. Проблема собственных значений матрицы; теория и преобразование подобия.

75. Подобные преобразования отражения.

Частичная проблема собственных значений: обратные итерации с переменным сдвигом.

Мая 2011 год

___________________________________________________________

Часть II. ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (8-й семестр).

Вопросы для экзамена.

Обыкновенные дифференциальные уравнения и задача Коши.

Схемы Рунге-Кутты, общий вид и свойства.

Двухстадийные схемы Рунге-Кутты.

Схемы Рунге-Кутты с тремя стадиями.

Схемы Рунге-Кутты с четырьмя и более стадиями.

Сходимость схем Рунге-Кутты.

Схемы Адамса.

Расчеты ОДУ с контролем точности.

Расчеты ОДУ с автоматическим выбором шага.

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.

Жесткие системы, непригодность явных схем.

Требования к неявным схемам и метод Розенброка.

Одностадийные схемы Розенброка.

Комплексная схема Розенброка.

Многошаговые неявные схемы.

Дифференциально-алгебраические системы.

ОДУ, различные постановки краевых задач.

Нелинейные краевые задачи для ОДУ, разностные схемы, сходимость.

Линейные краевые задачи для ОДУ, нахождение разностного решения.

Нелинейные краевые задачи для ОДУ, нахождение сеточного решения.

Слоистые среды и бикомпактные схемы для ОДУ.

Квазиравномерные сетки для краевых задач; бесконечная область.

Краевые задачи для уравнений высокого порядка.

124. Сгущение сеток для линейных и нелинейных краевых задач (многосеточный метод).

Собственные значения ОДУ: постановки задач.

Собственные значения ОДУ; сеточный метод для линейных уравнений.

Собственные значения ОДУ; сеточный метод для нелинейных уравнений.

Квазиравномерные сетки и задачи в бесконечной области.

Задача Штурма-Лиувилля; фазовый метод.

Методы Ритца и Галеркина для задач на собственные значения.

Сеточный метод: аппроксимация, устойчивость, сходимость. Аппроксимация разностных схем, её исследование.

Устойчивость разностных схем, её исследование.

Сходимость разностных схем, основные теоремы.

Экспериментальное компьютерное исследование сходимости.

Простейшее уравнение переноса, постановка задачи.

Явная схема для уравнения переноса, полное исследование.

Чисто неявная схема для уравнения переноса, полное исследование.

Схемы второго порядка для уравнения переноса, полное исследование.

Монотонность схем для уравнения переноса.

Схемы для многомерного переноса.

Квазилинейный перенос; характер решений.

Квазилинейный перенос; неконсервативность и ложная сходимость.

Простейшие консервативные схемы для квазилинейного переноса.

Квазилинейный перенос; псевдовязкость.

Уравнение теплопроводности, постановки задачи и характер решений.

Теплопроводность; метод прямых и составление трехточечных схем.

Теплопроводность; нахождение решения простейших схем.

Теплопроводность; аппроксимация простейших схем.

Теплопроводность; устойчивость простейших схем.

Теплопроводность; схема CROS и ее устойчивость.

Теплопроводность; асимптотическая устойчивость схем.

Многомерный метод Ричардсона.

Задачи теплопроводности в слоистых средах; обобщенное решение.

Теплопроводность в слоистых средах; построение бикомпактных схем.

Схема CROS для трехточечной бикомпактной схемы.

Теплопроводность; трехточечная бикомпактная схема и нахождение решения.

Теплопроводность; аппроксимация и устойчивость бикомпактной схемы.

Теплопроводность в неограниченной области.

Многомерная теплопроводность; эволюционно-факторизованные схемы и нахождение решения.

Аппроксимация эволюционно-факторизованных схем.

Устойчивость эволюционно-факторизованных схем.

Эллиптическое уравнение, постановки задач и счет на установление.

Оптимальный шаг счета на установление.

Логарифмический набор шагов для установления.

Итерационное решение эллиптического уравнения со смешанными производными. Метод усеченного наискорейшего спуска.

Итерационное решение эллиптического уравнения со смешанными производными. Метод сопряженных градиентов.

Декабрь 2010

Машина аспирантов

Users_\Ермакова\МГУ_физфак\Курс_Численные методы.doc

 

Лектор: член-корр. РАН Н.Н.Калиткин

______________________________________________________