Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу

Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу

Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается .

Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).

Свойства

Теорема 1: справедливо равенство

Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула

, где А и В постоянные числа.

Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение

Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство

Теорема 5: справедлива формула

Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что

Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.

Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.

Приведение двойного интеграла к повторному

Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d

Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл

Замена переменных, якобиан. Полярные цилиндрические, сферические координаты: дифференциал площади, объема.

Пусть функция z=f(x,y) определена на области с кусочно-гладкой границей. Рассмотрим двойной интеграл и в нем произведем замену переменных x=aξ+bη, y=cξ+bη, где J= . Тогда .

Теперь произведем произвольную замену переменных: x=ϕ(ξ,η), y=ψ(ξ,η).

J(ξ,η)=

Общая формула замены переменных:

Полярные координаты

X=rcosϕ,y=rsinϕ. Якобиан = r. Тогда: .

Сферические координаты

X=rcosθcosϕ, y=rcosθsinϕ, z=rsinθ. Якобиан = . Тогда, при переходе к сферическим координатам подынтегральная функция умножится на .

dS=rdrdϕ, dV= .

Кривая, дифференциал ее длины, интеграл по длине кривой.

Кривая описывается выражением: (x,y,z) , x=x(t), y=y(t), z=z(t), t [a,b]. Длина такой кривой равна . Если кривая задана уравнениями ρ=ρ(ϕ), ϕ [α,β] в полярной система координат с полюсом в начале прямоугольной декартовой системы координат, то можно записать: x= ρ(ϕ) cos(ϕ), y= ρ(ϕ) sin(ϕ), ϕ [α,β]. Получаем x’= ρ’(ϕ) cos(ϕ)- ρ(ϕ)sin(ϕ), y’= ρ’(ϕ) sin (ϕ)+ ρ(ϕ) cos(ϕ) и получаем формулу интеграла .

4. Поверхность, дифференциал ее площади, интеграл по площади поверхности.

Пусть (S) – поверхность в пространстве, заданная явным уравнением z=f(x,y). Тогда площадь поверхности (S), заданное явным уравнением вычисляется по формуле

Пусть теперь поверхность (S) задана параметрическими уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), x=x(u,v) или то же самое, векторным уравнением . Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле . Или , где E= , F= , G= .

dS= , поверхностный интеграл первого рода равен .

Работа плоского поля: формула Грина как частный случай теоремы Остроградского-Гаусса.

Пусть P(x,y) и Q(x,y) гладкие в области D, а Г – контур в области D, ограниченный под областью D. Тогда:

Формула Грина является частным случаем теоремы Остроградского-Гаусса, когда поверхность является плоской.

Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу

Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается .

Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V).

Свойства

Теорема 1: справедливо равенство

Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула

, где А и В постоянные числа.

Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение

Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство

Теорема 5: справедлива формула

Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что

Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема.

Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема.

Приведение двойного интеграла к повторному

Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d

Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл