Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу
Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается . Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V). Свойства Теорема 1: справедливо равенство Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула , где А и В постоянные числа. Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство Теорема 5: справедлива формула Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема. Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема. Приведение двойного интеграла к повторному Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл
Замена переменных, якобиан. Полярные цилиндрические, сферические координаты: дифференциал площади, объема. Пусть функция z=f(x,y) определена на области с кусочно-гладкой границей. Рассмотрим двойной интеграл и в нем произведем замену переменных x=aξ+bη, y=cξ+bη, где J= . Тогда . Теперь произведем произвольную замену переменных: x=ϕ(ξ,η), y=ψ(ξ,η). J(ξ,η)= Общая формула замены переменных: Полярные координаты X=rcosϕ,y=rsinϕ. Якобиан = r. Тогда: . Сферические координаты X=rcosθcosϕ, y=rcosθsinϕ, z=rsinθ. Якобиан = . Тогда, при переходе к сферическим координатам подынтегральная функция умножится на . dS=rdrdϕ, dV= . Кривая, дифференциал ее длины, интеграл по длине кривой. Кривая описывается выражением: (x,y,z) , x=x(t), y=y(t), z=z(t), t [a,b]. Длина такой кривой равна . Если кривая задана уравнениями ρ=ρ(ϕ), ϕ [α,β] в полярной система координат с полюсом в начале прямоугольной декартовой системы координат, то можно записать: x= ρ(ϕ) cos(ϕ), y= ρ(ϕ) sin(ϕ), ϕ [α,β]. Получаем x’= ρ’(ϕ) cos(ϕ)- ρ(ϕ)sin(ϕ), y’= ρ’(ϕ) sin (ϕ)+ ρ(ϕ) cos(ϕ) и получаем формулу интеграла . 4. Поверхность, дифференциал ее площади, интеграл по площади поверхности. Пусть (S) – поверхность в пространстве, заданная явным уравнением z=f(x,y). Тогда площадь поверхности (S), заданное явным уравнением вычисляется по формуле Пусть теперь поверхность (S) задана параметрическими уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), x=x(u,v) или то же самое, векторным уравнением . Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле . Или , где E= , F= , G= . dS= , поверхностный интеграл первого рода равен . Работа плоского поля: формула Грина как частный случай теоремы Остроградского-Гаусса. Пусть P(x,y) и Q(x,y) гладкие в области D, а Г – контур в области D, ограниченный под областью D. Тогда: Формула Грина является частным случаем теоремы Остроградского-Гаусса, когда поверхность является плоской. Кратные интегралы: определение, условия существования, основные свойства. Сведение к повторному интегралу Пусть z=f(x,y) – непрерывно дифференцируемая и положительная функция двух переменных, определенная на ограниченном подмножестве (S) плоскости . Если существует предел независимо от выбора точек и независимо от разбиения множества (S) на элементарные части, то он называется двойным интегралом функции и обозначается .
Пусть дано некоторое тело (V) в трехмерном пространстве . Предположим, что известна плотность (x,y,z) распределения массы в каждой точке M(x,y,z) тела (V). Требуется определить всю массу тела. Если существует предел независимо от выбора точек ( и независимо от разбиения множества (V) на элементарные части, то он называется тройным интегралом функции f(x,y,z) по множеству (V). Свойства Теорема 1: справедливо равенство Теорема 2: пусть функции f(x,y) и ϕ(x,y) определены на одном и том же множестве (S) плоскости и на этом множестве не имеют двойные интегралы. Тогда справедлива формула , где А и В постоянные числа. Теорема 3: пусть функция f(x,y) определена на квадратируемом подмножестве (S) плоскости . Предположим, что множество (S) некоторой кусочно-гладкой кривой разложено на два квадрируемые подмножества (S’) и (S’’). Тогда из существования двойного интеграла функции f(x,y) по области (S) следует существования двойных интегралов этой функции в обоих областях (S’) и (S’’), и обратно. При этом имеет место разложение Теорема 4: пусть f(x,y) для всех (x,y) и существуют двойные интегралы функции f(x,y) и . Тогда справедливо равенство Теорема 5: справедлива формула Теорема 6: (теорема о среднем) пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена и интегрируема на замкнутом множетсве (S)с . Тогда существует такая точка (ξ,η) (S), что Теорема 7: всякая непрерывная в области (S) функция z=f(x,y) интегрируема. Теорема 8: если функция z=f(x,y) ограничена и имеет разрывы только лишь на конечном числе гладких кривых области (S), то она интегрируема. Приведение двойного интеграла к повторному Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена на прямоугольнике , т.е. на множестве точек (x,y) , которые удовлетворяют условию где a<b, c<d Теорема: пусть для функции существует двойной интеграл и также при каждом фиксированном x существует обычный интеграл I= . Тогда существует повторный интеграл
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-26; просмотров: 665; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.218.168.16 (0.015 с.) |