Начала математического анализа

3.3.1 Элементарные функции. Предел функции.

3.3.2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Связь между ними.

3.3.3 Способы раскрытия неопределённостей.

3.3.4 Замечательные пределы.

3.3.5 Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

 

 

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

3.4.1 Производная, ее геометрический и механический смысл.

3.4.2 Производные простейших элементарных функций. Правила дифференцирования.

3.4.3 Производная сложной функции, неявной, параметрической, степенно-показательной.

3.4.4 Возрастание и убывание функции. Экстремум. выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Асимптоты кривых.

3.4.5 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

3.4.6 Построение графиков функций.

 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

3.5.1 Область определения функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня.

3.5.2 Частные производные. Частные производные высших порядков.

3.5.3 Производные сложных и неявных функций нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

3.5.4 Экстремумы функции.

3.5.5 Производная по направлению. Градиент.

 

 

Интегральное исчисление функции одной переменной

3.6.1 Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства.

3.6.2 Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование. Подведение под знак дифференциала.

3.6.3 Методы интегрирования: замена переменной; интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Рационализация. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

3.6.4 Определённый интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование по частям.

3.6.5 Несобственные интегралы.

3.6.6 Геометрические приложения определённых интегралов.

 

 

Дифференциальные уравнения

3.7.1 Дифференциальные уравнения 1-го порядка.

3.7.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности.

3.7.3 Линейные дифференциальные уравнения второго и третьего порядков.

3.7.4 Теорема об общем решении ЛОДУ. ЛОДУ II-го порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения.

3.7.5 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.

3.7.6 Системы дифференциальных уравнений.

 

 

Теория вероятностей

3.8.1 Элементы комбинаторики.

3.8.2 Случайные события.

3.8.3 Классическое определение вероятности.

3.8.4 Алгебра событий. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

3.8.5 Теорема полной вероятности. Формула Бейеса.

3.8.6 Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Теорема Пуассона.

3.8.7 Дискретные случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

3.8.8 Непрерывные случайные величины. Функция распределения и плотность распределения вероятностей. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

3.8.9 Нормальное и равномерное распределения.

 

 

Элементы математической статистики

3.9.1 Генеральная совокупность и выборка. Статистическое распределение выборки.

3.9.2 Эмпирическая функция распределения.

3.9.3 Полигон и гистограмма.

3.9.4 Точечные оценки. Выборочная средняя и выборочная дисперсия. Исправленная выборочная дисперсия.

3.9.5 Интервальные оценки. Точность оценки. Доверительная вероятность и доверительный интервал.

3.9.6 Проверка статистических гипотез. Критерий Пирсона.

3.9.7 Выборочное уравнение регрессии. Линейная регрессия.

3.9.8 Выборочный коэффициент корреляции.

3.9.9 Построение выборочного уравнения линейной регрессии.

 

 

Варианты контрольных заданий

Студент должен выполнять контрольные задания по номеру варианта, который совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).

№ варианта	Тема №1	Тема №2	Тема №3
	111, 121, 131	211, 221, 231	311, 321
	112, 122, 132	212, 222, 232	312, 322
	113, 123, 133	213, 223, 233	313, 323
	114, 124, 134	214, 224, 234	314, 324
	115, 125, 135	215, 225, 235	315, 325
	116, 126, 136	216, 226, 236	316, 326
	117, 127, 137	217, 227, 237	317, 327
	118, 128, 138	218, 228, 238	318, 328
	119, 129, 139	219, 229, 239	319, 329
	1110, 1210, 1310	2110, 2210, 2310	3110, 3210

 

 

№ варианта	Тема №4	Тема №5	Тема №6
	411, 421, 431, 441	511, 521	611, 621, 631, 641
	412, 422, 432, 442	512, 522	612, 622, 632, 642
	413, 423, 433, 443	513, 523	613, 623, 633, 643
	414, 424, 434, 444	514, 524	614, 624, 634, 644
	415, 425, 435, 445	515, 525	615, 625, 635, 645
	416, 426, 436, 446	516, 526	616, 626, 636, 646
	417, 427, 437, 447	517, 527	617, 627, 637, 647
	418, 428, 438, 448	518, 528	618, 628, 638, 648
	419, 429, 439, 449	519, 5429	619, 629, 639, 649
	4110, 4210, 4310, 4410	5110, 5210	6110, 6210, 6310, 6410

 

 

№ варианта	Тема №7	Тема №8	Тема №9
	711, 721, 731, 741	811, 821, 831, 841	911, 921, 931
	712, 722, 732, 742	812, 822, 832, 842	912, 922, 932
	713, 723, 733, 743	813, 823, 833, 843	913, 923, 933
	714, 724, 734, 744	814, 824, 834, 844	914, 924, 934
	715, 725, 735, 745	815, 825, 835, 845	915, 925, 935
	716, 726, 736, 746	816, 826, 836, 846	916, 926, 936
	717, 727, 737, 747	817, 827, 837, 847	917, 927, 937
	718, 728, 738, 748	818, 828, 838, 848	918, 928, 938
	719, 729, 739, 749	819, 829, 839, 849	919, 929, 939
	7110, 7210,7310, 7410	8110, 8210, 8310, 8410	9110, 9210, 9310

 

 

№ варианта	Тема №10	Тема №11	Тема №12
	1011, 1021, 1031, 1041	1111, 1121, 1131	1211, 1221
	1012, 1022, 1032, 1042	1112, 1122, 1132	1212, 1222
	1013, 1023, 1033, 1043	1113, 1123, 1133	1213, 1223
	1014, 1024, 1034, 1044	1114, 1124, 1134	1214, 1224
	1015, 1025, 1035, 1045	1115, 1125, 1135	1215, 1225
	1016, 1026, 1036, 1046	1116, 1126, 1136	1216, 1226
	1017, 1027, 1037, 1047	1117, 1127, 1137	1217, 1227
	1018, 1028, 1038, 1048	1118, 1128, 1138	1218, 1228
	1019, 1029, 1039, 1049	1119, 1129, 1139	1219, 1229
	10110, 10210, 10310, 10410	11110, 11210, 11310	12110, 12210

 

5 Контрольные задания

Тема №1

 

Линейная алгебра

 

Задание 1.1 Вычислить определитель матрицы С.

 

1.1.1

1.1.2

1.1.3

1.1.4

1.1.5

1.1.6

1.1.7

1.1.8

1.1.9

1.1.10

 

 

Задание 1.2 Решить систему линейных уравнений

a) методом Крамера;

b) методом Гаусса.

 

1.2.1

1.2.2

1.2.3

1.2.4

1.2.5

1.2.6

1.2.7

1.2.8

1.2.9

1.2.10

 

 

Задание 1.3 Решить систему методом Гаусса или доказать, что она несовместна. Если система имеет бесчисленное множество решений, найти общее и одно частное решения.

 

1.3.1

1.3.2

1.3.3

1.3.4

1.3.5

1.3.6

1.3.7

1.3.8

1.3.9

1.3.10

 

 

Тема №2

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

 

Задание 2.1 Даны уравнения двух прямых , и координаты точки Требуется найти:

а) уравнение прямой, проходящей через точку и точку пересечения данных прямых;

б) расстояние между точкой пересечения двух прямых и точкой ;

в) угол между прямыми и ;

г) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой ;

д) уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой ;

е) расстояние от точки до прямой .

ж) выполнить чертеж.

Выбрать оптимальные пути решения в пунктах б), в), г), д), е).

 

2.1.1

2.1.2

2.1.3

2.1.4

2.1.5

2.1.6

2.1.7

2.1.8

2.1.9

2.1.10

 

 

Задание 2.2 Даны координаты вершин пирамиды

Найти:

а) длину ребра ;

б) угол между ребрами и ;

в) угол между ребрами и гранью ;

г) площадь грани ;

д) объем пирамиды;

е) уравнение плоскости ;

ж) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

з) сделать чертеж.

Выбрать оптимальные пути решения в пунктах б), в), г), д).

 

 

2.2.1

2.2.2

2.2.3

2.2.4

2.2.5

2.2.6

2.2.7

2.2.8

2.2.9

2.2.10

 

 

Задание 2.3 Привести уравнения кривых второго порядка к каноническому виду, назвать их и выполнить чертеж.

 

2.3.1

a)

b)

c)

2.3.2

a)

b)

c)

2.3.3

a)

b)

c)

2.3.4

a)

b)

c)

2.3.5

a)

b)

c)

 

2.3.6

a)

b)

c)

2.3.7

a)

b)

c)

2.3.8

a)

b)

c)

2.3.9

a)

b)

c)

2.3.10

a)

b)

c)

Тема №3

Пределы и непрерывность функций

Задание 3.1 Вычислить пределы функций.

 

 

3.1.1

а)

б)

в)

г)

д)

3.1.2

а)

б)

в)

г)

д)

3.1.3

а)

б)

в)

г)

д)

 

 

3.1.4

а)

б)

в)

г)

д)

3.1.5

а)

б)

в)

 

г)

д)

 

3.1.6

а)

б)

в)

г)

д)

3.1.7

а)

б)

в)

г)

д)

3.1.8

а)

б)

в)

 

 

г)

д)

3.1.9

а)

б)

в)

г)

д)

3.1.10

а)

б)

в)

г)

д)

Задание 3.2 Исследовать функции на непрерывность: найти точки разрыва, указать характер разрыва. Сделать схематический чертёж.

3.2.1

a)

b)

c)

 

3.2.2

a)

b)

c)

3.2.3

a)

b)

c)

3.2.4

a)

b)

c)

3.2.5

a)

b)

c)

3.2.6

a)

b)

c)

3.2.7

a)

b)

c)

3.2.8

a)

b)

c)

3.2.9

a)

b)

c)

3.2.10

a)

b)

c)

Тема №4

 

Дифференцирование

Задание 4.1 Найти производные функций.

 

4.1.1

а)

б)

 

в)

г)

4.1.2

а)

б)

 

в)

г)

 

4.1.3

а)

б)

 

в)

г)

4.1.4

а)

б)

 

в)

г)

4.1.5

а)

б)

 

 

в)

г)

4.1.6

а)

б)

 

 

в)

г)

4.1.7

а)

б)

 

 

в)

г)

4.1.8

а)

б)

 

 

в)

г)

4.1.9

а)

б)

в)

г)

4.1.10

а)

б)

 

в)

г)

Задание 4.2 Найти производные неявной и параметрической функций.

 

4.2.1

а)

б)

 

4.2.2

а)

б)

 

4.2.3

а)

 

б)

 

4.2.4

а)

 

б)

 

4.2.5

а)

б)

 

4.2.6

а)

б)

 

4.2.7

а)

б)

 

4.2.8

а)

б)

4.2.9

а)

б)

 

4.2.10

а)

б)

Задание № 4.3 Найти предел функции с помощью правила Лопиталя или эквивалентных бесконечно малых.

Решение о выборе метода принять самостоятельно.

 

4.3.1

4.3.2

4.3.3

4.3.4

4.3.5

4.3.6

4.3.7

4.3.8

4.3.9

4.3.10

 

 

Задание 4.4 Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке Выполнить чертёж.

 

4.4.1

4.4.2

4.4.3

4.4.4

4.4.5

4.4.6

4.4.7

4.4.8

4.4.9

4.4.10

Тема №5

Исследование функций

 

Задание 5.1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

5.1.1

5.1.2

5.1.3

5.1.4

5.1.5

5.1.6

5.1.7

5.1.8

5.1.9

5.1.10

 

Задание 5.2 Исследовать методами дифференциального исчисления функции и построить их графики.

5.2.1

a)

b)

5.2.2

a)

b)

5.2.3

a)

b)

5.2.4

a)

b)

5.2.5

a)

b)

5.2.6

a)

b)

5.2.7

a)

b)

5.2.8

a)

b)

5.2.9

a)

b)

5.2.10

a)

b)

Тема №6

Функции нескольких переменных

Задание 6.1 Найти частные производные:

а) первого порядка;

b) второго порядка.

 

6.1.1

a) ;

b) .

 

6.1.2

a) ;

b) .

6.1.3

a) ;

b) .

 

6.1.4

a) ;

b) .

6.1.5

a) ;

b) .

 

6.1.6

a) ;

b) .

6.1.7

a) ;

b) .

 

6.1.8

a) ;

b) .

6.1.9

a) ;

b) .

 

 

6.1.10

a) ;

b) .

Задание 6.2 Для заданной поверхности составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке М(x₀,y₀,z₀).

 

6.2.1. , М(2; -3; 1).

6.2.2. , М(2; 3; 4).

6.2.3. , М(2; 0; -2).

6.2.4. , М(4; 1; -2).

6.2.5. , М(-1; 2; 6).

6.2.6. , М(4; 1; -4).

6.2.7. , М(0; 2; 3).

6.2.8. , М(2; -3; 2).

6.2.9. , М(1; 2; -1).

6.2.10. , М(2; -3; 1).

 

Задание 6.3 Исследовать функцию на экстремум.

 

6.3.1 .

6.3.2 .

6.3.3 .

6.3.4 .

6.3.5 .

6.3.6 .

6.3.7 .

6.3.8 .

6.3.9 .

6.3.10 .

 

Задание 6.4 Для функции найти градиент и производную по направлению в точке .

 

6.4.1 ,

6.4.2 ,

6.4.3 .

6.4.4 ,

6.4.5 ,

6.4.6 ,

6.4.7 ,

6.4.8 ,

6.4.9 ,

6.4.10 ,

 

 

Тема №7

Неопределённые и определённые интегралы

Задание 7.1 Вычислить неопределённые интегралы.

 

7.1.1

a) ;

b) ;

c) .

7.1.2

a) ;

b) ;

c) .

7.1.3

a) ;

b) ;

c) .

7.1.4

a) ;

b) ;

c) .

 

7.1.5

a) ;

b) ;

c) .

7.1.6

a) ;

b) ;

c) .

7.1.7

a) ;

b) ;

c) .

7.1.8

a) ;

b) ;

c) .

7.1.9

a) ;

b) ;

c) .

7.1.10

a) ;

b) ;

c) .

Задание 7.2 Вычислить определенные интегралы (в пункте b) использовать универсальную тригонометрическую подстановку ).

 

7.2.1

a) ;

b) .

 

7.2.2

a) ;

b) .

 

 

7.2.3

a) ;

b) .

7.2.4

a) ;

b) .

 

7.2.5

a) ;

b) .

7.2.6

a) ;

b) .

 

 

7.2.7

a) ;

b) .

7.2.8

a) ;