Задача ДР-4. (Письм., № 1.26, стр. 39).

В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-ой шар окажется белым при условии, что первый шар был черным?

Решение:

Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А = {1-ый шар черный}, В = {2-ой шар белый}. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых.

Поэтому

2. Найдем Р(В|А) по формуле (1.22). очевидно, что найдем Р(АВ): общее число исходов (появление двух шаров) n = 9∙8 = 72. событию АВ благоприятствуют исходов. Поэтому Следовательно,

Задача 5. (Письм., № 1.26, стр. 39).

В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наугад последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-ый шар будет белым, 2-ой – синим, 3-ий – черным?

Решение. Введем следующие события: А₁- первым вытащили белый шар, А₂- вторым – синий, А₃- третьим – черный.

Тогда интересующее нас событие представится в виде А= А₁∙А₂∙А₃. По правилу умножения вероятностей Р(А) = Р(А₁)∙ Р(А₂| А₁) ∙Р(А₃| А₁ А₂).

Но Р(А₁)=4/9; Р(А₂| А₁)= 3/8, так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А₂ равно 3; Р(А₃| А₁∙ А₂) = 2/7, так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, искомая вероятность равна

 

Задача 6. (Зарубин, № 3.18, стр. 110).

Каждая буква слова «МАТЕМАТИКА» написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются 4 карточки. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕМА».

Решение:

Пусть А₁, А₂, А₃ и А₄ – события, состоящие в последовательном извлечении букв «Т», «Е», «М», «А». Тогда соответствующие вероятности равны:

Так как эти события совместные, то согласно формуле умножения вероятностей (1.25) получим

 

Задача 7.

Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и 3-х цифр. Чему равна вероятность, что вор с первого раза наберет его верно?

Решение. Пусть событие А-{вор набрал правильную букву}, событие В-{вор все 3 цифры набрал правильно }, событие С -{ шифр набран правильно}. Набор каждой буквы и каждой цифры – события равновероятные. Поэтому Р(А) = 1/33, Р(В) = (1/10)³. так как события независимы, искомая вероятность равна Р(С)=Р(А)∙Р(В) = 1/33∙(1/10) ³.

Задача 8.

Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (1.15) Р(А) = 1 – qⁿ.

По условию Р(А) = 0,936; n = 3. Следовательно,

0,936 = 1 - q³, или q³ = 1 – 0,936 = 0,064.

Отсюда q = =0,4. Искомая вероятность р =1–q =1– 0,4 = 0,6.

 

Решение:

S_∆

P (A) = ——

S_кр.

a

AD = ― = R*Cos 30°

a = 2*R*Cos 30° = 2*R* ― = R

 

1 3

h = R + OD = R + R*Sin 30° = R + – R = – R

2 2

1 3 3

S_∆ = –– R* — R = ―― R²

2 2 4

 

3 R² 3

P (A) = —―— = ―― ≈ 0,41

4 ¶ R² 4 ¶

 

 

Задача 5.

В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60% из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, во втором цехе – 95%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной.

Решение:

P(H₁) = 0,4 P(A/H₁) = 0,9

P(H₂) = 0,6 P(A/H₂) = 0,95

 

P(A) = P(H₁)* P(A/H₁) + P(H₂)* P(A/H₂) = 0,4*0,9 + 0,6*0,95 = 0,93

 

Задача 6.

В предыдущем примере найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом.

P(H₂)* P(A/H₂) 0,6*0,95

P(H₂/A) = ———————― = ―――――――― = 0,61

∑ P(H_i)* P(A/H_i) 0,4*0,9 + 0,6*0,95

i=1,2

 

Задача 7.

Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0,9. Какова вероятность:

1) промаха;

2) одного попадания;

3) двух попаданий;

4) трех попаданий;

5) хотя бы одного попадания.

Решение:

1) A={промах}

P() = 0,9

P(A) = P(, , ) = (0,1)³ = 0,001

 

2) P(B) = P(A₁, , ) + P(, A₂, ) + P(, , A₃) = 0,9*(0,1)² + +0,009 + 0,009 = 0,027

 

3) P( BC) + P(A C) + P(AB ) = 0,1*0,9²*3 = 0,243

 

4) P(ABC) = (0,9)³ = 0,729

 

5) P(A) = 1 – P()* P()* P() = 1 – 0,1*0,1*0,1 = 0,999

 

Задача 8.

В миасском филиале обучается 300 студентов. Предполагая, что вероятность родиться в каждый день года одинакова, найдем вероятность того, что 80 студентов будет праздновать дни рождения летом.

Решение:

1) вероятность того, что не более 80 студентов будет праздновать дни рождения летом:

n = 300

p = 90/365 = 0,247, g = 0,753

k₁ = 0, k₂ = 80

 

P₃₀₀(0;80) = Ф(х₂) – Ф(x₁)

k₁ - np 0 – 300*0,247

x₁ = ———― = ――――――――― = - 9,92

 

 

K₂ - np 80 – 300*0,247

x₁ = ———― = ――――――――― = 0,7898

 

Ф (- 9,92) = - Ф (9,92) = - 0,5

Ф (0,7898) = 0,2852

P₃₀₀(0;80) = 0,2852 – (- 0,5) = 0,7852

 

2) вероятность того, что 80 студентов будет праздновать дни рождения летом:

n = 300

p = 90/365 = 0,247, g = 0,753

k = 80

P_n (k) = ――* φ (x)

1 1

P₃₀₀ (80) = ——————――* φ (x) = ———* φ (x) = 0,13387*φ (x)

7,4698

 

k - np 80 – 300*0,247

x = ———― = ――――――――― = 0,7898

 

φ (0,7898) = 0,2852

P₃₀₀ (80) = 0,13387*0,2852 = 0,03818

 

Задача 9.

Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться 0.002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4 бутылок.

Решение:

n = 1500,

p = 0,002,

k

e ~ 2,71828

λ^k

P_n(k) ~ ―― e^-λ

k!

 

λ = 1500*0,002 = 3

P₁₅₀₀(k ) = P₁₅₀₀(0) + P₁₅₀₀(1) + P₁₅₀₀(2) + P₁₅₀₀(3) + P₁₅₀₀(4)

3⁰

P₁₅₀₀(0) = — e^-3 = 0,043787

0!

 

3¹

P₁₅₀₀(1) = ― e^-3 = 0,14936

1!

 

3²

P₁₅₀₀(2) = — e^-3 = 0,2240

2!

 

3³

P₁₅₀₀(3) = ― e^-3 = 0,2240

3!

 

3⁴

P₁₅₀₀(4) = — e^-3 = 0,16803

4!

 

P₁₅₀₀(k ) = 0,043787 + 0,14936 + 0,2240 + 0,2240 + 0,16803 = 0,815177

 

Задача 10.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение:

n = 200, k = 160, p = 0,7, q = 0,3

 

P_n (k) = ――* φ (x)

P₂₀₀(160) = ―――――― * φ (x) = 0,154*φ (x)

 

k - np 160 – 200*0,7

x = ———― = ――――――――― = 3,086 ~ 3,09

 

 

φ (3,09) = 0,0034

 

P₂₀₀(160) = 0,154*0,0034 = 0,0005236

 

 

Задача 11.

Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха, если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия изделий бракуется. Какова вероятность того, что партия будет принята.

Решение:

p = 0,04, q = 0,96, n = 200, k₁ = 0, k₂ = 10

 

P₂₀₀(0;10) = Ф(х₂) – Ф(х₁)

 

 

k₁ - np 0 – 200*0,04

x₁ = ———― = ――――――――― = - 2,89

 

 

K₂ - np 10 – 200*0,04

x₁ = ———― = ――――――――― = 0,72

 

Ф(-2,89) = - Ф(2,89) = - 0,4980

Ф(0,72) = 0,2642

P₂₀₀(0;10) = 0,2642 – (- 0,4980) = 0,7622

 

Задача 12.

По условию задачи 4 (про 8 шаров) найти функцию распределения и построить ее график.