В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.

Задача ДР-1. (Письм., 1-20, с.29)

В коробке 5 синих, 4 красных, 3 зеленых карандаша. Наугад вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все карандаши одного цвета;

б) все карандаши разных цветов; в) вынуты 2 синих и 1 зеленый карандаш.

Решение:

Рассмотрим некоторое событие А. Вероятность наступления этого события , где n - общее число элементарных событий, m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. Сначала найдем общее число элементарных событий – число способов выбрать 3 карандаша из 12 имеющихся .

Теперь найдем значения m для рассматриваемых событий.

a) Пусть событие А = {три карандаша, вынутые из коробки, одного цвета}. Выбрать3 синих карандаша из 5 можно способами; 3 красных их 4 можно выбрать способами; 3 зеленых из 3 зеленых - способами.

Так как эти события – выбрать карандаши разных цветов – несовместные, то .

Следовательно,

б) Пусть событие В = {три вынутых карандаша разных цветов}. Так как события {выбрать по одному карандашу каждого цвета} совместные, то число исходов, благоприятствующих появлению события В равно .

Искомая вероятность равна

в) Пусть событие С = {из трех вынутых карандашей 2 синих и 1 зеленый }. Выбрать 2 синих карандаша из 5 имеющихся можно выбрать способами, а 1 зеленый из имеющихся трех зеленых - . Так как эти события совместные, то число исходов, благоприятствующих появлению события А, равно . Искомая вероятность равна

 

Задача ДР-2.. (Письм., 1-20, с.29)

Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются 3 карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются 6 карточек и располагаются в ряд в порядке их появления.

Решение:

а) Из шести букв можно составить трехбуквенных слов (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ и т.д.). Слово ЛОМ может появиться только при одном варианте, то есть, m_A=1. Поэтому вероятность события А={появилось слово ЛОМ} равна

б) Шестибуквенные слова отличаются друг от друга только порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛМИЯН и т.д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, то есть, . Слову МОЛНИЯ (событие В) благоприятствует только m_B=1 вариант. Искомая вероятность события В равна

 

 

Задача ДР-3.

В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.

 

Решение.

 

 

Пусть событие А = {брошенная точка попала в треугольник}. Так как исходы опыта равновозможны, можно применить геометрическое определение вероятности, то есть искомую вероятность определить как отношение площади треугольника к площади круга:

Площадь круга.

Сторона треугольника равна ;

высота треугольника

Площадь треугольника

Искомая вероятность

 

Задача ДР-4. (Письм., № 1.26, стр. 39).

В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из нее последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2-ой шар окажется белым при условии, что первый шар был черным?

Решение:

Решим задачу двумя способами.

1. Пусть А = {1-ый шар черный}, В = {2-ой шар белый}. Так как событие А произошло, то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых.

Поэтому

2. Найдем Р(В|А) по формуле (1.22). очевидно, что найдем Р(АВ): общее число исходов (появление двух шаров) n = 9∙8 = 72. событию АВ благоприятствуют исходов. Поэтому Следовательно,

Задача 5. (Письм., № 1.26, стр. 39).

В коробке находится 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наугад последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-ый шар будет белым, 2-ой – синим, 3-ий – черным?

Решение. Введем следующие события: А₁- первым вытащили белый шар, А₂- вторым – синий, А₃- третьим – черный.

Тогда интересующее нас событие представится в виде А= А₁∙А₂∙А₃. По правилу умножения вероятностей Р(А) = Р(А₁)∙ Р(А₂| А₁) ∙Р(А₃| А₁ А₂).

Но Р(А₁)=4/9; Р(А₂| А₁)= 3/8, так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события А₂ равно 3; Р(А₃| А₁∙ А₂) = 2/7, так как уже два шара (белый и синий) вытащены. Следовательно, искомая вероятность равна

 

Задача 6. (Зарубин, № 3.18, стр. 110).

Каждая буква слова «МАТЕМАТИКА» написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекаются 4 карточки. Найти вероятность того, что при этом получится слово «ТЕМА».

Решение:

Пусть А₁, А₂, А₃ и А₄ – события, состоящие в последовательном извлечении букв «Т», «Е», «М», «А». Тогда соответствующие вероятности равны:

Так как эти события совместные, то согласно формуле умножения вероятностей (1.25) получим

 

Задача 7.

Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых в совокупности испытаниях, равна 0,936. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же).

Решение. Так как рассматриваемые события независимы в совокупности, то применима формула (1.15) Р(А) = 1 – qⁿ.

По условию Р(А) = 0,936; n = 3. Следовательно,

0,936 = 1 - q³, или q³ = 1 – 0,936 = 0,064.

Отсюда q = =0,4. Искомая вероятность р =1–q =1– 0,4 = 0,6.

 

Решение:

S_∆

P (A) = ——

S_кр.

a

AD = ― = R*Cos 30°

a = 2*R*Cos 30° = 2*R* ― = R

 

1 3

h = R + OD = R + R*Sin 30° = R + – R = – R

2 2

1 3 3

S_∆ = –– R* — R = ―― R²

2 2 4

 

3 R² 3

P (A) = —―— = ―― ≈ 0,41

4 ¶ R² 4 ¶

 

 

Задача 5.

В сборочный цех завода поступает 40% деталей из первого цеха и 60% из второго цеха. В первом цехе производится 90% стандартных деталей, во втором цехе – 95%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется стандартной.

Решение:

P(H₁) = 0,4 P(A/H₁) = 0,9

P(H₂) = 0,6 P(A/H₂) = 0,95

 

P(A) = P(H₁)* P(A/H₁) + P(H₂)* P(A/H₂) = 0,4*0,9 + 0,6*0,95 = 0,93

 

Задача 6.

В предыдущем примере найти вероятность того, что эта стандартная деталь изготовлена вторым цехом.

P(H₂)* P(A/H₂) 0,6*0,95

P(H₂/A) = ———————― = ―――――――― = 0,61

∑ P(H_i)* P(A/H_i) 0,4*0,9 + 0,6*0,95

i=1,2

 

Задача 7.

Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны 0,9. Какова вероятность:

1) промаха;

2) одного попадания;

3) двух попаданий;

4) трех попаданий;

5) хотя бы одного попадания.

Решение:

1) A={промах}

P() = 0,9

P(A) = P(, , ) = (0,1)³ = 0,001

 

2) P(B) = P(A₁, , ) + P(, A₂, ) + P(, , A₃) = 0,9*(0,1)² + +0,009 + 0,009 = 0,027

 

3) P( BC) + P(A C) + P(AB ) = 0,1*0,9²*3 = 0,243

 

4) P(ABC) = (0,9)³ = 0,729

 

5) P(A) = 1 – P()* P()* P() = 1 – 0,1*0,1*0,1 = 0,999

 

Задача 8.

В миасском филиале обучается 300 студентов. Предполагая, что вероятность родиться в каждый день года одинакова, найдем вероятность того, что 80 студентов будет праздновать дни рождения летом.

Решение:

1) вероятность того, что не более 80 студентов будет праздновать дни рождения летом:

n = 300

p = 90/365 = 0,247, g = 0,753

k₁ = 0, k₂ = 80

 

P₃₀₀(0;80) = Ф(х₂) – Ф(x₁)

k₁ - np 0 – 300*0,247

x₁ = ———― = ――――――――― = - 9,92

 

 

K₂ - np 80 – 300*0,247

x₁ = ———― = ――――――――― = 0,7898

 

Ф (- 9,92) = - Ф (9,92) = - 0,5

Ф (0,7898) = 0,2852

P₃₀₀(0;80) = 0,2852 – (- 0,5) = 0,7852

 

2) вероятность того, что 80 студентов будет праздновать дни рождения летом:

n = 300

p = 90/365 = 0,247, g = 0,753

k = 80

P_n (k) = ――* φ (x)

1 1

P₃₀₀ (80) = ——————――* φ (x) = ———* φ (x) = 0,13387*φ (x)

7,4698

 

k - np 80 – 300*0,247

x = ———― = ――――――――― = 0,7898

 

φ (0,7898) = 0,2852

P₃₀₀ (80) = 0,13387*0,2852 = 0,03818

 

Задача 9.

Завод «Золотая балка» (Крым) отправил в Москву 1500 бутылок вина «Каберне». Вероятность того, что в пути бутылка может разбиться 0.002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито не более 4 бутылок.

Решение:

n = 1500,

p = 0,002,

k

e ~ 2,71828

λ^k

P_n(k) ~ ―― e^-λ

k!

 

λ = 1500*0,002 = 3

P₁₅₀₀(k ) = P₁₅₀₀(0) + P₁₅₀₀(1) + P₁₅₀₀(2) + P₁₅₀₀(3) + P₁₅₀₀(4)

3⁰

P₁₅₀₀(0) = — e^-3 = 0,043787

0!

 

3¹

P₁₅₀₀(1) = ― e^-3 = 0,14936

1!

 

3²

P₁₅₀₀(2) = — e^-3 = 0,2240

2!

 

3³

P₁₅₀₀(3) = ― e^-3 = 0,2240

3!

 

3⁴

P₁₅₀₀(4) = — e^-3 = 0,16803

4!

 

P₁₅₀₀(k ) = 0,043787 + 0,14936 + 0,2240 + 0,2240 + 0,16803 = 0,815177

 

Задача 10.

Задача 11.

Проверкой установлено, что цех в среднем выпускает 96% продукции высшего сорта. На базе приемщик проверяет 200 изделий этого цеха, если среди них окажется более 10 изделий не высшего сорта, то вся партия изделий бракуется. Какова вероятность того, что партия будет принята.

Решение:

p = 0,04, q = 0,96, n = 200, k₁ = 0, k₂ = 10

 

P₂₀₀(0;10) = Ф(х₂) – Ф(х₁)

 

 

k₁ - np 0 – 200*0,04

x₁ = ———― = ――――――――― = - 2,89

 

 

K₂ - np 10 – 200*0,04

x₁ = ———― = ――――――――― = 0,72

 

Ф(-2,89) = - Ф(2,89) = - 0,4980

Ф(0,72) = 0,2642

P₂₀₀(0;10) = 0,2642 – (- 0,4980) = 0,7622

 

Задача 12.

По условию задачи 4 (про 8 шаров) найти функцию распределения и построить ее график.

Задача 13.

Задача 14.

Производится 3 независимых выстрела по цели. Вероятности попадания при разных выстрелах одинаковы и равны р = 0,9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины – числа попаданий. Решить эту задачу в случае, если вероятности попадания при разных выстрелах различны, а именно: р₁ = 0,7; р₂ = 0,8; р₃ = 0,9.

Решение:

1) P(x = 0) = (0,1)³*0,9⁰ = 0,001

P(x = 1) = 0,9*(0,1)² = 0,009

P(x = 2) = 0,9²*0,1 = 0,081

P(x = 3) = 0,9³*0,1⁰ = 0,729

 

X
P	0,001	0,009	0,081	0,729

М(Х) = 0*0,001 + 1*0,009 + 2*0,081 + 3*0,729 = 2,358

D(X) = ∑ x_i²*p_i – a²

_i=1,n

 

D(X) = 0²*0,001 + 1²*0,009 + 2²*0,081 + 3²*0,729 – (2,358)² = 0,009 + 0,324 + +6,561 – 5,560164 = 1,333836

 

2) p₁ = 0,7; p₂ = 0,8; p₃ = 0,9

q₁ = 0,3; q₂ = 0,2; q₃ = 0,1

P(x = 1) = P(, ,A₃) + P(, A₂ , ) + P(A₁, , ) = 0,3*0,2*0,9 + +0,3*0,8*0,1 + 0,7*0,2*0,1 = 0,092

 

P(x = 2) = P(, A₂ ,A₃) + P(A₁, ,A₃) + P(A₁, A₂ , ) = 0,3*0,8*0,9 + +0,7*0,2*0,9 + 0,7*0,8*0,1 = 0,397

 

P(x = 3) = P(A₁, A₂ ,A₃) = 0,7*0,8*0,9 = 0,504

 

X
P	0,006	0,092	0,397	0,504

 

M(X) = 0*0,006 + 1*0,092 + 2*0,397 + 3*0,504 = 2,398

D(X) = 1²*0,092 + 2²*0,397 + 3²*0,504 – (2,398)² = 0,092 + 1,588 + 4,536 –

-(2,398)² = 0,655836

Задача 15.

Задача 16.

Задача 17.

В группе из 21 студента 5 девушек. Из этой группы наугад отбирается 3 студента. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа девушек из отобранных студентов. Найти математическое ожидание случайной величины.

Решение:

N = 21

M = 5

N = 3

 

P (X = m) =

 

P (X = 0) = = = 0,421053

 

P (X = 1) = = = 0,451128

 

P (X = 2) = = = 0,1203008

 

P (X = 3) = = = 0,007519

 

X
P	0,421053	0,451128	0,1203008	0,007519

Проверка: 0,421053 + 0,451128 + 0,1203008 + 0,007519 = 1,0000008

 

M(X) = n* = 3* = 0,714286

 

 

Задача 18.

Случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х 0

F(X) = 3х² + 2х при 0 х 1/3

1 при х 1/3

Найти: а) плотность вероятности;

б) математическое ожидание;

в) D(X);

г) ;

д) вероятность попадания случайной величины в интервал (0,1; 0,2);

Задача ДР-1. (Письм., 1-20, с.29)

В коробке 5 синих, 4 красных, 3 зеленых карандаша. Наугад вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: а) все карандаши одного цвета;

б) все карандаши разных цветов; в) вынуты 2 синих и 1 зеленый карандаш.

Решение:

Рассмотрим некоторое событие А. Вероятность наступления этого события , где n - общее число элементарных событий, m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. Сначала найдем общее число элементарных событий – число способов выбрать 3 карандаша из 12 имеющихся .

Теперь найдем значения m для рассматриваемых событий.

a) Пусть событие А = {три карандаша, вынутые из коробки, одного цвета}. Выбрать3 синих карандаша из 5 можно способами; 3 красных их 4 можно выбрать способами; 3 зеленых из 3 зеленых - способами.

Так как эти события – выбрать карандаши разных цветов – несовместные, то .

Следовательно,

б) Пусть событие В = {три вынутых карандаша разных цветов}. Так как события {выбрать по одному карандашу каждого цвета} совместные, то число исходов, благоприятствующих появлению события В равно .

Искомая вероятность равна

в) Пусть событие С = {из трех вынутых карандашей 2 синих и 1 зеленый }. Выбрать 2 синих карандаша из 5 имеющихся можно выбрать способами, а 1 зеленый из имеющихся трех зеленых - . Так как эти события совместные, то число исходов, благоприятствующих появлению события А, равно . Искомая вероятность равна

 

Задача ДР-2.. (Письм., 1-20, с.29)

Дано 6 карточек с буквами Н, М, И, Я, Л, О. Найти вероятность того, что: а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются 3 карточки; б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются 6 карточек и располагаются в ряд в порядке их появления.

Решение:

а) Из шести букв можно составить трехбуквенных слов (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ и т.д.). Слово ЛОМ может появиться только при одном варианте, то есть, m_A=1. Поэтому вероятность события А={появилось слово ЛОМ} равна

б) Шестибуквенные слова отличаются друг от друга только порядком расположения букв (НОЛМИЯ, ЯНОЛИМ, ОЛМИЯН и т.д.). Их число равно числу перестановок из 6 букв, то есть, . Слову МОЛНИЯ (событие В) благоприятствует только m_B=1 вариант. Искомая вероятность события В равна

 

 

Задача ДР-3.

В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что точка, брошенная в этот круг, попадет в данный треугольник.

 

Решение.

 

 

Пусть событие А = {брошенная точка попала в треугольник}. Так как исходы опыта равновозможны, можно применить геометрическое определение вероятности, то есть искомую вероятность определить как отношение площади треугольника к площади круга:

Площадь круга.

Сторона треугольника равна ;

высота треугольника

Площадь треугольника

Искомая вероятность