Ставка i называется эффективной годовой ставкой.

Она дает тот же финансовый результат, что и номинальная ставка j при m-разовом начислении в году.

Это наиболее часто используемая ставка среди всех эквивалентных ставок.

Задача 8.

Рассчитать накопленную сумму процентов за 1 год, если начальный капитал К = 1000 руб., годовая ставка j = 10%, при ежегодном, полугодовом, квартальном, ежемесячном, ежедневном и непрерывном начислении процентов. Найти базисные и цепные наращения. Для каждого случая рассчитать эффективные ставки и сделать по ним начисления на ту же сумму начального капитала.

 

Решение:

Начальный капитал К	Частота начисления процентов в году m	Наращенная сумма	Базисное наращение (сравнение с ежегодным начислением процентов)	Цепное наращение (сравнение по цепочке с предыдущим начислением)
	ежегодное (m = 1)		-	-
	полугодовое (m = 2)	1102,50	1102,5-1100 = 2,50	2,50
	квартальное (m = 4)	1103,81	1103,81-1100 = 3,81	1103,81-1102,50 = 1,31
	ежемесячное (m =12)	1104,71	4,71	1104,71-1103,81 = 0,90
	ежедневное (m =365)	1105,16	5,16	0,45
	непрерывное (m = ¥)	1105,17= 1000×e	5,17	0,01

 

 

Рассчитаем эффективные ставки:

и сделаем начисление на 1000 руб. по эффективной ставке, , n = 1год.

 

Число начислений m	m=1	m=2	m=4	m=12	m=365	m=¥
Эффективная ставка i	0,1	0,1025	0,10381	0,10471	0,10516	0,10517
Наращенная сумма		1102,50	1103,81	1047,1	1051,6	1051,7

 

Сравните наращенные суммы в таблицах. Они одинаковы, что по эффективной ставке, что по номинальной ставке при определенном числе начислений процентов в году.

Этот факт следует из понятия эквивалентных ставок: они обязаны давать одинаковый финансовый результат.

 

Основные уравнения эквивалентности

1. Простой процентной ставки i и простой учетной ставки d:

;

2. Простых и сложных ставок:

 

а) Простой процентной ставки i и сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов в году:

б) Простой процентной ставки i и сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов в году:

3. Сложной процентной ставки j и сложной учетной ставки f:

 

4. Сложных и непрерывных ставок:

а) Сложной ставки i и непрерывной ставкиd:

б) Сложной процентной ставки j при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставкиd:

в) Сложной учетной ставки f при m-разовом начислении процентов и непрерывной ставкиd:

 

Из каждого соотношения при любой известной ставке можно найти эквивалентную ей ставку.

 

Задача 9.

Найти номинальную процентную ставку, если полугодовая эффективная ставка 6 %.

 

Решение:

 

Из уравнения эквивалентности номинальной j и эффективной i ставок найдем j:

,

 

Þ Заметьте: номинальная годовая ставка всегда чуть меньше эффективной.

 

Задача 10.

Найти эквивалентную учетную ставку d для сложной годовой ставки j=0,12 при квартальном начислении процентов(m=4). Начислить проценты по обеим ставкам на 1000 руб. Сравнить результаты (Срок n=1 год).

Решение:

Уравнение эквивалентности:

 

.

Наращенная сумма по сложной годовой процентной ставке j=12% при квартальном начислении процентов:

руб.,

Наращенная сумма по эквивалентной сложной годовой учетной ставке f =11,65% при квартальном начислении процентов:

 

руб.

 

Естественно, что , т.к. эквивалентные ставки дают одинаковое наращение.

 

Задача 12.

Годовая ставка сложных процентов равна 15%. Чему равна эквивалентная сила роста?

Решение:

Воспользуемся уравнением эквивалентности сложной и непрерывной ставок:

Найдем из этого уравнения непрерывную ставку.

Непрерывная ставка d=13,976% и сложная ставка I=15% дают одинаковый финансовый результат. Например, при начальном капитале K=2000 руб., сроке n=4 года, имеем

 

Инфляция

Инфляция – это обесценивание денег.

В экономике различают более 20 видов инфляции: инфляция, связанная с эмиссией денег; с большими кредитными расходами; превышения спроса над предложением; с ожиданием роста цен; с изменение цен на сырье; с ростом заработной платы и т.д.

Различают скрытую и открытую инфляции. Скрытой инфляции присущи дефицит товаров, отложенный спрос и постоянные цены. При открытой инфляции освобождаются цены и растут доходы.

Освобождение цен при накопившихся излишках денег ускоряет обращение денег в десятки раз в связи с боязнью населения нового витка повышения цен, что приводит к гиперинфляции.

Дефляция – сдерживание обесценивания денег или мероприятия по ограничению денежной массы в обращении. Осуществляется путем увеличения налогов, повышения процентных ставок, ограничения кредитов, снижения роста заработной платы, ограничения продажи ценных государственных бумаг на открытом рынке.

 

Характеристики инфляции

1. Индекс цен I_p или индекс покупательной способности .

Индекс цен показывает, во сколько раз приросли цены за соответствующий период. Индекс покупательной способности показывает, во сколько раз уменьшилась покупательная способность за этот же период.

Например, пусть сегодня получены 5000 руб. Известно, что за три предшествующих года цены возросли в 5 раз, т.е. , тогда и реальная стоимость С сегодняшних денег в деньгах трехлетней давности

С = 5000× = 1000 руб.

 

2. Темп инфляции Н - относительный прирост цен за период. Измеряется в %, находится по формуле: .

Следовательно, .

Например, если цены увеличились в 2 раза, то их прирост составил

И наоборот, если темп прироста цен составил 70%, то цены увеличились в

3. Среднегодовой темп роста цен , среднегодовой темп инфляции .

Если рассматривается индекс цен за несколько периодов, то

.

Если , то .

Задача 9.

Темп инфляции h=10% в месяц. Найти рост цен за год и годовой темп инфляции.

Решение:

т.е. цены выросли за год в 3,1384 раза

Задача 10.

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти темп инфляции за эти месяцы.

Решение:

Два случая учета инфляции

Первый случай учета инфляции: при расчете наращенной суммы.

Пусть S - наращенная сумма, С - та же сумма с учетом инфляции. .

Конкретизируем формулу:

 

Для простых процентов:

Наращенная сумма простых процентов .

Тогда .

 

Для сложных процентов:

Наращенная сумма сложных процентов . Тогда

.

Если i > - реальный рост суммы денег;

если i < - “эрозия” капитала, нет реального роста денег;

если i = - наращение поглощается инфляцией.

 

Задача 11.

Последовательный прирост цен за 3 месяца составил 25%, 20%, 18%. Найти реальную сумму 1,5 млн. руб., накопленные проценты и инфляционную сумму, реальный доход, реальную доходность, если наращение идет по ставке i=50% а) сложных годовых, б) простых процентов.

Решение:

Индекс инфляции найден в задаче 10. Цены за 3 месяца увеличились в 1,77 раз.

Рассчитаем реальную сумму 1,5 млн. руб.

 

А) по сложным процентам:

Наращенная сумма по сложным процентам

млн. руб.

млн. руб. - реальная стоимость 1,66 млн. руб. с учетом инфляции

 

Накопленные проценты I = S – K = 1,66 – 1,5 = 0,16 млн. руб.;

 

инфляционная сумма (сумма, которую “съела” инфляция) K_h = S – C = 1,66 – 0,938 = 0,722 млн. руб.;

 

реальный доход I₁ = C – K = 0,938 – 1,5 = - 0,562 млн. руб.;

 

реальная доходность

 

Сложная годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает отрицательную годовую доходность 150%.

 

б) По простым процентам:

Наращенная сумма по простым процентам

млн. руб.

млн. руб. - реальная стоимость 1,6875 млн. руб. с учетом инфляции по простым процентам.

 

Накопленные проценты млн. руб.;

инфляционная сумма млн. руб.;

 

реальный доход I₁ = C – K = 0,953 – 1,5 = – 0,547 млн. руб.;

реальная доходность

 

Простая годовая ставка 50% при трехмесячной инфляции 77% дает годовую отрицательную доходность 146%.

Второй случай учета инфляции: при измерении эффективности (доходности) финансовойоперации

 

В этом случае применяется индексация процентной ставки, которая сводится к увеличению ставки процентов на величину, так называемой, инфляционной премии.

 

Назовем ставку с поправкой на инфляцию брутто-ставкой и обозначим ее r (ставка i + маржа).

Для нахождения брутто-ставки составляется уравнение эквивалентности множителей наращения по брутто-ставке и по ставке i с учетом инфляции.

Рассчитаем брутто-ставки:

 

1. Для простых процентов:

Уравнение эквивалентности имеет вид:

реальная ставка

 

2. Для сложных процентов:

Уравнение эквивалентности имеет вид: ,

реальная ставка

Задача 12.

Продолжим решать задачу 11. В условиях этой задачи рассчитаем брутто-ставки для годовой простой и сложной ставки 50%.

а) Брутто - ставка простых процентов

 

Простая годовая ставка 396,5% годовых компенсирует инфляцию и дает реальный доход 50% годовых.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке:

 

млн. руб.

 

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

 

млн. руб.

б) Брутто-ставка сложных процентов

 

Т.к. ставка i – годовая ставка, то темп инфляции должен быть рассчитан за год.

- на столько процентов увеличились цены за год.

 

Годовая сложная брутто-ставка r= 1372,25% компенсирует инфляцию и дает годовой доход 50%.

Проверка:

1) Наращенная сумма денег с учетом инфляции по брутто-ставке r:

млн.руб.

2) Наращенная сумма по ставке i без учета инфляции:

млн. руб.

 

Модуль 3. Консолидация и пролонгация финансовых обязательств