Колебания с несколькими степенями свободы

Системами с n степенями свободы принято в динамике называть такие системы, для полной фиксации геометрического состояния которых в любой момент времени требуется задать n параметров, например положение (прогибы) n точек. Положение прочих точек определяется обычными статическими приемами.

Примером системы с n степенями свободы может служить балка или плоская рама, если массы ее отдельных частей или элементов условно (для облегчения динамического расчета) считаются сосредоточенными в n точках, или если она несет n больших масс (двигатели, моторы), по сравнению с которыми возможно пренебречь собственным весом элементов. Если отдельные сосредоточенные («точечные») массы могут при колебаниях совершать перемещения по двум направлениям, то число степеней свободы системы будет равно числу связей, которые следует наложить на систему, чтобы ликвидировать смещения всех масс.

Если вывести из равновесия систему с n степенями свободы, то она будет совершать свободные колебания, причем каждая «точка» (масса) будет совершать сложные полигармонические колебания типа:

Число собственных частот системы равно числу ее степеней свободы.

 

Билет №13

Колебания в цепочке из N -осцилляторов.

 

 

Билет №14

Вывод волнового уравнения.

Волновое уравнение

 

Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями первого порядка по координатам и времени. Однако, во второй паре в каждое уравнение входят обе неизвестные векторные функции Е и В При отсутствии зарядов и токов можно перейти к уравнениям второго порядка, каждое из которых зависит только от одного, электрического или магнитного поля:

Такие уравнения называются волновыми.

Вывод волнового уравнения

В лоренцевской калибровке в отсутствие зарядов и токов волновому уравнению удовлетворяют также векторный и скалярный потенциалы:

Величина входящая в волновые уравнения определяет скорость распространения электромагнитных полей в среде. Её максимальное значение достигается в вакууме, когда и

 

 

Билет №15

Понятие волны. Фазовая и групповая скорость волны.

 

Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» - то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной. В случае рассмотрения распространения волн в пространстве размерностью больше единицы подразумевается как правило волновой пакет близкий по форме к плоской волне.

Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации. Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля итп). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).

Фа́зоваяско́рость — скорость перемещения точки, обладающей постоянной фазой колебательного движения, в пространстве вдоль заданного направления. Обычно рассматривают направление, совпадающее с направлением волнового вектора, и фазовой называют скорость, измеренную именно в этом направлении, если противное не указано явно (то есть если явно не указано направление, отличное от направления волнового вектора). Фазовая скорость по направлению волнового вектора совпадает со скоростью движения фазового фронта (поверхности постоянной фазы). Ее можно рассматривать при желании как векторную величину.

 

Билет №16

Эффект Доплера.

Если источник волн движется относительно среды, то расстояние между гребнями волн (длина волны) зависит от скорости и направления движения. Если источник движется по направлению к приёмнику, то есть догоняет испускаемую им волну, то длина волны уменьшается, если удаляется — длина волны увеличивается: где -частота, с которой источник испускает волны, -скорость распространения волн в среде, -скорость источника волн относительно среды (положительная, если источник приближается к приёмнику и отрицательная, если удаляется).

 

Частота, регистрируемая неподвижным приёмником

Аналогично, если приёмник движется навстречу волнам, он регистрирует их гребни чаще и наоборот. Для неподвижного источника и движущегося приёмника

где -скорость приёмника относительно среды (положительная, если он движется по направлению к источнику). Подставив вместо в формуле (2) значение частоты из формулы (1), получим формулу для общего случая:

Поскольку явление характерно для любых колебательных процессов, то его очень легко наблюдать для звука. Частота звуковых колебаний воспринимается на слух как высота звука. Надо дождаться ситуации, когда быстро движущийся автомобиль или поезд будет проезжать мимо вас, издавая звук, например, сирену или просто звуковой сигнал. Вы услышите, что когда автомобиль будет приближаться к вам, высота звука будет выше, потом, когда автомобиль поравняется с вами, резко понизится и далее, при удалении, автомобиль будет сигналить на более низкой ноте.