Дослідження асиметрії розподілу

 

Головне завдання аналізу варіаційних рядів – визначення дійсної закономірності розподілу шляхом виключення другорядних, випадкових для даного розподілу факторів.

Під кривою розподілу розуміється графічне зображення у вигляді безперервної лінії зміни частот у варіаціному ряду на основі полігону або гістограми.

Для однорідної сукупності, як правило, характерним є одновершинний розподіл. Багатовершинність свідчить про неоднорідність вивчаємої сукупності.

 

Відносний показник – коефіцієнт асиметрії A_s:

, або .

Коефіцієнт асиметрії може бути позитивним чи від’ємним. У першому випадку мова йде про правосторонню асиметрію (рис.1), а в другому – про лівосторонню (рис. 2). У симетричному розподілі А_s = 0.

Коефіцієнт асиметрії коливається в межах від -3 до +3.

Аs < 0

Аs > 0

Рис. 1 Правостороння асиметрія Рис. 2 Лівостороння асиметрія

 

У разі чіткої асиметрії варіаційного ряду середнє значення ознаки має доповнюватися модою і медіаною. В асиметричному розподілі між середньою арифметичною, медіаною і модою існують певні розбіжності. У разі правосторонньої асиметрії: > Me>Mo (рис. 1), а лівосторонньої - < Me<Mo (рис. 2). У симетричному розподілі необхідною умовою є рівність трьох характеристик: середньої арифметичної, моди і медіани: = Me=Mo.

У випадку недотримання ні однієї з вищезгаданих умов висновок з асиметричності робиться, зважаючи зі знаку коефіцієнту асиметрії: якщо А_s > 0, - слід вважати, що сукупність має слабко виражену правосторонню асиметрію, якщо А_s < 0 – слабко виражену лівосторонню асиметрію.

 

 

5. Визначення ступеню зв`язку між ознаками

Варіація ознаки обумовлена різними факторами, деякі з цих факторів можна виділити, якщо статистичну сукупність розбити на групи по будь-якій ознаці. Тоді поряд з вивченням варіації ознаки і всієї сукупності в цілому стає можливим вивчити варіацію для кожної зі складових її групи, а також між цими групами.

У найпростішому випадку, коли сукупність розчленована на групи по одному фактору, вивчення варіації досягається за допомогою обчислення й аналізу трьох видів дисперсії: загальної, міжгрупової, внутрішньогрупової.

Загальна дисперсія вимірює варіацію ознаки по всій сукупності під впливом усіх факторів, що обумовлюють цю варіацію. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремого значення ознаки від загальної середньої і може бути обчислена як проста і зважена дисперсія.

Проста загальна дисперсія:

Зважена загальна дисперсія:

Міжгрупова дисперсія (d ²) характеризує систематичну варіацію результативної ознаки, обумовлену впливом ознаки фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої.

Внутрішньогрупова дисперсія відбиває випадкову варіацію, обумовлену впливом неврахованих факторів і незалежну від ознаки фактора, покладеного в основу угруповання. Вона дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної цієї групи і може бути обчислена як проста, чи як зважена дисперсія.

Проста внутрішньогрупова дисперсія:

де j – кількість значень у групі.

 

Загальна середня з внутрішньогрупових дисперсій:

Відповідно до правила додавання дисперсій, загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з внутрішньогрупових та міжгрупової дисперсії.

Загальна дисперсія:

 

У статистичному аналізі широко використовується емпіричний коефіцієнт детермінації h² - показник, що представляє собою частку міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії результативної ознаки, та характеризуючий силу впливу групувальної ознаки на варіацію ознаки.

Коефіцієнт детермінації:

Емпіричне кореляційне відношення -відображає тісноту зв'язку між групувальною та результативною ознакою. Приймає значення від 0 до 1 і дорівнює кореню квадратному з емпіричного коефіцієнту детермінації.

 

Якщо зв'язок є відсутнім, то кореляційне відношення дорівнює 0, а якщо зв'язок функціональний - 1.

Чим значення кореляційного відношення ближче до 1, тим тісніше та ближче до функціональної залежності зв'язок між ознаками.

Для якісної оцінки зв'язку на основі показника емпіричного кореляційного відношення можна скористатися кореляційними відносинами Чеддока:

0,1-0,3 0,3-0,5 0,5-0,7 0,7-0,9 0,9-0,99

сила слабкий помірний помітний тісний дуже

зв'язку зв'язок зв'язок зв'язок зв'язок тісний

зв'язок

Приклад

 

1. Перетворимо наступні первинні дані грошового місячного доходу 25 домогосподарств (гр.од.) у ряд розподілу:

Xi - 375;446;472;517;390;464;526;485;457;496;485;483; 412; 449;512;467;526;538;403;437; 504; 488; 454; 489; 472.

 

Першим кроком у побудові ряду розподілу є його ранжування, тобто розташування значень ознаки у зростаючому порядку:

375; 390; 403; 412; 437; 446; 449; 454; 457; 464; 467; 472; 472; 483; 485; 485; 488; 489; 496; 504; 512; 517; 526; 526; 538.

 

2. Ряд розподілу, побудований за кількісною ознакою, називається варіаційним. Побудуємо ряд розподілу, виражений у вигляді інтервалів. Такий ряд характеризує склад (структуру) досліджуваного явища, а також дозволяє судити про однорідність сукупності, закономірності розподілу і межах варіювання одиниць сукупності.

Визначимо кількість груп, величину інтервалу, показники структури, кумулятивну чисельність, середину інтервалу.

Кількість груп визначаємо за формулою Стерджеса:

n = 1 + 3,322 lg N

де N – число одиниць сукупності (=25).

n = 1 + 3,322 lg25 = 5,6 або 5 (округлення відбувається до найближчого цілого).

Результати розрахунку для деяких варіантів:

N = 15 n = 4,9 приймаємо n = 5;

N = 20 n = 5,3 приймаємо n = 5;

N = 25 n = 5,6 приймаємо n = 6;

N = 30 n = 5,9 приймаємо n = 6.

Тоді розмір інтервалу можна визначити за формулою:

= ,

де n - кількість інтервалів;

Х - значення варіюючої ознаки.

Приймаємо розмір інтервалу 33.

Округлення виконується до цілих, якщо у вихідних даних тільки цілі тризначні числа. В інших випадках округлення - до десятих (0,0).

В результаті одержимо наступний інтервальний ряд розподілу грошового місячного доходу домогосподарств:

 

xi	375 – 408	408-441	441-474	474-507	507-540
fi

 

Як видно з даного ряду розподілу, більшість домогосподарств отримує місячний доход в межах 441 – 507 гр.од.

Результати побудови ряду розподілу оформляються у вигляді таблиці.

Таблиця 1.1.