Обґрунтування вибору оптимальної виробничої технології

 

Фірма може використовувати для виробництва певного товару три альтернативні виробничі технології – А, В, С. Технології відрізняються одна від одної співвідношенням ручної та механізованої праці (А використовує переважно механізовану та автоматизовану працю, С – переважно ручну, В займає проміжне положення). Кількість одиниць праці позначена через , кількість одиниць капіталу – через . Ціна використання одиниці праці протягом місяця - , ціна використання одиниці капіталу за той же період - . Попит на товар (і відповідно обсяг виробництва) може скласти , або одиниць за місяць.

Вихідні дані подаються в таблицях 3.5 та 3.6.

 

Таблиця 3.5. Вихідні дані до задачі №4 (обсяги виробництва та комбінації ресурсів)

 

Ва-рі-ант	Обсяги виробництва, одиниць за місяць	Комбінації ресурсів для обсягу виробництва
			Технологія А	Технологія В	Технологія С
, од	, од	, од	, од	, од	, од

 

Таблиця 3.6. Вихідні дані до задачі №4 (ціни ресурсів)

 

Варіант
, грн
, грн
, грн

 

Завдання:

1. Побудувати ламані ізокванти для обсягів виробництва , та , а також базисну ізокосту. Визначити оптимальну технологію.

2. Обрахувати витрати на придбання оптимальної комбінації ресурсів для виготовлення продукції в кількості одиниць в місяць.

3. Чи призведе до зміни оптимальної технології підвищення ціни праці до ? Якими стануть витрати на придбання ресурсів?

 

Задача № 5

Аналіз поведінки фірми в умовах досконалої конкуренції та монополії

 

В таблиці 3.7 подаються загальні витрати фірми залежно від обсягу виробництва продукції.

Завдання:

1. Розрахувати в таблиці всі інші відомі показники витрат (постійні, перемінні, середні постійні, середні перемінні, середні загальні, граничні).

2. Нехай фірма працює в умовах досконалої конкуренції. Ринкова ціна товару Р подається в таблиці 3.8. Обґрунтувати (двома способами) оптимальний обсяг виробництва товару.

3. Нехай фірма працює в умовах монополії. Функція ринкового попиту подається в таблиці 3.8. Обґрунтувати (двома способами) оптимальний обсяг виробництва та ціну товару.

 

Таблиця 3.7. Вихідні дані до задачі № 5 (загальні витрати, тис.грн)

Тис. од	Варіанти
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Таблиця 3.8. Вихідні дані до задачі № 5 (ціни та функції попиту)

 

Варі-ант	Ціна Р, грн	Функція попиту, , грн	Варі-ант	Ціна Р, грн	Функція попиту, , грн
		130 – 10 Q			90 – 2,5 Q
		150 – 10 Q			190 – 5 Q
		1210 – 110 Q			322 – 6 Q
		280 – 10 Q			730 – 60 Q
		200 – 10 Q			600 – 50 Q

 

 

1. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ

 

Задача № 1

 

Вихідні дані (з таблиці 3.1) можуть бути, наприклад, такими:

№ ма-га-зи-ну	Варіант?
Ціна, Р, грн	По-пит, Q, од

 

1). Відповідно до методу найменших квадратів параметри и лінійної функції попиту знаходять за співвідношеннями:

; .

Для розрахунку необхідних складових цих формул заповнюють таблицю 4.1. Тоді:

= 10*3220 – 170*170 = 3300;

= 134*3220 – 2102* 170 = 74140;

= 10*2102 – 170*134 = - 1760.

( - це кількість магазинів, у нас = 10; суми та розраховані в перших чотирьох стовпчиках таблиці).

 

Таблиця 4.1. Розв’язок задачі № 1

Ціна , грн	Попит, , од
				22,47-0,53*8 = 18,23	-0,53*8/18,23 = -0,233	8*18,23= = 145,84
				17,17	-0,309	171,70
				16,11	-0,395	193,32
				15,05	-0,493	210,70
				13,99	-0,606	223,84
				12,93	-0,738	232,74
				11,87	-0,893	237,40
				10,81	-1,079	237,82
				9,75	-1,305	234,00
				8,69	-1,586	225,94

 

Тоді , і рівняння функції попиту

.

2). Розрахунковий обсяг попиту, цінову еластичність попиту та загальну виручку розраховуємо в останніх трьох стовпчиках таблиці 4.1 відповідно за формулами:

;

;

.

Можна бачити, що попит спочатку нееластичний (коефіцієнти за модулем, тобто абсолютною величиною, менші за одиницю), а потім еластичний (коефіцієнти за модулем більші за одиницю). Чим ближче еластичність до -1, тим більше виручка.

3). Максимальну виручку забезпечує та ціна, при якій еластичність дорівнює -1. Підставляємо це значення до нашої формули для еластичності (туди ж замість доведеться підставити його значення ) і знаходимо оптимальну ціну:

, звідси = 21,20 грн.

З’ясовуємо, чи дійсно виручка при цій ціні є більше, ніж ті значення, що містяться в таблиці. Розрахунковий обсяг попиту:

4 одиниць;

виручка грн. – дійсно максимальна.

4). Графіки попиту та виручки мають виглядати так:

 

 

P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Q

 

P

Точка одиничної еластичності попиту

28

 

 

 

 

 

 

 

 

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Q

 

Рис.4.1. Графіки попиту і виручки

Задача № 2

 

Вихідні дані (з таблиці 3.2) можуть бути, наприклад, такими:

 

Ва-рі-ант	Функція попиту, , млн.од	Функція пропозиції, , млн.од	Пода-ток, , грн	Дота-ція, , грн	Фіксована ціна, грн
вище рівно-важної,	нижче рівно-важної,
?	20 - Р	- 4 + 2 Р

 

1). Ринок знаходиться в рівновазі, коли обсяг попиту дорівнює обсягові пропозиції:

Р

S

Е

 

 

D

 

Q

 

Рис. 4.2. Рівновага ринку

 

, звідси і ціна рівноваги = 8 грн.

Обсяг рівноваги:

= 20 – 8 = 12 млн.ед.

Надлишок споживачів:

млн.грн.;

тут знаходимо з умови 0, тобто = 0 та = 20 грн.

Надлишок виробників:

млн.грн.;

тут знаходимо з умови 0, тобто = 0 и = 20 грн.

 

2) Нехай держава встановлює акцизний податок 3 грн. з одиниці продукції:

 

 

Р S1

Е1 S

Е

 

D

 

 

Q

 

Рис.4.3. Встановлення акцизного податку

 

Нова функція пропозиції:

, млн.од.

Умова рівноваги після встановлення податку::

;

=

звідси і нова ціна рівноваги 10 грн. (ціна для споживачів).

Ціна для виробників:

грн.

Обсяг продажів після встановлення податку:

20 – 10 = 10 млн.од.

Надлишок споживачів після встановлення податку:

млн.грн.

Втрати споживачів від податку:

млн.грн.

Надлишок виробників після встановлення податку:

млн.грн.;

тут знаходимо з умови = 0, тобто = 0 та = 5 грн.

Втрати виробників від податку:

млн.грн.

Надходження до бюджету, або податковий доход:

млн.грн.

Чисті втрати суспільства від податку:

млн.грн.

Перевірка (всі „втрати” сумуємо, весь „виграш” виднімаємо):

млн.грн.

Якщо при перевірці отримали те саме значення втрат, все вирішено вірно.

 

3). Нехай держава встановлює дотацію 3 грн. на одиницю продукції.

Р S

Е S1

Е1

 

D

 

 

Q

 

Рис.4.4. Встановлення дотації

 

 

Нова функція пропозиції:

, млн.од.

Умова рівноваги після впровадження дотації:

;

=

звідси і нова ціна рівноваги 6 грн. (ціна для споживачів).

Ціна для виробників::

грн.

Обсяг продажів після встановлення дотації:

20 – 6 = 14 млн.од.

Виплати з бюджету:

млн.грн.

Можна показати, що від дотації виграють і споживачі, і виробники, але втрати держави завжди більше, ніж сумарний виграш споживачів і виробників. Отже суспільство в цілому внаслідок дотації отримує чисті втрати.

 

4). Нехай держава встановлює фіксовану ціну вище рівноважної 10 грн. з метою підтримати виробників товару.

Обсяг попиту:

= 20 – 10 = 10 млн.од.

Обсяг пропозиції:

= млн.од.

Надвиробництво:

млн.од.

Фактичний обсяг продажів:

млн.од.

Оскільки встановлення фіксованих цін вище рівноважних завжди призводить до надвиробництва, держава буде вимушена закуповувати надлишки продукції за бюджетні кошти. Загалом це обходиться суспільству значно дорожче, ніж підняття ціни до того ж самого рівня шляхом встановлення дотацій.

Нехай держава встановлює фіксовану ціну нижче рівноважної 6 грн. з метою підтримати покупців товару.

Обсяг попиту:

= 20 – 6 = 14 млн.од.

Обсяг пропозиції:

= млн.од.

Дефіцит:

млн.од.

Фактичний обсяг продажів:

млн.од.

Оскільки встановлення фіксованих цін нижче рівноважних завжди призводить до дефіциту, доводиться запроваджувати неринкові методи розподілу (талони, картки тощо); до того ж формуються нелегальні (так звані „чорні”) ринки товару. Втрати суспільства від фіксованих цін також виявляються більшими, ніж від зниження ціни до того ж самого рівня шляхом встановлення дотацій.

Наслідки встановлення фіксованих цін вище та нижче рівноважної схематично показані на рис. 4.5.

 

Р Надвиробництво

S

 

Е

 

D

Дефіцит

 

Q

 

Рис. 4.5. Надвиробництво та дефіцит

 

Задача № 3

 

А). Вихідні дані (з таблиці 3.3) можуть бути, наприклад, такими:

 

Варіант	Бюджет, , грн	Гранич-на ко-рисність грошей, , ютил / грн	Ціна товару , , грн	Ціна товару , , грн	Функції граничної корисності
Товару , , ютил	Товару , , ютил
?					40/	32/

 

1). Кількість одиниць кожного з товарів, яку придбає споживач, можна визначити з правила максимізації загальної корисності:

,

тобто відношення граничної корисності останньої придбаної одиниці кожного товару до ціни цього товару має бути однаковим і дорівнювати граничній корисності грошей.

В нашому випадку:

.

Звідси та , тобто 40/Х = 40 та 32/Y = 8, а отже

Х = 1 одиниця та Y = 4 одиниці.

 

2). Сума витрачених на товар грошей:

грн..

Споживач витратив не весь бюджет, в нього залишилося 70 – 36 = 34 гривні. Але ж купувати „зайві” одиниці товару йому невигідно, оскільки корисність цих товарів в розрахунку на одиницю витрачених грошей для нього буде меншою, ніж корисність грошей як таких.

 

3). Розрахуємо загальну корисність товарів, які придбав споживач.

Для товару Х загальна корисність - це гранична корисність єдиної придбаної одиниці товару:

= ютилів.

Для товару Y загальна корисність - це сума граничних корисностей чотирьох придбаних одиниць:

=

ютилів.

Загальна корисність набору товарів:

= + = 40 + 66,67 = 106,67 ютилів.

Споживач витратив на придбання товарів 36 гривень, кожна з яких мала корисність = 2 ютили:

= * = 2*36 = 72 ютила.

Отже споживачеві було вигідно купити товари, бо він отримав більше корисності від товарів, ніж від витрачених грошей.

 

Б). Вихідні дані (з таблиці 3.4) можуть бути, наприклад, такими:

 

Варіант	?
, од
, од
, грн

 

1). Бюджет споживача знаходимо з наступних міркувань. Точка показує кількість товару, яку можна було б придбати, якщо витратити на цей товар весь бюджет. Отже якщо за ціною = 10 грн. купити = 30 одиниць товару, то буде витрачений весь бюджет:

грн.

Ціна товару Х визначається так: якщо на бюджет 300 грн. можна купити = 60 одиниць товару, то ціна:

грн.

Зрештою, рівняння бюджетної лінії за її означенням:

.

 

2). Гранична норма заміщення в точці рівноваги дорівнює відношенню цін товарів:

.

(В інших точках кривої байдужості значення будуть іншими!)

 

3). Графіки переміщення бюджетної лінії будуємо виходячи з наступних умов:

· якщо ціна товару Х знижується в 2 рази, то кількість товару, яку можна придбати, збільшується в 2 рази (було Х1 = 60, стане Х1 = = 60 * 2 = 120 од); корисність для споживача збільшиться; це лінія 2 на рис. 4.6;

· якщо ціна товару У зросте в 1,5 рази, то кількість товару, яку можна придбати, зменшиться в 1,5 рази (було Y1 = 30 од., стане Y1 = 30 / 1,5 = 20 од); корисність для споживача зменшиться; це лінія 3 на рис. 4.6;

· якщо ціни обох товарів зростуть в 4 рази, а бюджет лише в 2 рази, то кожного з товарів можна буде купити в 2 рази менше, ніж раніше: товару Х замість Х1 = 60 од. лише Х1 = 60 / 2 = 30 од., а товару Y замість Y1 = 30 од. лише Y1 = 30 / 2 = 15 од.; корисність для споживача зменшиться; це лінія 4 на рис. 4.6.

 

Y

 

 

Лінія 4

Лінія 1 (вихідна)

20 Лінія 2

 

Лінія 3

 

0 30 60 120 Х

 

Рис. 4.6. Зміни положення бюджетної лінії

 

Задача № 4

 

Вихідні дані (з таблиць 3.5 та 3.6) можуть бути, наприклад, такими:

Ва-рі-ант	Обсяги виробництва, одиниць за місяць	Комбінації ресурсів для обсягу виробництва
			Технологія А	Технологія В	Технологія С
, од	, од	, од	, од	, од	, од
?

 

Варіант	?
, грн
, грн
, грн

1). Будуємо ламані ізокванти для обсягів виробництва , та .

Ізокванта – це лінія, всі точки якої показують комбінації ресурсів, що забезпечують один і той самий випуск продукції. За умовою задачі відомі три комбінації ресурсів, які забезпечують один і той самий випуск . Щоб узнати, скільки ресурсів знадобиться для виготовлення продукції в кількості та , потрібно з’ясувати, в якому співвідношенні знаходяться випуски , та . В нашому прикладі це 90: 180: 270, тобто 1: 2: 3. (Увага! В інших варіантах задачі це співвідношення може бути іншим). Отже для виготовлення продукції в кількості обсяги ресурсів потрібно помножити на 2; а для - на 3 (див. таблицю 4.2).

 

Таблиця 4.2. Розрахунок потрібної кількості ресурсів

	Технологія А	Технологія В	Технологія С
, од	, од	, од	, од	, од	, од
180 = 90*2	2*2=4	3*2=6	4*2=8	2*2=4	8*2=16	1*2=2
270=90*3	2*3=6	3*3=9	4*3=12	2*3=6	8*3=24	1*3=3

 

Графіки ізоквант подані на рис. 4.7.

К

 

А3

 

А2

В3

3 А1 В2 С3

2 В1 С2

1 С1

 

0 1 2 4 6 L

 

Рис. 4.7. Графіки ізоквант та ізокост

Для побудови базисної ізокости потрібно знайти її кут нахилу. Він дорівнює співвідношенню цін ресурсів:

Кут нахилу = .

(Бажано скоротити співвідношення до найменшого простого дробу).

Далі за віссю ординат відкладають кількість одиниць капіталу, що дорівнює чисельнику скороченого дробу, і ставлять крапку. За віссю абсцис відкладають кількість одиниць праці, що дорівнює знаменнику скороченого дробу, і також ставлять крапку. Отримані крапки з’єднують прямою лінією – це і буде базисна ізокоста.

Щоб з’ясувати, яка з технологій буде оптимальною (тобто при поточному співвідношенні цін дозволить випускати будь-який заданий обсяг продукції з найменшими витратами), зсувають базисну ізокосту паралельно самій собі догори-праворуч. Той кут ізокванти, до якого першим доторкнеться ізокоста, і відповідає оптимальній технології.

На рис. 4.7 зсув ізокости показаний пунктирними лініями; можна бачити, що раніше інших вона дотикається до кута А1, тобто оптимальною буде технологія А.

 

2). Витрати на придбання комбінації ресурсів для виготовлення продукції в кількості розраховуємо за рівнянням ізокости:

.

Тут та - відповідно кількість праці та капіталу на виготовлення продукції в кількості з використанням оптимальної технології. З таблиці 4.2 видно, що для виготовлення 180 одиниць продукції за технологією А потрібно 4 одиниці праці та 6 – капіталу. При поточних цінах на ресурси = 500 грн. та = 500 грн витрати складуть:

= 5000 грн. за місяць.

 

3). Щоб з’ясувати, чи зміниться оптимальна технологія при зростанні ціни праці, знаходимо новий кут нахилу:

Новий кут нахилу = .

Далі будують нову базисну ізокосту так само, як в пункті 2), та шукають нову точку дотику до кута ізокванти. Ці побудови на рис. 4.7 не подані, щоб не перевантажувати зображення, але в нашому випадку оптимальною залишиться технологія А. (Увага! В інших варіантах технологія може змінитися). При нових цінах на ресурси = 750 грн. та = 500 грн витрати складуть:

= 6000 грн. за місяць.

У випадку зміни технології пропонується знайти нові витрати самостійно.

Задача № 4

 

Вихідні дані (з таблиць 3.7 та 3.8) можуть бути, наприклад, такими:

 

Тис. од	Варі-анти
?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

 

Варі-ант	Ціна Р, грн	Функція попиту, , грн
?		106 – 4 Q

 

1). Розраховуємо в таблиці 4.3 всі відомі показники витрат за формулами:

• постійні витрати - це сума загальних витрат при обсязі виробництва 0, бо при відсутності випуску продукції перемінних витрат бути не може; однакові в усіх рядках таблиці;
• перемінні витрати = ;
• загальні витрати - за умовою з таблиці 3.7;
• середні постійні витрати ;
• середні перемінні витрати ;
• середні загальні витрати ;
• граничні витрати вираховуються як загальні витрати в даному рядку таблиці мінус загальні витрати в попередньому рядку, тобто це приріст загальних витрат, необхідний для виготовлення даної одиниці продукції.

 

 

Таблиця 4.4. Розрахунок показників витрат