Тема 9. Системи одночасних рівнянь

Поняття системи економетричних рівнянь.

Структурна та зведена форми системи рівнянь.

Ідентифікація. Необхідна і достатня умова ідентифікації.

Оцінювання параметрів систем одночасних рівнянь.

 

ВИД РОБОТИ	ТЕМА	ОЦІНЮВАННЯ
ЛР 1	МОДЕЛЬ ПАРНОЇ РЕГРЕСІЇ	0 - 5
ЛР 2	МОДЕЛЬ МНОЖИННОЇ РЕГРЕСІЇ	0 - 3
МОДУЛЬ 1 + ПЗ	МОДЕЛІ ЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ ФІКТИВНІ ЗМІННІ	0 - 5
ЛР 3	МОДЕЛІ НЕЛІНІЙНОЇ РЕГРЕСІЇ	0 - 5
ЛР 4	МУЛЬТИКОЛІНЕАРНІСТЬ	0 - 4
ЛР 5	ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНІСТЬ	0 - 5
ЛР 6	АВТОКОРЕЛЯЦІЯ	0 - 3
МОДУЛЬ 2	ПМК	0 - 10
ДІЛОВА ГРА		0 - 5
Активність на заняттях		0 - 5
Сума балів

ШКАЛА ОЦІНЮВАННЯ

 

Приклади типових завдань.

1. Розрахувати економетричну модель парної регресії між факторами Х і У:

Ŷ = ǎ₀ + ǎ₁·х. Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

_· Розрахувати за нею прогнозоване значення залежного фактора У_пр

· Побудувати графік моделі парної регресії в кореляційному полі – “хмарі розсіювання”.

· Розрахувати коефіцієнт детермінації R² і коефіцієнт кореляції R. ^. Який зміст цих коефіцієнтів?

· Оцінити якість отриманої моделі за F-, t – критеріями з рівнем значущості α = 0,05.

.

у
х

 

Х – витрати на маркетинг, (тис. грн..), У – прибуток, (млн. грн.).

 

2. В результаті дослідження чинників економічного зростання побудовано таку модель (обсяг вибірки – 73 країни):

Y = 1,4 – 0,52X + 0,17 X + 11,16 X – 0,38 X – 4,75 X + ,

(5,9) (4,34) (3,91) (0,79) (2,7)

де Y – темп росту середнього значення ВВП на душу населення у % до базового періоду;

X – реальні середні значення ВВП на душу населення, %;

X – бюджетний дефіцит у % до ВВП;

X – обсяг інвестицій, % до ВВП;

X₄ – зовнішній борг, % до ВВП;

X – рівень інфляції, %.

В дужках вказані спостережувані значення t-критерія. Відомий також коефіцієнт детермінації R² = 0,78.

1) Перевірити загальну якість даної моделі.

2) Перевірити значущість параметрів моделі при рівні значущості a = 0,05 та записати, враховуючи зроблені висновки, теоретичну модель.

3) Побудувати довірчі інтервали для параметрів теоретичної моделі при рівні надійності g = 0,95.

4) Визначити частинні коефіцієнти еластичності.

5) Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

3. Побудовано модель залежності середньомісячної ринкової ціни акцій підприємства (Y, грн./акція) від обсягу сплачених дивідендів на акцію (Х₁, грн./місяць) та обсягу коштів, спрямованих підприємством на розширення виробництва (Х₂, сотні тис. грн. /місяць):

y_i = 2,4 + 1,6 х_i1 + 0,9 х_i2 + е_i.

Відомо також, що = 10,5, , n = 20.

1) Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

2) Побудувати точковий та інтервальні прогнози для залежної змінної, якщо х_пр.1 = 10, х_пр.2 = 2, а рівень надійності g = 0,95.

 

4. Розрахована регресійна модель залежності прибутку (У) від інвестицій (Х₁), основного фонду виробництва (Х₂ ), фонду робочого часу (Х₃) за 20 спостереженнями:

 

0,140967	-0,41125	0,882323	-21,1336
0,076457	0,289052	0,215299	9,011057
0,973764	1,188204	# н/д	# н/д
148,4617		# н/д	# н/д
628,808	16,94196	# н/д	# н/д

.

1. Перевірити загальну якість даної моделі.

2. Перевірити значущість параметрів моделі при рівні значущості a = 0,05 та записати, враховуючи зроблені висновки, теоретичну модель.

3. Побудувати довірчі інтервали для параметрів теоретичної моделі.

4. Визначити частинні коефіцієнти еластичності.

5. Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ_1.

5. Аналізується прибуток підприємства Y (млн.$) в залежності від витрат на рекламу Х (млн.$). За спостереженнями на протязі 9 років отримані наступні дані:

 

Y	5	7	13	15	20	25	22	20	17
X	0,8	1	1,8	2,5	4	5,7	7,5	8,3	8,8

 

1) Побудуйте кореляційне поле і висуньте гіпотезу, щодо виду залежності між показниками.

2) Оцініть за МНК параметри лінійної регресії Y = /

3) Оцініть якість побудованої регресії.

4) Знайдіть за допомогою МНК оцінки параметрів квадратичної регресії

Y = .

5) Оцініть якість побудованої моделі. Яку з моделей варто обрати для подальшого дослідження?

 

 

6. Для двох видів продукції А і В моделі залежності питомих постійних витрат від об’єму випущеної продукції мають вигляд: Y_А = 80 + 0,7х, Y_В= 40

1) Визначити коефіцієнти еластичності по кожному виду продукції та пояснити їх зміст.

2) Порівняти еластичність затрат для обох видів продукції при х =1000.

3) Визначити, яким повинен бути об’єм випущеної продукції, щоб коефіцієнти еластичності для продукції А та В стали рівними.

 

7. Нехай Y = , де С – фіктивна змінна, що відображає стать суб’єкта дослідження (С=0 для жінок і С =1 для чоловіків).

Середнє значення змінної Y для 15 чоловіків дорівнює 5, для 25 жінок – 3. При цьому відомо, що дисперсія залишків становить 64.

 

Визначте оцінку коефіцієнтів та .

 

8. При аналізі залежності заробітної плати (S) 70 співробітників фірми (45 чоловіків і 25 жінок) від стажу роботи (Т) на фірмі отримані наступні регресійні моделі:

S = 50+ 0,12 Т, R² = 0,63, t = (5,23) (9,35).

S = 30 + 0,092 T + 25D, R² = 0,72, t = (4,63) (4,3) (6,23).

S = 25 + 0,078 T+32D + 0,07T ·D, R² = 0,912, t = (3,07) (3,73) (2,93) (1,98)

де D - фіктивна змінна, що відображає стать співробітника.

 

а) Яка з регресій (1 або 2), (2 або 3) з вашого погляду є більш раціональною?

б) Які похибки при виборі регресії 1 допускаються?

в) Поясніть зміст кожного з коефіцієнтів у рівнянні ре­гресії.

г) Якою буде середня зарплата співробітника – чоловіка і жінки зi стажем роботи у 15 років?

 

 

9. В нижченаведеній таблиці Y – місячний обсяг попиту на товари першої необхідності сім’ї з трьох чоловік (ум.гр.од.), Х – місячний рівень доходу сім’ї (ум.гр.од.):

Х	2,5	1,4	0,9	2,7	1,8	2,2	2,4	1,9	1,6	1,2
Y	0,8	1,1	0,7	0,9	1,0	1,2	0,9	0,6	0,7	0,5

 

Перевірити, яка з моделей краще наближає емпіричні дані: лінійна, степенева чи гіперболічна. Перевірити статистичну значущість зв’язку в кожній з цих моделей.

 

 

10. Відомі дані щодо середньомісячного рівня зайнятості (Х, %) та рівня інфляції (Y, %):

Х
Y	5,4	6,1	6,2	5,8	6,3	6,0	5,9	6,3

Побудувати гіперболічну модель, визначити коефіцієнт детермінації та коефіцієнт еластичності.

 

11.. За даними 15 років побудовані два рівняння регресії:

1) Y = 3,435 - 0,5145Х+ ε, R² = 0,6748; t = (20,5) (4.3)

2) 1n Y = 0,851 - 0,2514Х+ ε, R² = 0,7785, t = (43,6) (5,2)

де Y - щоденне середньодушове споживання кави (у чашках 100г),

X - середньорічна ціна кави (грн/кг).

а) Проаналізуйте коефіцієнти кожної з моделей.

б) Чи можна за визначеними моделями визначити, чи є попит на каву еластичним?

в) Яка модель, з вашого погляду, є переважнішою? Чи можна обґрунтувати висновок за коефіцієнтами детермінації?

12. Для 3-х пояснюючих змінних обчислено кореляційну матрицю r. Чи існує в масиві змінних мультиколінеарність? За оберненою до неї матрицею оцінити попарну мультиколінеарність змінних для 15 спостережень і 95% надійності:

13. Відомі дані щодо місячного обсягу прибутку 15 підприємств галузі – Х (млн.грн), та обсягу дивідендів, сплачених цими підприємствами за місяць – Y (млн.грн):

Х	3	5	8	10	12	14	7	6	9	10	5	7	4	12	15	18
Y	0,2	1,2	4,0	1,5	2,0	3,5	0,8	2,2	1,4	5,0	2,1	1,8	2,3	8	1,6	10

Побудувати модель парної лінійної регресії. Перевірити за тестом Гельдфельда-Квандта, чи виконується умова гомоскедастичності залишків.

 

14. Обчислити коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку:

-0,58

-0,97

-0,02

0,04

-0,02

0,31

-0,25

0,86

-0,42

0,37

0,68

 

Зробити висновки щодо наявності автокореляції за критерієм Дарбіна-Уотсона.

 

 

Зразок екзаменаційного білету

 

1. Використання економетричних моделей для прийняття управлінських рішень та прогнозування.

2. Врахування якісних факторів в лінійних економетричних моделях за допомогою фіктивних змінних.

3. Поняття системи одночасних економетричних рівнянь.

 

4. Розрахувати економетричну модель парної регресії між факторами Х і Y:

Ŷ = ǎ₀ + ǎ₁·х+ ε.

· Побудувати графік моделі парної регресії в кореляційному полі.

· Розрахувати за нею прогнозоване значення залежного фактора Y_пр

· Охарактеризувати економічний зміст оцінок параметрів моделі ǎ_0, ǎ₁

 

у
х	7,0	7,5	8,0	9,0	10,0	11,0	9,5	12,0	9,0

 

Х – енергомісткість праці на 1 робітника (кВт/ роб),

Y – продуктивність праці (тис. грн./роб.).

 

5. Для 30 підприємств галузі була досліджена залежність річного обсягу випуску продукції Y (млн. грн.) від чисельності працюючих на виробництві Х₁ (чоловік) та середньорічної вартості основних фондів Х₂ (млн. грн.):

 

Коефіцієнт детермінації
Коефіцієнт кореляції	0,76
Загальна лінійна модель	Y = ...+ 0,39Х1 +32 Х2
Стандартні похибки оцінок	3 0,08...
t- kp	1,5... 4

 

• Оцінити якість моделі за допомогою R² і R,
• значущість оцінок параметрів моделі за Т-, F -критеріями,
• побудувати 95% інтервали надійності оцінок параметрів моделі.
• Охарактеризувати економічний зміст коефіцієнтів моделі.

 

 

6. Обчислити коефіцієнт автокореляції залишків першого порядку:

-0,38

-0,87

-0,02

0,04

-0,02

0,33

-0,25

0,66

-0,22

0,57

0,18

 

Зробити висновки щодо наявності автокореляції за критерієм Дарбіна-Уотсона для регресійної моделі із 2-ма змінними.