Анализ методов исследования вынужденных колебаний

Реакции системы на входное возмущение описывают вынужденные колебания этой системы. Они представляют собой частное решение неоднородной системы дифференциальных уравнений:

(1)

 

обращающей эту систему в тождество. Для нахождения используется несколько методов:

1) Аналитическое решение, т.е непосредственный подбор аналитического выражения преобразующего (1) в тождество. Применяют для систем

2) Интегрирование системы (1) на ЭВМ, используют для линейных и нелинейных систем при любых R, при этом генерируют заданный вид возмущения и интегрируя систему (1) получают графики изменения всех выходных координат в виде массива чисел на ЦВМ или электрического сигнала на АВМ. Данный метод позволяет исследовать установившиеся и неустановившиеся колебания. Этот метод наиболее универсальный, но необходима дополнительная обработка результатов вычислений и большое быстродействие ЦВМ, так как при интегрировании

3) Применение интеграла свертки (Дюамеля) этот метод используют для систем не высокого порядка в ТОЭ и ТАУ при этом вынужденное движение находят на основе решения уравнения (1) на типовые единичные возмущения.

А) Единичный скачок

Б) Единичный импульс или дельта функция

Реакция системы на такое возмущение называется переходной функцией . В простейшем случае может быть: монотонной, апериодической, колебательной. Воздействие единичного импульса можно представить с помощью импульса силы, который представляет собой изменение количества движения . Считая, что при получим , тогда единичный импульс будет равен

Из этого следует, что такой импульс получается если при t=0 сообщить телу массой M скорость . Реакция системы на единичный импульс называется импульсной или весовой характеристикой R(t). Поскольку , то .

Характеристики и описывают динамические свойства системы в области времени. По этим характеристикам можно найти реакцию системы на произвольное возмущение с помощью интеграла свертки .

4) Операторный метод

В этом методе находят изображение реакции по передаточной функции системы

где - изображение входного возмущения

, - передаточную функцию определяют на основе решения системы (1) на единичное возмущение вида (Е- единичная матрица)

описывает динамические свойства системы в области оператора Р и связанна с R(t) преобразованием Лапласа

Для перехода от изображения реакции к оригиналу используют несколько методов:

-обратное преобразование Лапласа

5) Частотный метод

Используется для исследования установившихся вынужденных колебаний линейных систем любого порядка. Таким образом из обзора выше рассмотренных методов следует, что наиболее предпочтительными являются: непосредственное интегрирование на ЭВМ и частотный метод.

Рассмотрим частотный метод, в нем используются частотные характеристики ЧХ . Их можно получить заменив в передаточных функциях оператора Лапласа . В этом методе частное решение системой уравнений (1) находят используя частотные характеристики системы , их получают на основе решения (1) при действии единичного гармонического возмущения (2). Под действием этого возмущения возникнут колебания и решение системы (1) можно представить в виде (3). Подставляя (2) и (3) в (1) и превращая его в тождество получим

(4)

Используя понятие обратной матрицы, определим из (4) матрицу ЧХ :

(5)

 

В этом выражении матрица Ч.Х. размером RxR связывающее возмущение Q с обобщенными координатами q.

Каждый столбец матрицы (5) представляет собой вектор комплексных амплитуд во всех обобщенных координатах от вектора обобщенных сил в котором одна обобщенная координата равна единицы, а остальные равны нулю.

Таким образом каждый элемент матрицы (5) содержит информацию об амплитуде и фазе колебаний происходящих по данной обобщенной координате от соответствующего возмущения.

Обычно обратную матрицу называют матрицей динамической жесткосткости .

Определив матрицу Ч.Х. установившуюся реакцию системы на действие произвольного возмущения можно записать в виде (6).

Поскольку колебания локомотива происходят под действием как кинематических так и силовых возмущений, то удобно ввести понятие Ч.Х. связывающих эти возмущения и обобщенные координаты.

Обозначим силовое возмущение , а кинематическое

или

где - матрица Ч.Х. связывающая и q.

Аналогично и для силового возмущения

или

где матрица Ч.Х. связывающая Fc и q.