Теорема вероятности появления хотя бы одного события



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Теорема вероятности появления хотя бы одного события



 

Пусть события А1, А2, …,  А n  независимы в совокупности, причем , а в результате испытаний могут наступить все события, либо часть из них. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, …,  А n  , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий .

,                   (3.11)

где   

 

В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

 

                            (3.12)

 

Теорема полной вероятности

Теорема полной вероятности формируется на основании теорем сложения и умножения вероятностей.

Пусть сложное событие A может произойти только с осуществлением n некоторых других несовместных событий - предположений, называемых гипотезами Hi, образующими полную группу несовместных событий H

                (3.13)

 

Событие A может осуществиться, если произойдет одно из следующих парных событий: Hi с вероятностью P(H i ) и A/Hi с вероятностью P( A /H i ). Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности

 


                                                                       (3.14)

 

Пример. Требуется определить вероятность отказа секции механизированной крепи qс за время работы t, если вероятности независимых отказов qi ее элементов: гидростоек (ГС), гидроцилиндров передвижки (ГП), металлоконструкции (МК) и блока управления секцией (БУ) составляют для времени t соответственно:

Дадим понятие события «отказ секции крепи». Секция крепи откажет, если откажут: гидростойка или гидроцилиндр передвижки, или металлоконструкция, или блок управления, или гидростойка и гидроцилиндр, или гидростойка и металлоконструкция и т. д.

Поэтому для рассматриваемого события следует, что для расчета вероятности отказа qс секции механизированной крепи следует использовать теорему сложения вероятностей для совместных событий, а для определения вероятности безотказной работы теорему умножения вероятностей для независимых событий.

Таким образом:

Подставим вместо qi их величины, получим

 

Для решения поставленной задачи может быть применена теорема умножения вероятностей для независимых событий. Событие «безотказная работа» секции крепи Рс за время t осуществляется, если безотказно будут работать ГС, ГП, МК и БУ, тогда

 

 

Поскольку отказ и «безотказная работа» секции крепи – события

противоположные, то величины  могут быть найдены по заданным значениям , а именно

 

 

В итоге получаем

 

 

Формула Бейеса

 

Теорема гипотез является следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности.

Имеется полная группа несовместных гипотез . Известны до опытные вероятности этих гипотез . Известны также условные вероятности P( A /H i ).  сложного события А , которое может появиться вместе с одной из гипотез Н i .

Производится опыт, в результате которого произошло событие А, но неизвестно, вместе с какой из гипотез Н i осуществилось это событие. В этом случае значения условных после опытных вероятностей гипотез P(Hi/A) определяется по теореме гипотез:

 


                                                                   (3.15)

 

 

Пример. При работе очистного механизированного комплекса, состоящего из выемочной машины – В, доставочной машины – Д, и крепи - К в разные моменты смены согласно технологии горных работ могут функционировать одна или несколько машин одновременно. Гипотеза Н 1 – функционируют три машины В, Д , К ; гипотеза Н 2 функционируют Д и К ; гипотеза Н3 – функционирует только крепь К. Обычно В, Д и К функционируют 40% времени смены, т.е. P(H1)=0,4; Д и К 5% времени т.е. P(H2)=0,05; К – 55% времени т.е. P(H3)=0,55.

Условные вероятности появления опасных отказов оборудования (события А) соответственно равны: P( A /H1)=0,03; P( A /H2)=0,02; P( A /H3)=0,01.

Требуется определить условную вероятность P(H1/A) и вероятность  события A (непоявления опасного отказа) в любой момент смены.

 

 

Повторение опытов

В теории надежности приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. При этом интерес представляет не результат каждого отдельного опыта, а общее число появления события А. Такие опыты называются независимыми относительно события А.

Когда при проведении п независимых опытов вероятность Р появления события А во всех опытах одна и та же, то вероятность того, что событие А наступит, ровно k раз, не менее k раз, более k раз, и не более k раз, может быть определена по формуле Бернулли и теоремам Лапласа.

 

Формула Бернулли

 

Вероятность того, что в п независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события Р(0≤р≤1) , событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности).

 

                           (3.16)

или

                    (3.17)

 

где q =1- p .

Вероятность того, что событие наступит:

- менее k раз

 

                (3.18)

 

- более k раз

 

         (3.19)

 

- не менее k раз

 

                (3.20)

 

- не более k раз

 

                  (3.21)

 

Пример. Требуется рассчитать вероятность появления равно 0, 1, 2, 3 и 4-х отказов секций механизированной крепи в четырех (п = 4 ) независимых опытах (рабочих сменах) секции механизированной крепи, если вероятность отказа секции qc(t = 6ч) = 0,133, а вероятность безотказной работы Рс (t = 6ч) = 1- qc (t = 6ч) = 0,867.

 

При этом , что и подтверждают полученные результаты расчетов.

- менее k раз

- не менее k раз

- не более k раз

 

Теорема Лапласа (локальная)

Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Р(0 < р < 1) , событие наступает ровно k раз (безразлично в какой последовательности) т.е.

 

                          (3.22)

где

j (x) - находят по таблицам.

 



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.95.131.146 (0.027 с.)