Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема вероятности появления хотя бы одного события
Пусть события А 1, А 2, …, А n независимы в совокупности, причем , а в результате испытаний могут наступить все события, либо часть из них. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А 1, А 2, …, А n , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятности противоположных событий . , (3.11) где
В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
(3.12)
Теорема полной вероятности Теорема полной вероятности формируется на основании теорем сложения и умножения вероятностей. Пусть сложное событие A может произойти только с осуществлением n некоторых других несовместных событий - предположений, называемых гипотезами Hi, образующими полную группу несовместных событий H (3.13)
Событие A может осуществиться, если произойдет одно из следующих парных событий: Hi с вероятностью P(H i) и A / Hi с вероятностью P(A /H i). Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности (3.14)
Пример. Требуется определить вероятность отказа секции механизированной крепи qс за время работы t, если вероятности независимых отказов qi ее элементов: гидростоек (ГС), гидроцилиндров передвижки (ГП), металлоконструкции (МК) и блока управления секцией (БУ) составляют для времени t соответственно: Дадим понятие события «отказ секции крепи». Секция крепи откажет, если откажут: гидростойка или гидроцилиндр передвижки, или металлоконструкция, или блок управления, или гидростойка и гидроцилиндр, или гидростойка и металлоконструкция и т. д. Поэтому для рассматриваемого события следует, что для расчета вероятности отказа qс секции механизированной крепи следует использовать теорему сложения вероятностей для совместных событий, а для определения вероятности безотказной работы теорему умножения вероятностей для независимых событий. Таким образом: Подставим вместо qi их величины, получим
Для решения поставленной задачи может быть применена теорема умножения вероятностей для независимых событий. Событие «безотказная работа» секции крепи Р с за время t осуществляется, если безотказно будут работать ГС, ГП, МК и БУ, тогда
Поскольку отказ и «безотказная работа» секции крепи – события противоположные, то величины могут быть найдены по заданным значениям , а именно
В итоге получаем
Формула Бейеса
Теорема гипотез является следствием теоремы умножения и формулы полной вероятности. Имеется полная группа несовместных гипотез . Известны до опытные вероятности этих гипотез . Известны также условные вероятности P(A /H i). сложного события А, которое может появиться вместе с одной из гипотез Н i. Производится опыт, в результате которого произошло событие А, но неизвестно, вместе с какой из гипотез Н i осуществилось это событие. В этом случае значения условных после опытных вероятностей гипотез P (Hi / A) определяется по теореме гипотез: (3.15)
Пример. При работе очистного механизированного комплекса, состоящего из выемочной машины – В, доставочной машины – Д, и крепи - К в разные моменты смены согласно технологии горных работ могут функционировать одна или несколько машин одновременно. Гипотеза Н 1 – функционируют три машины В, Д, К; гипотеза Н 2 – функционируют Д и К; гипотеза Н3 – функционирует только крепь К. Обычно В, Д и К функционируют 40% времени смены, т.е. P(H1)= 0,4; Д и К – 5% времени т.е. P(H2)= 0,05; К – 55% времени т.е. P(H3)= 0,55. Условные вероятности появления опасных отказов оборудования (события А) соответственно равны: P(A /H1)= 0,03; P(A /H2)= 0,02; P(A /H3)= 0,01. Требуется определить условную вероятность P (H1 / A) и вероятность события A (непоявления опасного отказа) в любой момент смены.
Повторение опытов В теории надежности приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А. При этом интерес представляет не результат каждого отдельного опыта, а общее число появления события А. Такие опыты называются независимыми относительно события А.
Когда при проведении п независимых опытов вероятность Р появления события А во всех опытах одна и та же, то вероятность того, что событие А наступит, ровно k раз, не менее k раз, более k раз, и не более k раз, может быть определена по формуле Бернулли и теоремам Лапласа.
Формула Бернулли
Вероятность того, что в п независимых опытах, в каждом из которых вероятность появления события Р (0≤ р ≤1), событие А наступит ровно k раз ( безразлично в какой последовательности ).
(3.16) или (3.17)
где q =1- p. Вероятность того, что событие наступит: - менее k раз
(3.18)
- более k раз
(3.19)
- не менее k раз
(3.20)
- не более k раз
(3.21)
Пример. Требуется рассчитать вероятность появления равно 0, 1, 2, 3 и 4-х отказов секций механизированной крепи в четырех (п = 4) независимых опытах (рабочих сменах) секции механизированной крепи, если вероятность отказа секции qc (t = 6ч) = 0,133, а вероятность безотказной работы Рс (t = 6ч) = 1- qc (t = 6ч) = 0,867.
При этом , что и подтверждают полученные результаты расчетов. - менее k раз - не менее k раз - не более k раз
Теорема Лапласа (локальная) Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна Р (0 < р < 1), событие наступает ровно k раз ( безразлично в какой последовательности ) т. е.
(3.22) где j (x) - находят по таблицам.
|
||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; просмотров: 85; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.192.75.131 (0.033 с.) |