Математические модели теории надежности

и их примеры

 

Математические модели надежности могут быть разбиты на две группы:

1. Структурные модели. Они основаны на логических схемах взаимодействия элементов, входящих в систему, с точки зрения сохранения работоспособности системы в целом. При этом используют статическую информацию о надежности элементов без привлечения сведений о физических свойствах материала, деталей и соединений, о внешних нагрузках и воздействиях, о механизмах взаимодействия между элементами. Структурные модели представляют в виде блок-схем и графов (например, деревьев отказов, деревьев событий), а исходную информацию – в виде известных значений вероятности безотказной работы элементов, интенсивности отказов и т.п.

2. Математические модели теории надежности, учитывающие  механические, физические и другие реальные процессы, которые ведут к изменению свойств объекта и его составляющих. Таковы модели механики, широко применяемые в расчетах машин и конструкций. Силовое и кинематическое взаимодействие элементов машин и конструкций носит сложный характер. Поведение этих объектов существенным образом зависит от их взаимодействия с окружающей средой, от характера и интенсивности процессов эксплуатации.

Для предсказания поведения деталей и элементов машин необходимо рассматривать процессы нагружения, деформирования, изнашивания, накопления повреждений и разрушения при переменных нагрузках, температурных и других внешних воздействиях. Оценить показатели надежности систем можно расчетно-теоретическим путем, основанным на физических моделях и статических данных относительно свойств материалов, нагрузок и воздействий.

Математическая модель – совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.) и связей между ними, отражающих важнейшие свойства технической системы: логической, учитывающей возможные состояния системы, пути и интенсивности переходов из одного состояния в другое, или функциональной, содержащей границы допуска на определяющие параметры и зависимости этих параметров от случайных возмущений и процессов в элементах.

Математическое моделирование – процесс создания имитирующей математической модели и ее использования с целью получения сведений о реальном объекте.

Математическое моделирование является альтернативой физическому моделированию, но у него есть ряд существенных достоинств: меньшие сроки на подготовку, значительно меньшая материалоемкость, возможность выполнения экспериментов на предельных и запредельных режимах и другое.

Для моделирования необходимо определить:

- исследуемую техническую систему;

- границы моделирования;

- основные переменные;

- константы;

- показатели эффективности;

- подобрать подходящую модель;.

- описать ее на математическом языке, доказать адекватность модели реальному объекту;

- спланировать и провести эксперимент;

- обработать результаты.

Математическое моделирование большинства технических (объектов) систем можно выполнить: на микроуровне; макроуровне; метауровне.

На микроуровне математической моделью технической системы является система уровней, описывающая процессы и явления в материалах и средах с заданными краевыми условиями. Сама система уравнений обычно известна (уравнения для нагружения толстостенного сосуда), но ее точное решение удается получить лишь для некоторых частных случаев, поэтому задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели, при этом приходится при моделировании достаточно сложных технических объектов принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне.

В основе математических моделей на макроуровне лежат компонентные уравнения отдельных элементов и топологические уравнения, вид которых определяется связями между элементом и технической системой. Для получения топологических уравнений используются формальные методы: обобщенный, табличный, узловой, переменных состояний.

На метауровне моделируются в основном технические объекты, являющиеся предметом исследований теории автоматического управления, и объекты, которые являются предметом теории массового обслуживания. Для первой категории можно использовать математический аппарат макроуровня, для второй категории объектов используются методы моделирования событий.

Хотя математические модели надежности являются значительной идеализацией законов функционирования технических объектов (систем), они позволяют в вероятностной форме предсказать поведение объектов в реальных условиях функционирования и оценить многие количественные характеристики надежности. При этом степень идеализации в основном определяется требованием простоты используемых моделей. Сложные модели надежности могут потребовать очень большого объема выборки для оценки ее параметров при экспериментальных исследованиях, в результате чего использовать такие модели становится технически и экономически невыгодно (бессмысленно). Математические модели надежности элементов, используемые на практике, представляют собой, как правило, простые законы распределения, которые выражаются элементарными функциями или их интегралами, – законы надежности.

Показателями надежности при этом являются некоторые функции параметров математической модели. Модели надежности технических систем – тоже сложные функциональные зависимости, учитывающие модели отказов элементов и структуру системы.

Примеры математических моделей теории надежности.

Модель надежности системы - математическая модель, устанавливающая связь между показателями надежности системы, характеристиками надежности элементов, его структуры и параметрами ее процесса функционирования.

Модель отказа - математическое описание физических и (или) химических процессов, составляющих механизм отказа.

Модели, построение которых позволит раскрыть процессы распределения отказов и даст возможность оценить надежность систем на стадии проектирования, эксплуатации, должны учитывать степень опасности, то есть возможность сравнения с нормами надежности.

Одна из классификаций моделей надежности включает в себя модели применительно к постепенным и внезапным отказам для невосстанавливаемых и восстанавливаемых систем однократного и многократного использования, то есть различают две группы моделей надежности:

- модели надежности, учитывающие постепенные отказы. При них протекание различных процессов повреждения приводит к изменению во времени отказоопасного параметра. Обычно удается ограничиться 1-2 параметрами. Характерным примером постепенных отказов являются случаи воздействия износа и старения на состояние работоспособности;

- модели надежности, учитывающие внезапные отказы. Причина возникновения внезапных отказов не связана с изменением состояния систем в период времени его предыдущей работы или хранения, а зависит от уровня внешних воздействий, связана с неблагоприятным сочетанием внешних факторов, то есть построение моделей связано с условиями эксплуатации системы, режимами работы, с вероятностью возникновения экстремальных нагрузок.

В модели надежности системы находят отражение только те свойства или характеристики элементов и только те их взаимные связи в системе, которые являются существенными с позиции надежности. Модели надежности систем подразделяются на модели параметрические и на модели в терминах отказов элементов. Параметрические модели надежности (как правило характерны для простых систем) строятся на представлении выходной характеристики в виде функции случайных параметров элементов (параметры как случайные функции времени). Система считается не отказавшей, если ее выходные параметры в течение заданного времени находятся в установленных пределах. Модели в терминах отказов элементов являются основными при исследовании надежности сложных систем. Модель отражает при четком определении понятия отказа для всех элементов системы влияние отказов элементов системы на надежность системы.

По принципам построения модели подразделяются на:

- аналитические (для простых задач определения зависимостей между параметрами системы и показателями надежности);

- статистические (при взаимодействии большого числа факторов, при решении сложных задач);

- комбинированные (аналитические модели для частей задачи и статистические модели задачи в целом).

Модели надежности элементов по степени детализации учета факторов подразделяются на:

- модели типа "нагрузка-прочность" (в качестве нагрузок рассматриваются тепловые, механические, электрические, радиационные и др.);

- модели типа "распределение времени".

Из множества законов распределения случайных величин, разработанных в теории вероятностей, наибольшее значение для теории надежности имеют пять законов:

-экспоненциальный,

-нормальный,

-Вейбулла,

-Пуассона,

-биномиальный.

Для описания сложных многофункциональных систем применяются комбинации этих законов.

Экспоненциальное распределение (для непрерывных случайных величин). Является одним из самых простых и удобных законов распределения для анализа надежности сложных многоэлементных технических систем при оценке их работы на малых интервалах времени, сопоставимых со временем выполнения задания, и когда каждому задействованию системы предшествует строго регламентированное техническое обслуживание.

Нормальное распределение (закон Гаусса). Закон занимает исключительное место в теории надежности:

- как средство описания случайных событий износа и старения для малоэлементных простых систем;

- он является пределом, к которому при стремлении к бесконечности числа испытаний приближаются другие законы;

- ему подчиняются независимые случайные величины, сумма которых чем больше, тем точнее подчинение нормальному закону.

Распределение Вейбулла (для непрерывных случайных величин). Распределение Вейбулла было получено экспериментально. Может быть использовано для описания безотказности объектов в течение всех трех типовых периодов эксплуатации: приработка, установившаяся эксплуатация и старение. Используется для исследования распределения ресурсов и сроков службы. Распределение Вейбулла как частный случай при m = 1 включает распределение экспоненциальное, Релея, близкое к нормальному.

Распределение Пуассона (для дискретных случайных величин). Это распределение используется в теории надежности, когда представляет интерес появление некоторого дискретного числа одинаковых событий. Появлению каждого события (отказа) соответствует некоторая точка на временной шкале.

Биномиальное распределение - распределение Бернулли (для дискретных случайных величин). Часто используется для определения вероятности дискретных случайных величин, положительных и целых, таких случайных событий, как общее число неудачных исходов в последовательности n испытаний.

Биномиальное распределение применяется при статистическом контроле качества выборки изделий (не больше 10 % от объема всей партии) или при определении количества отказов невосстанавливаемых изделий в течение заданного времени при испытаниях. При очень малых значениях q биномиальное распределение может быть заменено распределением Пуассона (nq < 0,2), а при больших значениях (nq > 20) - нормальным распределением.

В зависимости от наличия статистической информации об отказах изделия в теории надежности используются теоретические (см. выше), либо статистические описательные модели (например, в виде гистограмм), которые строятся на основе математического описания истинных механизмов, процессов, влияющих на отказ. Теоретические модели позволяют описать явления во всем диапазоне его возможного развития и изучать поведение системы в условиях, в которых еще не были поставлены эксперименты. Теоретические модели, следовательно, могут быть отнесены к прогнозным моделям.

Для обоснованного выбора типа теоретического распределения времени наработки на отказ целесообразно использовать статистическую информацию по отказам. Выбранному теоретическому распределению времени наработки должна соответствовать определенная модель приближения изделия к отказу. Выявление такого соответствия зависит от вида и назначения исследуемых изделий.

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие измеряемые параметры в определении надежности вы знаете?

2. Какие специфические особенности вопросов надежности рассматриваются?

3. С чем связано абсолютное изменение качества?

4. С чем связано относительное изменение качества?

5. Какие трудности возникают при оценке надежности машин?

6. С чем связаны проблемы надежности?

7. Какие направления развития науки и исследований по надежности, вы заете?

8. На каких науках базируется теория надежности?

9. Как изменяется экономическая эффективность машины во времени?

10. Понятия случайных: события, величины, процесса, закона.

11. Сущность закона распределения случайной величины.

12. Для чего производятся  расчеты надежности?

13. Классификация видов расчетов надежности?

14. Какие основные методы расчетов надежности, вы знаете?

15. Опишите метод структурных схем.

16. Этапы построения структурных схем.

17. Опишите метод логических схем.

18. Опишите порядок определения вероятности безотказной работы при методе логических схем.

19. Опишите схемно-функциональный метод.

20. Опишите матричный метод.

21. Опишите метод графов.

22. Расчет надежности простых систем методом структурных схем.

23. Количественные показатели надежности.

24. Способы резервирования и методы расчета надежности при различном резервировании.

25. Направления совершенствования расчетных методов.

26. Понятие параметрической надежности.

27. Виды математических моделей надежности.

28. Этапы математического моделирования надежности.

29. Охарактеризовать микроуровни; макроуровни и метауровни математического моделирования.

30. Классификация математических моделей надежности.

31. Характеристика наиболее значимых законов распределения случайных величин, разработанных в теории вероятностей.

 

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ГОРНЫХ МАШИН И ОБОРУДОВАНИЯ

Основные понятия

Терминология по надежности в технике распространяется на любые технические объекты - изделия, сооружения и системы, а также их подсистемы, рассматриваемые с точки зрения надежности на этапах проектирования, производства, испытании, эксплуатации и ремонта.

В соответствии с ГОСТ 21.002-83 под надежностью понимают свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, хранения и транспортирования. Надежность является комплексным свойством, которое в зависимости от назначения объекта и условий его применения может включать безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость или определенные сочетания этих свойств.

Для оценки надежности объекта используют показатели надежности – это количественная характеристика одного или нескольких свойств, составляющих надежность объекта, а именно:

- безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособность в течение некоторого времени или некоторой наработки;

- долговечность – свойство объекта сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания (ТО) и ремонта;

- ремонтопригодность – свойство объекта, заключающееся в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин его отказов, повреждений и устранений их последствий путем проведения ремонта и ТО;

- сохраняемость – свойство объекта непрерывно сохранять исправное и работоспособное состояние в течение и после хранения и (или) транспортирования.

Объект – предмет назначения и практической деятельности человека. В теории надежности рассматриваемые объекты определенного целевого назначения являются результатом производственной деятельности человека: изделие, система, элемент.

Изделие расходует свой ресурс, продукт расходуется сам. Изделие рассматривается в периоды проектирования, изготовления, эксплуатации, исследований, испытаний на надежность.

Техническая система является множеством элементов, взаимосвязанных функционально и взаимодействующих друг с другом в процессе выполнения определенного круга задач.

Элемент – простейшая в рамках конкретного рассмотрения составная часть системы.

Исправное состояние (и справность ) – состояние объекта, при котором он соответствует всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Неисправное состояние ( неисправность) – состояние объекта, при котором он не соответствует хотя бы одному из требований нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

Работоспособное состояние ( работоспособность ) – состояние объекта, при котором значения всех параметров, характеризующих способность выполнять заданные функции, соответствуют требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации. Работоспособный объект в отличие от исправного должен удовлетворять лишь тем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации, выполнение которых обеспечивает нормальное применение объекта по назначению. Работоспособный объект может быть неисправным, например, если он не удовлетворяет эстетическим требованиям, причем ухудшение внешнего вида объекта не препятствует его применению по назначению.

Неработоспособное состояние ( неработоспособность) – состояние объекта, при котором значение хотя бы одного параметра, характеризующего способность выполнять заданные функции, не соответствует требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации. Для сложных объектов возможно деление их неработоспособных состояний. При этом из множества неработоспособных состояний выделяют частично неработоспособные состояния, при которых объект способен частично выполнять требуемые функции. Так же для сложных объектов возможны частично неработоспособные состояния, при которых объект способен выполнять требуемые функции с пониженными показателями или способен выполнять лишь часть требуемых функций.

Предельное состояние – состояние объекта, при котором его дальнейшая эксплуатация или восстановление его работоспособного состояния невозможно или нецелесообразно. В зависимости от условий эксплуатации для одного и того же объекта могут быть установлены два и более критериев предельного состояния.

Данные понятия охватывают основные технические состояния объекта. Каждое из них характеризуется совокупностью значений параметров, описывающих состояние объекта, а также качественных признаков, для которых не применяют количественные оценки. Номенклатуру этих параметров и признаков, а также пределы допустимых их изменений устанавливают в нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации.

В теории надежности имеют место временные понятия.

Наработка – п родолжительность или объем работы объекта. Наработка может быть как непрерывной величиной (продолжительность работы в часах, километраж пробега и т. п.), так и целочисленной величиной (число рабочих циклов, запусков и т. п.). Наработку объекта, работающего непрерывно можно измерять в единицах календарного времени. Если объект работает с перерывами, то различают непрерывную и суммарную наработку. В этом случае наработку также можно измерять в единицах времени. Для многих объектов физическое изнашивание связано не только с календарной продолжительностью эксплуатации, но с объемом работы объекта, и поэтому зависит от интенсивности применения объекта по назначению. Для таких объектов наработку обычно выражают через объем произведенной работы или число рабочих циклов.

Если трактовать понятие "время" в обобщенном смысле - как параметр, служащий для описания последовательности событий и смены состояний, то принципиальная разница между наработкой и временем отсутствует даже в том случае, когда наработка является целочисленной величиной (например календарное время тоже отсчитывают в днях, месяцах и т. п.). Поэтому наработка и родственные ей величины (ресурс, остаточный ресурс) отнесены к категории временных понятий.

Наработка до отказа – н аработка объекта от начала эксплуатации до возникновения первого отказа.   Наработка между отказами – н аработка объекта от окончания восстановления его работоспособного состояния после отказа до возникновения следующего отказа. Времявосстановления – п родолжительность восстановления работоспособного состояния объекта.

Наработка до отказа вводится как для неремонтируемых (невосстанавливаемых), так и для ремонтируемых (восстанавливаемых) объектов. Наработка между отказами определяется объемом работы объекта от k -го до (k +l)-гo отказа, где k =1, 2... Эта наработка относится только к восстанавливаемым объектам.