Живой организм — диссипативная структура



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Живой организм — диссипативная структура



Бифуркации

Истоки медицинской диагностики имеют длинный исторический путь. Примерно с конца 6 в. до н. э. античная философия задается вопросом: чем знание “по мнению” отличается от знания “по истине”? В представлении образованных людей того времени образцом “истинного” знания была геометрия с ее аксиомами и принципами построения определенных суждений о сути вещей. В этот период развития естественно-научных дисциплин дедуктивный метод рассматривается как главный инструмент нахождения истины. Надо отметить, что, когда разделяющая линия между истиной и не истиной проводится с помощью доказательства, сама логика предстает способом идентификации, опознания объектов и явлений. В этот период логика незаметным образом трансформируется в теорию оценки истинности, в способ конструирования постулатов.

Основным принципом дедуктивной логики является принцип исключенного третьего. Допустимо признавать либо А, либо не А. Третьего не дано, поскольку в этом случае доказательство от противного становится невозможным. Именно логическая конструкция строгой дизъюнкции была заложена в качестве основного элемента познания Природы: А и не-А полностью исключают друг друга, между ними не может быть ничего среднего. Для медицинской практики это означало либо наличие нарушения в живом организме, либо отсутствие и полная определенность, а значит, признание нормы.

Однако реализовать на практике такие представления можно было лишь в идеале, т. е. исключительно логическими средствами.

При изучении окружающего человека мира событий, явлений и различных природных объектов выделялись только два класса объектов, явлений и событий: те, которые существуют, и те, которые не существуют. Процесс жизнедеятельности целого организма не рассматривался в развитии. В соответствии с существующей парадигмой того времени процесс становления, изменения, понимаемый как нечто изменяющееся, не должен быть предметом изучения.

В попытке сведения природы к тождеству введенных философских понятий французский философ Эмиль Мейерсон усматривал основную движущую силу медицинской науки. Согласно такой парадигме, сущность есть то, что можно обнаружить или понять, но ее нельзя изменить или сотворить. Детерминирование сущности выступает как детерминирование изменчивого, устойчивым состоянием организма. Сама сущность постоянна, различие в ее обнаружении зависит от внешних, привходящих обстоятельств.

Позже, с развитием научных представлений об окружающем мире, вводится в рассмотрение понятие времени. Однако и здесь основные представления о развитии живого организма, особенностях функционирования отдельных органов и подсистем рассматриваются не полно, а фактически с позиции механицизма. На рубеже 17 – 20 столетий создаются блестящие работы в области математики и физики, которые станут основой многих научных исследований в будущем.

И все же на протяжении длительного периода фактор времени как основная категория многих научных концепций все больше привлекает внимание ученых. В уравнениях классической физики время не содержит различия между прошлым и будущим. Эволюции (прямая — в будущее и обратная — в прошлое) рассматриваются не просто как математически корректные представления, а как представления эквивалентные. Еще в 1765 г. Лейбниц утверждал, что “настоящее чревато будущим и обременено прошедшим, находясь при этом во взаимном согласии”, и потому “в ничтожнейшей из субстанций взор, столь же проницательный, как взор Божества, мог бы прочесть всю историю Вселенной”.

Несмотря на то, что понимание значимости фактора времени во всех процессах и явлениях отчетливо проявляется во многих научных работах, переход на новый уровень познания Природы происходит с открытием фундаментальных законов физики.

По представлениям классической физики, Вселенная управляется детерминистическими, симметричными во времени законами. Такие законы получили название динамических. Именно динамические законы отвергают “стрелу времени”; экстраполяция этих законов на физический мир исходит из обратимости времени, а само действие закона предстает как вневременное. В силу сводимости настоящего и будущего к прошлому возникает иллюзия пригодности закона на все времена, иллюзия его неограниченной универсальности, приложимости к любой точке пространства. Из второго начала термодинамики родилось представление о “стреле времени”, указывающей на движение любой замкнутой системы к хаосу.

Развитие физики и математики способствовало становлению новых научных направлений, в частности биофизики, биохимии и биологической термодинамики. Основателями биологической термодинамики по праву называют И. Пригожина, Б.П. Белоусова и А.М. Жаботинского. Так, И. Пригожин подчеркивает, что радикальное отрицание категории времени, другими словами утверждение универсальности уравнений физики, неявно одобрялось самой парадигмой науки, начиная с 17 в. По мнению И. Пригожина, “законы природы были законами, описывающими замкнутую детерминистическую Вселенную”, прошлое и будущее которой считались эквивалентными. Такое положение рассматривалось как триумф человеческого разума. Развитие основных положений биологической термодинамики позволяют современной науке утверждать, что симметричные детерминистические во времени законы соответствуют только весьма частным случаям. Они верны только для устойчивых классических и квантовых систем, которые представляют весьма ограниченный класс физических образований. Великие теоретические схемы классической физики были экстраполированы далеко за пределы возможной области применимости.

Математик, логик и философ Альфред Норт Уайтхед в поиске путей согласования философии с естественно-научными открытиями еще в 30-е гг. 20 в. пришел к выводу: “...Различие между прошлым и будущим через становление является фундаментальным непреложным фактом”. Все последующее развитие естествознания подтвердило справедливость этого вывода.

С точки зрения современной науки, “становление” представляется как элемент бесконечного процесса развития системы, в том числе и биологической. Это элемент реальности и одновременно условие познаваемости окружающего мира. Мы живем в мире, в котором частицы рождаются и уничтожаются, выражая становление даже на самом микроскопическом уровне. “Становление” и “событие” входят на всех уровнях описания в концепцию природы. Чтобы философские и естественно-научные системы знания не противоречили друг другу, необходимо, прежде всего, обратить внимание на следующее обстоятельство.

Основной проблемой в классической динамике является проблема интегрирования. Для интегрируемых систем мы можем исключить взаимодействия и свести задачу к задаче о свободном движении, где мы получим выражения для координат и скоростей в виде явных функций времени. До работ А. Пуанкаре считалось, что все динамические системы похожи друг на друга. Именно он открыл неинтегрируемость целого класса систем. В этом случае аппарат дифференциальных уравнений становится непригодным, и мы вынуждены перейти к вероятностным методам исследования. Вероятностные и статистические методы исследования — братья близнецы, которые позволяют получить новые данные о процессах и явлениях окружающего мира.

Именно в силу открытия свойства неинтегрируемости суждения, вынесенные физиками от имени классической динамики, оказались несостоятельными. Согласно классической термодинамике, неравновесное состояние замкнутой системы, характеризующееся возрастанием энтропии, — это финал всякой эволюции. На путях создания неклассической термодинамики И. Пригожин доказал, что существуют структуры, в которых возрастание энтропии может быть компенсировано ее оттоком в окружающую среду. Такие структуры получили название “диссипативных”. На этой основе появилось новое научное направление — синергетика.

Возникновение синергетики было связано также и с другим фундаментальным открытием. Было доказано, что на основе так называемых нелинейных эффектов упорядоченность некоторой системы со временем может не уменьшаться, а возрастать. Оказалось, что в явлениях природы (в организме человека) и общества именно нелинейность преобладает над линейностью. Когда ограниченность логического аппарата классической науки, редуцированного к линейности, стала явной, научное сообщество убедилось, что значительная часть конкретного мира вокруг нас до сих пор ускользала из ячеек научной сети. Согласно представлениям нелинейной науки (nonlinear science), в большинстве случаев мы сталкиваемся с такой познавательной ситуацией, при которой изменение внешних или внутренних воздействий в k раз не приводит изучаемую систему к пропорциональному отклику.

В самом общем виде это можно пояснить таким образом. Пусть причина А увеличивает нечто в системе в два раза, а причина В – в три раза, но вместе они увеличивают это нечто не в шесть, а, допустим, в 20 раз. Такой эффект и называется нелинейным.

На основании открытия эффекта диссипации и эффекта нелинейности в первую очередь в биологических системах был сделан вывод о необходимости замены физики бытия физикой становления. С позиции биологической термодинамики это означало конец классического идеала всеведения. Мир процессов, в котором мы живем, и который является частью нас, не может более отвергаться как видимость или иллюзия, определяемая нашим ограниченным способом наблюдения. Следствием этого утверждения является то, что современный мир науки навсегда лишился гарантий стабильных, непреходящих законов.

Основатели синергетики не просто заявляют, что пришло время физики становления, они создают физическую теорию совершенно нового типа, опирающуюся на нелинейный математический аппарат.

Привычная парадигма становления выглядела следующим образом: становление может осуществляться только между твердо установленными познанием вехами, так как иначе окажется неизвестным, что же именно становится, в каком направлении и к каким результатам приходит становление. В рассуждении подобного рода в скрытом, неявном виде содержится проблема: можно ли иметь “твердо установленное” знание о не себе тождественном объекте, будет ли понятие с крайне зыбким содержанием и объемом “твердо установленным”. На этот вопрос современная наука отвечает положительно, а классическая — отрицательно. Иначе говоря, исходный пункт становления идентифицировался классической наукой лишь с бытием, лишь с себетождественным состоянием объекта мысли.

В противовес классической науке синергетика доказывает, что переход к устойчивому состоянию может происходить лишь через неустойчивое состояние, а переход к упорядоченности — через неупорядоченность. Чтобы в рамках одного и того же вещественного субстрата появились какие-то новые структуры, отвечающие критерию организованности, для них должна быть расчищена почва. Подготовить новообразование можно одним-единственным путем: разрушив прежнюю структуру, нарушив внутрисистемные связи. Лишь освободившись от элементов старой структуры, можно построить новую систему — новую упорядоченность. При этом качественная определенность новой системы складывается случайным и только случайным образом.

Для того чтобы адекватно отразить случайный характер перехода от беспорядка к порядку, физика становления вводит понятие бифуркации (bifurcus, лат. — двузубый). Согласно теории бифуркации, прошлое состояние системы исчезает скачком в силу накопления в системе флуктуаций (fluctus, лат. — бурлящий). В любой системе имеют место флуктуации, связанные со сбоями в функционировании ее элементов, с поломками в структурных образованиях. Флуктуации необходимы и присутствуют в любой системе, но вместе с тем их появления означают нарушения в способе существования системы: отклонения от статистически среднего.

Достигая некоторого критического значения, флуктуации становятся источником бифуркации, коренной ломки предшествующего состояния. В результате бифуркации случайные и несогласованные микроскопические изменения захватывают весь объем ранее существовавшей системы без остатка. Неконтролируемость флуктуаций означает возникновение лишь случайной коррелируемости состояний. Подмечено, что в биологических системах одни флуктуации происходят быстрее, другие — медленнее. Оказывается, что флуктуация, задержавшаяся чуть дольше других, может вступить в согласованное движение с другими такими же флуктуациями, и тогда возникает неслучайная коррелируемости состояний. Последняя порождает устойчивый макроскопический режим. Его появление равносильно “выбору” ветви, которой будет следовать система по ходу дальнейшей эволюции. На макроуровне вступает в действие принцип подчинения (slaving principe). Согласованное движение микроизменений образует крупномасштабное движение, которое захватывает весь объем системы, подчиняет себе все ранее родившиеся флуктуации. Таким образом, медленно эволюционирующий макроскопический режим становится доминирующим в системе. За счет принципа подчинения обеспечивается перерастание несогласованных микроизменений в согласованное, когерентное движение элементов на макроуровне.

Сама возможность выбора свидетельствует о потенциальном разнообразии системы, о богатстве скрытых в ней возможностей, которые могут реализоваться прямо противоположным образом: и в сторону перманентного разрушения упорядоченности, и в сторону ее нарастания. Эта “вилка” между двумя взаимоисключающими друг друга направлениями развития и дает название всему процессу перестройки ранее господствующего предшествующего состояния. Там, где одна из двух взаимоисключающих друг друга противоположностей реализована, для другой не остается места. Вот почему бифуркация — это расщепление исходного состояния, при котором его противоположные определения реализуются неодинаково: одно возникает актуально, а другое погружается в виртуальное бытие.

На временах, близких к фазовому переходу, устойчивые моды “подстраиваются” под неустойчивые и могут быть исключены. Остающиеся неустойчивые моды служат в качестве параметров порядка, определяющих макроскопическое поведение системы. Коллективное движение диссоциированных ранее элементов складывается в определенную упорядоченность в результате подчинения большого числа параметров состояния малому количеству параметров порядка.

Неравновесные фазовые переходы отличаются тем, что новое состояние достижимо и устойчиво только благодаря постоянному подводу энергии, так как происходит постоянная диссипация энергии (ее рассеяние). Эта ситуация очень далека от равновесия. Неравновесная термодинамика является обобщением классической. В свете открытий неравновесной термодинамики стало ясно, что локальное уменьшение энтропии при образовании диссипативных структур компенсируется ее повышением в окружающей среде за счет передачи ей энтропии, произведенной в системе. С ростом потока энергии, компенсирующего диссипацию, вновь возникающие структуры становятся все более сложными. Кроме того, при изменении внешних параметров (температуры, размеров системы, веса, возраста) те же элементы складываются в непредсказуемые конфигурации.

Энтропия есть мера недостатка информации в системе. Идея информации — это идея перераспределения чего-то уже имеющегося в наличии, уже произведенного. Любой параметр, содействующий перераспределению вещества и/или энергии, выступает в информационном качестве. Информационный параметр (параметр порядка) призван реализовать один из маршрутов распределения энергии и/или вещества из числа всех возможных путей такого распределения (очевидно, маршруты распределения энергии в тепловых структурах качественно отличаются от таковых при распределении энергии в живом организме).

С вероятностной точки зрения информация есть устраняемая неопределенность. Высокой энтропии соответствует практически исчезающая информация. Напротив, отвод энтропии равносилен поступлению в систему не энтропии, пропорциональной определенному количеству информации. При переходе к изучению все более сложных систем именно структурные, информационные аспекты их поведения и развития выступают на первый план, а динамика создает лишь основу для информационного развития.

Нелинейная термодинамика хорошо сочетается с химической кинетикой. На основе классических работ Б.П. Белоусова и А.М. Жаботинского в свое время были поставлены уникальные эксперименты. На уровне химической организации материи вновь обнаруживает себя принцип когерентности флуктуаций при становлении нового целого. Этот феномен поведения химической реакции был установлен Б.П. Белоусовым и А.М. Жаботинским и зафиксирован в форме тезиса: “Пространственные, временные и пространственно-временные структуры в органическом и неорганическом мире возникают как проявление коллективных колебаний через флуктуации, их взаимодействие и отбор тех из них, которые обладают наибольшим временем релаксации”.

До пятидесятых годов 20 в. считалось, что в реакциях неорганических компонентов периодические явления наблюдаться не могут, хотя первые сведения о наблюдении таких реакций датируются концом 19 в. Современный этап в исследовании колебательных химических реакций начался со случайного открытия, сделанного в 1958 г. Б. П. Белоусовым, который заметил, что если растворить лимонную и серную кислоты в воде вместе с броматом и солью церия, то окраска смеси изменяется периодически от бесцветной до бледно-желтой. Систематическое исследование этой реакции провел через несколько лет А.М. Жаботинский. Он же отметил возникновение в ходе этой реакции различных упорядоченных структур. Сразу после этого было создано множество вариантов реакции с более быстрыми и более медленными осцилляциями. Однако детальное изучение глубинных механизмов реакции было проведено только в 70-х гг.

Применительно к химии эти процессы были специально изучены и, как отмечено во многих научных работах: “...Вблизи критической точки корреляции становятся крупномасштабными. Хаос химического взаимодействия нескольких веществ порождает порядок”. Крупномасштабная флуктуация ведет себя как единое макроскопическое целое, несмотря на то, что взаимодействия между диссоциированными элементами носят короткодействующий характер, несоизмеримый по своим масштабам с глобальными масштабами корреляции в пределах развивающейся флуктуации. Возникшие на этой основе устойчивые состояния диссипативных структур, раз возникнув, удерживаются, невзирая на большие внешние воздействия.

Аттракторы и фракталы

Таким образом, впервые в эксперименте наблюдалась самоорганизующаяся система, которая отвечает критерию эмерджентности — нередуцируемости целого к его частям. Сегодня важность этого феномена многократно усилена работами многих научных центров.

Итак, на основе принципа когерентности флуктуаций возникают устойчивые состояния диссипативных структур, другими словами, формы самотождественного бытия. Применительно к становлению устойчивых состояний можно говорить об их детерминирующей, сущностной составляющей. Бифуркационный анализ показал, что разные по уровню самоорганизации диссипативные структуры возникают на базе качественно отличных детерминирующих оснований. Особые детерминирующие устройства, характеризующие тот или иной уровень самоорганизации по способу их математического моделирования, получили название аттракторов (притягивающих множеств).

Теория бифуркаций рассматривает три типа аттракторов: устойчивый фокус (аттрактор-точка), устойчивый предельный цикл и хаотический аттрактор. Согласно такому представлению, в отличие от систем без аттракторов системы с аттракторами являются диссипативными.

Аттрактор-точка характеризует стационарное состояние системы. Устойчивый предельный цикл сообщает о периодическом движении, возвращающем систему к исходному состоянию.

Поведение системы, соответствующей предельному циклу, имеет характерную специфику: малые возбуждения не разрушают ее стационарного движения. Иначе говоря, реакция Б.П. Белоусова – А.М Жаботинского не способна к самоусложнению и самовозрастанию негэнтропийности. Согласно теории бифуркаций, есть примеры, в которых устойчивый фокус и устойчивый предельный цикл существуют одновременно, разделенные неустойчивым предельным циклом. С помощью вычислительного эксперимента, выводящего результаты на дисплей ЭВМ, бифуркационный анализ в состоянии обнаружить и зафиксировать появление и исчезновение предельных циклов так же, как и аттракторов иного типа.

Нарастание нелинейности в системе за пределы некоторого критического значения вновь приводит систему к бифуркации: на смену макроскопической согласованности приходит несогласованность случайных флуктуаций, приводящая к неоднозначным результатам.

Синергетика объясняет и тот случай, когда система становится способной к самовозрастанию негэнтропии. Возможность наращивания негэнтропии в системе обеспечивается хаотическим аттрактором. В силу специфики поведения хаотический аттрактор был назван “странным”. С появлением в системе странных аттракторов связан полномасштабный эффект самодетерминации. Отличительная особенность таких систем — способность к самодостройке: к выработке подразделений, недостающих для воспроизводства системы на расширенной основе. Как уже известно, в наибольшей степени этому критерию отвечают биологические и социальные организмы. Причем организм представляет собой диссипативную структуру особенно высокого уровня устойчивости. В общем случае странный аттрактор возникает вследствие бифуркации из предельного цикла. Сам он представляет собою притягивающее множество траекторий, среди которых все (или почти все) являются неустойчивыми. Устойчивость систем со странными аттракторами возникает из неустойчивости, внутренне присущей устройствам, перерабатывающим входную информацию.

Система Лоренца

Открытие “странного аттрактора” в диссипативных системах, которые представляют класс живых организмов, принадлежит Е. Лоренцу. Исходное уравнение, описывающее поведение системы, при задании некоторых параметров, представляется в виде

dx/dt= –a*x+a*y, a>0,
dy/dt= r*x – y – x*z, r>0,
dz/dt= –b*z + x*y, b>0.

Уравнения подвергались всестороннему изучению многими исследователями, работающими в области анализа биологических сигналов, начиная с Е. Лоренца, который проинтегрировал их численно, используя фиксированные значения управляющих параметров a =10, b =8/3 и единственный переменный управляющий параметр r.

При 0< r <1 (рис. 2.1) имеем только одну критическую точку. Она является одновременно локальным и глобальным аттрактором. Другими словами, любое начальное состояние будет приближаться к началу координат при t, стремящемся к бесконечности. Когда r становится близким к единице, возникает критическое замедление, а при достижении величиной r значения +1 начало координат теряет устойчивость, и от него ответвляются два аттрактора, причем оба глобально и локально устойчивы. В случае r <1,345 имеем эффект равновесия — узлы, r >1,345 — получаются фокусы.

При увеличении r до величины 13,926 две неустойчивые траектории, исходящие из начала координат, возвращаются в начало координат при t, стремящемся к бесконечности, при этом перестают быть глобальными аттракторами. Напротив, они окружены окрестностями, в которых являются локальными. Точка, исходящая из области, лежащей вне этих окрестностей, может совершать колебательные движения из одной окрестности в другую и обратно. Такое поведение называют метастабильным хаосом (рис. 2.2).

При r =24,74 возникает так называемая инверсия бифуркации Хопфа, при r > 24,74 остается “странный аттрактор” (рис. 2.3). При больших значениях r в системе существует симметричный цикл (рис. 2.6 — r = 400). Далее при уменьшении параметра происходит бифуркация потери симметрии и в системе существуют два несимметричных периодических решения (рис. 2.5 — r =300 ), затем происходит каскад бифуркации удвоения (рис. 2.4 — r =225).

Одна из характеристик “странного аттрактора” заключается в том, что расхождение траекторий в одном направлении (индетерминистическая составляющая) компенсируется их сближением в другом направлении (детерминистическая составляющая).

“Странные аттракторы” выступают как устройства, которые порождают и рассеивают, т. е. перерабатывают информацию. Их отличает точный способ производства энтропии при переходе (и усилении) внутренних флуктуаций системы с микро- на макроскопический иерархический уровень. В то же время эти “устройства”, способные обеспечить определенную степень “сжатия” информации, действуют как своего рода “пылесос” в функциональном пространстве. В структуре аттрактора отчетливо наблюдаются свойства устойчивости или скорости производства разнообразия по одним направлениям и утраты информации по другим. Все возрастающая сложность таких взаимодействий служит постоянным источником новой информации. Поскольку “странным аттракторам” присуще гармоническое сочетание расходящихся и сходящихся траекторий, они служат “компрессорами” информации. В отличие от временной потери информации из-за притяжения к аттрактору на самом аттракторе происходит непрестанный процесс производства информации.

Медицинская диагностика

Биологические системы — живые организмы, отличающиеся чрезвычайно большим разнообразием. При регистрации функциональных параметров организма наблюдается разброс регистрируемых значений, что затрудняет формирование некоторого вердикта о состоянии. Поиск наиболее устойчивых и одновременно наиболее показательных оценок состояния организма является типовой задачей для многих методов диагностики.

Рассмотрим типовые, наиболее традиционные, вопросы медицинской диагностики. Воспользуемся хорошо известным методом ЭКГ исследования. Не расширяя введенных выше понятий, проиллюстрируем возможность применения методов нелинейного анализа данных в задачах медицинской диагностики.

Традиционный метод формирования оценки сердечной деятельности, осуществляемый с помощью специальной аппаратуры, позволяет получить графическую запись, которая является основой для анализа. Наиболее выраженным параметром такой записи является амплитуда сигнала, точнее амплитудное значение R зубца, которое постоянно меняется в процессе исследования. Принимая во внимание, что одновременно анализируется несколько так называемых QRS комплексов, полученных за определенное время исследования, количество R зубцов может составлять несколько десятков и даже сотен. А это означает, что анализировать придется много амплитудных значений R зубца.

В самом простом случае, когда анализируется ЭКГ запись электрической активности работы сердца и исследуется распределение амплитудных значений R зубца, можно воспользоваться обычными методами статистического анализа. Результатом такого анализа в простейшем случае будет среднее значение амплитуды R зубца. Фактически просто число — некоторое значение, характеризующее состояние организма на момент исследования. Не используя каких-либо дополнительных аргументов, можно утверждать, что следующее исследование, проведенное по истечении небольшого промежутка времени, позволит получить новое среднее значение R зубца.

Продолжая такие исследования, скажем в течение суток, можно получить набор интересующих нас значений параметра R. Дальнейшие исследования ничего нового не принесут. Параметр R, а точнее его среднее значение на интервале проведения обследования, постоянно будет меняться.

Другой результат можно получить, если воспользоваться, например, системой уравнений Е. Лоренца. Первое обследование, при котором будет установлено среднее значение R, позволяет сопоставить R c параметром Е Лоренца — r, и тем самым построить портрет состояния системы. При этом все остальные параметры системы уравнений остаются заданными по умолчанию — постоянными. Допустим, что через относительно небольшой промежуток времени проводится новое исследование. В этом случае можно заранее утверждать, что, несмотря на различие средних значений R, текущее графическое отображение будет очень близким к предыдущему образу.

Если допустить, что биологическая система между этими двумя исследованиями получает некоторую нагрузку, например физическую работу по подниманию груза, то, очевидно, требуется учесть этот фактор и изменить величину одного из постоянных коэффициентов в системе уравнений Е. Лоренца. Результат такого расчета непременно отразится на форме кривой, отражающей состояние биологической системы.

Таким образом, традиционные медицинские диагностические процедуры, а затем анализ полученных результатов могут быть проведены с помощью бифуркационного анализа.

Основными типами аттракторов являются устойчивые предельные точки, устойчивые циклы (траектория стремится к некоторой замкнутой кривой) и торы (к поверхности которых приближается траектория). Движение точки в таких случаях имеет периодический или квазипериодический характер. Существуют характерные только для диссипативных систем так называемые “странные аттракторы”. В отличие от обычных аттракторов они не являются подмногообразиями фазового пространства, а представляют движение точки. Любые две траектории в таком пространстве всегда расходятся. Малое изменение начальных данных приводит к различным путям развития. Иными словами, динамика систем со “странными аттракторами” является хаотической. “Странный аттрактор” и хаос представляют связанное понятие. Здесь надо отметить, что в некотором смысле этого слова хаос означает нерегулярное движение, описываемое детерминистическими уравнениями. Нерегулярное движение подразумевает невозможность его описания суммой гармонических движений.

Для динамических систем, зависящих от некоторого обобщенного параметра, характерно плавное изменение функции поведения. Однако следует помнить, что для такого параметра может иметься некоторое критическое (бифуркационное) значение, при переходе через которое аттрактор претерпевает качественную перестройку и соответственно резко меняется динамика системы, например, теряется устойчивость. Потеря устойчивости происходит, как правило, переходом от точки устойчивости к устойчивому циклу (мягкая потеря устойчивости), выход траектории с устойчивого положения (жесткая потеря устойчивости), рождение циклов с удвоенным периодом. При дальнейшем изменении параметра возможно возникновение торов и далее “странных аттракторов”, т. е. хаотических процессов.

Уравнения, порождающие “странные аттракторы”, вовсе не являются экзотическими. В качестве примера такой системы часто называют известную уже нам систему Лоренца. Замечательным свойством этой системы является возможность построения “странных аттракторов”. Их уникальным свойством является скейлинговая структура или масштабная самоповторяемость. Это означает, что, увеличивая участок аттрактора (фактически часть некоторой кривой, представленной в графической форме), содержащий бесконечное количество кривых, можно убедиться в его подобии крупномасштабному представлению части аттрактора. Для объектов, обладающих способностью бесконечно повторять собственную структуру, на микроуровне вводится специальное название — фракталы.

Самоподобные множества

Понятие фрактал было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 г. Этот неологизм, происходящий от латинского слова fractus, обозначил широкий класс естественных и искусственных топологических форм. Главной особенностью этого класса является самоподобная иерархическая организационная структура. Самоподобие подразумевает, что внешняя — наблюдаемая форма изучаемого объекта или явления, представленная в графическом виде, включает в себя большое количество копий, исполненных по одному и тому же замыслу. Такие копии могут быть последовательно обнаружены в любой точке фрактальной кривой или поверхности при уменьшении масштаба представления. Геометрические модели фракталов часто ассоциируются с утонченным узором, проявляя удивительную изощренность в построении простых и сложных объектов. Простейший математический прототип фрактала — непрерывная, но бесконечно изрезанная линия, заданная некоторой функцией, не имеющая ни в одной точке производной. Долгое время было принято считать, что такие функции существуют только в области математики, а реальные объекты не обладают подобной формой. Однако вторая половина 19 столетия коренным образом изменила это представление. “Условные математические структуры” вдруг проявились в обычных объектах природы. Сегодня хорошо известно, что к фрактальным структурам, бесспорно, относятся листья деревьев, крона дерева, расположение кровеносных сосудов в поверхностных слоях тела человека, форма биологических сигналов, регистрируемых с поверхности тела человека. Расширение наших представлений об этих уникальных структурах стало возможным благодаря современным разработкам в области математики.

Фрактальной топологией могут обладать объекты, находящиеся как в обычном геометрическом, так и функциональном пространстве. Такое представление оказывается чрезвычайно важным, когда рассматривается некоторое состояние системы, например, биологической. Понятно, что в первом случае исследуются фрактальные поверхности и контуры, а во втором — фрактальные распределения фазовых точек и траекторий, характеризующих функциональное состояние системы. Для биологических систем оказывается полезным исследование фрактальных свойств временных реализаций, которые могут быть представлены различными данными, полученными в результате физиологических исследований.

Самоподобие — основное свойство фрактала, которое может быть обнаружено или смоделировано на основе детерминированного или статистического математического подхода. Несмотря на разнообразие встречающихся форм фрактальных структур, все они обладают общей количественной мерой — фрактальной размерностью. Этот параметр D характеризует скорость увеличения элемента фрактала с увеличением интервала масштаба и, как правило, имеет дробное значение.

При исследовании функционального состояния организма часто используют различные аппаратные методы, позволяющие отобразить временной характер изменения некоторого информационного параметра. Формально получается некоторая графическая запись исследуемого сигнала, которая может быть представлена как в графической форме, так и в виде цифровой последовательности, отражающей временные изменения некоторого параметра. Изучение таких биометрических данных с позиции фрактального подхода представляет значительный интерес. Наиболее привлекательным в этом направлении для исследователей живых систем становится тот факт, что изучение сложных процессов может быть произведено с помощью простых моделей на известных канонических принципах биометрии.

На практике определение величины D сводится к построению зависимости длины S линии сигнала как функции масштаба m представления кривой.

ln S = D ln m + const.
(2.1)

Соответствующее преобразование этого выражения позволяет получить: S = mD .



Последнее изменение этой страницы: 2021-04-05; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.235.120.150 (0.018 с.)