Симметричные составляющие несимметричной системы.

Всякую несимметричную систему трех вращающихся векторов можно рассматривать состоящий из трех симметричных систем:

1) симметричной системы трех вращающихся векторов прямой последовательности;

2) симметричной системы трех вращающихся векторов обратной последовательности;

3)   симметричной системы трех вращающихся векторов нулевой последовательности.

Системой нулевой последовательности называют систему трех вращающихся вектров, совпадающих друг с другом по фазе.

На рисунке изображена заданная несимметричная система, состоящая из трех векторов А, В, и С, и ее симметричные составляющие.

Составляющие прямой последовательности принято отмечать индексом 1, обратной – индексом 2 и нулевой – индексом 0.

Симметричная система А ₁ В ₁ С ₁ имеет прямую последовательность, так как в ней за вектором А идет вектор В, а затем вектор С (векторы вращаются против часовой стрелки), то есть в том порядке, что и в заданной несимметричной системе.

Симметричная система А ₂ В ₂ С ₂ – обратной последовательности, так как в ней за вектором а идет вектор С, а не В. Система А ₀ В ₀ С ₀ – нулевой последовательности, у нее все три вектора по фазе друг с другом совпадают.

Если все эти три симметричные системы сложить, то получится заданная несимметричная система, причем

А ' = А '₁ + А '₂ + А '₀; В '= В '₁ + В '₂ + В '₀; С ' = С '₁ + С '₂ + С '₀.

Разложить несимметричную систему на симметричные составляющие – это значит определить векторы симметричных систем, то есть определить их величины и направления, причем так как искомые системы симметричны, то нет необходимости определять девять векторов. Достаточно определить по одному вектору из каждой системы (например, А '₁, А '₂ и А '₀), а остальные будут такими же, но только повернуты относительно А '₁ и А '₂ на 120^о. легче всего найти Ã ₁, Ã ₂и Ã ₀, а комплексы отражают величины векторов и их направления. При этом несимметричная система должна быть задана комплексами А ˚, В ˚ и С ˚, таким образом, задача сводится к нахождению А '₁, А '₂ и А '₀ по заданным А ˚, В ˚ и С ˚.

Представим себе, что разложение уже произведено и симметричные системы, изображенные на рисунке, являются составляющими заданной несимметричной системы, состоящей из А ', В ' и С '. Тогда

А ˚ = А ˚₀ + А ˚₁ + А ˚₂;

В ˚ = В ˚₀ + В ˚₁ + В ˚₂;

С ˚ = С ˚₀ + С ˚₁ + С ˚₂.

Для краткости будем считать, что е ^{– j 120о} = С ˚ а. умножение вектора на такой поворотный множитель означает поворот его в положительную сторону на 120 ^о. Так как поворот в отрицательную сторону на 120^о равносилен двукратному повороту вперед на 120^о, то

е ^{– j 120о} = е ^{j 240о} = е ^{j 120о} · е ^{j 120о} = а ².

Умножение вектора на а ³ означает трехкратный поворот вектора на 120^о, отчего вектор становится в свое исходное положение, поэтому а ³ = 1 и а ⁴ = а ³ а = а.

Так как сумма трех одинаковых векторов, сдвинуты по фазе на 120^о, равна нулю, то 1 + 1 а + 1 а²  = 0.

В уравнениях

А ˚ = А ˚₀ + А ˚₁ + А ˚₂;

В ˚ = В ˚₀ + В ˚₁ + В ˚₂;

С ˚ = С ˚₀ + С ˚₁ + С ˚₂.

В ˚₁ = а ² А ˚₁; С ˚₁ = а А ˚₁; В ˚₂ = а А ˚₂ ; С ˚₂ = а ² А ˚₂; А ˚₀ = В ˚₀ = С ˚₀

В связи с этим

А ˚ = А ˚₀ + А ˚₁ + А ˚₂;

В ˚ = А ˚₀ + а ² А ˚₁ + а А ˚₂;

С ˚ = А ˚₀ + аА ˚₁ + а ² А ˚₂.

Сложив эти уравнения, получим:

А ˚ + В ˚ + С ˚ = А ˚₀ + А ˚₁ + А ˚₂ + А ˚₀ + а ² А ˚₁ + а А ˚₂ + А ˚₀ + аА ˚₁ + а ² А ˚₂ =

= 3 А ˚₀ + А ˚₁ (1 + а ² + а) + А ˚₂ (1 + а + а ²) = 3 А ˚₀,

откуда

А ˚₀ = А ˚ + В ˚ + С ˚

3

Умножим В ˚ = А ˚₀ + а ² А ˚₁ + а А ˚₂ на а, а уравнение С ˚ = А ˚₀ + аА ˚₁ + а ² А ˚₂ на а ², тогда система уравнений примет вид:

А ˚ = А ˚₀ + А ˚₁ + А ˚₂; аВ ˚ = аА ˚₀ + А ˚₁ + а ² А ˚₂; а ² С ˚ = а ² А ˚₀ + А ˚₁ + аА ˚₂.

Складывая уравнения почленно, получим:

А ˚ + аВ ˚ + а ² С ˚ = А ˚₀ (1 + а + а ²) + 3 А ˚₁ + А ˚₂ (1 + а ² + а) = 3 А ₁.

Откуда

А ˚₁ = А ˚ + аВ ˚ + а ² С ˚.

3

Умножим уравнение В ˚ = В ˚₀ + В ˚₁ + В ˚₂  на а ², а уравнение С ˚ = С ˚₀ + С ˚₁ + С ˚₂ на а.

Тогда

А ˚ = А ˚₀ + А ˚₁ + А ˚₂;   а ² В ˚ = а ² А ˚₀ + аА ˚₁ + А ˚₂; аС ˚ = аА ˚₀ + а ² А ˚₁ + А ˚₂.

Складывая их почленно, получим:

А ˚ + а ² В ˚ + аС ˚ = А ˚₀ (1 + а ² + а) + А ₁ (1 + а + а ²) + 3 А ˚₂ = 3 А ˚₂.

Откуда

А ˚₂ = А ˚ + а²В ˚ + аС.

3

По этим уравнениям и определяют симметричные составляющие заданной несимметричной системы.

Если задана несимметричная система линейных напряжений,

то

Ů _АВо = Ů _АВ + Ů _ВС + Ů _СА = 0,

3

так как

Ů _АВ + Ū _ВС + Ū _СА = 0,

То есть в линейныхнапряжениях всегда отсутствует составляющая нулевой последовательности и всякая несимметричная система линейных напряжений состоит только из систем прямой и обратной последовательности, причем чем более несимметрична система линейных напряжений, тем больше величина векторов обратной последовательности, и наоборот. Если несимметричная система линейных напряжений станет симметричной, то векторы обратной последовательности при этом станут равными нулю и теперь уже ставшая симметричной система линейных напряжений будет состоять только из одной системы прямой последовательности, то есть из самой себя. В связи с этим по величине векторов обратной последовательности можно судить о степени несимметричности линейных напряжений, и отношение модуля векторов обратной последовательности к модулю векторов прямой последовательности, выраженное в процентах, называют степенью асимметрии (несимметрии) и обозначают буквой α:

Α = U ₂ 100%

                                                               U ₁

По нормам степень ассиметрии линейных напряжений не должна превышать 5 %.

Пример. Определить степень ассиметрии линейных напряжений, если они выражаются следующими комплексами:

Ů _АВ = 220 е ^{j 90о} = j 220 в; Ů _ВС = 220 в; Ů_{С А} = 298^{- j 135о} = (- 200 – j 200) в.

Составляющая нулевой последовательности U _АВ0 = 0.

Составляющая прямой последовательности

Ů _АВ1 = Ů _АВ + а Ů _ВС + а ² Ů_{С А} = j 220 + е ^{j 120о}200 + е ^{- j 120о}298 е ^{- 135о} =

3 3

= j 220 + (-0,5 + j 0,87)200 + (-0,5 – j 0,87) (-200 - j 220) = (-67 + j 226) в.

3

Составляющая обратной последовательности

Ů _АВ2 = Ů _АВ + а ² Ů _ВС + а Ů_{С А} =

3

= j 220 + (- 0,5 – j 0,87) 200 + (-0,5 + j 0,87) (-200 – j 220) = (60,5 – j 6) в

3

Чтобы построить систему прямой последовательности, задается масштабом и строим Ů _АВ1 в соответствии с его комплексом. К его началу пристраиваем еще два таких же вектора, повернутых относительно Ů _АВ1 вправо и влево на углы по 120^о.

Точно так же и в том же масштабе строим систему обратной последовательности. Если обе симметричные системы сложить, то получится заданная система линейных напряжений, изображенная слева.

Модуль векторов прямой последовательности

Ů _АВ1 = √ 67² + 226² = 235 в.

Модуль векторов обратной последовательности

Ů _АВ2 = √ 60,5² + 6² = 60,8 в.

Степень ассиметрии

Α = Ů _АВ2 100 = 60,8 100 = 25,9%

                                               Ů _АВ1             235

В сетях такую несимметричность линейных напряжений допускать нельзя. Надо найти причину ассиметрии и устранить ее. Можно считать, что в сети с такими линейными напряжениями действуют два напряжения: 235 в – прямой последовательности и 60,8 в – обратной последовательности. Если в нее включить, например, трехфазный двигатель, то напряжение в 235 в прямой последовательности будет создавать в нем вращающий момент, а напряжение в

60,8 в – обратной последовательности. Будет создавать хотя и меньший вращающий момент, но направленный в обратную сторону, и нормальная работа машины будет нарушена. Поэтому не допускают, чтобы составляющая обратной последовательности превышала 5% составляющей прямой последовательности (чтобы ее роль не была значительной).

Кроме того, прием разложения несимметричной системы векторов на симметричные составляющие используется для анализа режимов в трехфазных цепях при однофазных и двухфазных коротких замыканиях, при обрывах в линиях.

 

Технологическая карта№11